山東省濟南市歷城第四中學2022-2023學年高一數(shù)學理期末試題含解析

山東省濟南市歷城第四中學2022-2023學年高一數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知正方體的不在同一表面的兩個頂點A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），則正方體的棱長等于（） A．4 B．2 C． D．2參考答案：A【考點】球內(nèi)接多面體． 【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學模型法；立體幾何． 【分析】先根據(jù)題意可知AB是正方體的體對角線，利用空間兩點的距離公式求出AB，再由正方體體對角線的平方等于棱長平方的3倍求得正方體的棱長． 【解答】解：∵正方體中不在同一表面上兩頂點A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），∴AB是正方體的體對角線，AB=， 設正方體的棱長為x， 則，解得x=4． ∴正方體的棱長為4， 故選：A． 【點評】本題主要考查了空間兩點的距離公式，以及正方體的體積的有關(guān)知識，屬于基礎題．2.（5分）已知圓C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x﹣y﹣1=0對稱，則圓C2的方程為（） A． （x+2）2+（y﹣2）2=1 B． （x﹣2）2+（y+2）2=1 C． （x+2）2+（y+2）2=1 D． （x﹣2）2+（y﹣2）2=1參考答案：B考點： 關(guān)于點、直線對稱的圓的方程．專題： 計算題．分析： 求出圓C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圓心坐標，關(guān)于直線x﹣y﹣1=0對稱的圓心坐標求出，即可得到圓C2的方程．解答： 圓C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圓心坐標（﹣1，1），關(guān)于直線x﹣y﹣1=0對稱的圓心坐標為（2，﹣2）所求的圓C2的方程為：（x﹣2）2+（y+2）2=1故選B點評： 本題是基礎題，考查點關(guān)于直線對稱的圓的方程的求法，考查計算能力，注意對稱點的坐標的求法是本題的關(guān)鍵．3.已知角終邊上一點坐標為，則為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】，代入即可。【詳解】故選：D【點睛】根據(jù)的坐標表示直接代值即可，屬于簡單題目。4.已知是從到的映射，若1和8的原象分別是3和10，則5在下的象是（

）.3

.4

.5

.6參考答案：A略5.已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前n項和為Sn，對于命題：①若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則對一切，②若對一切，，則數(shù)列{an}為遞增數(shù)列③若存在，使得，則存在，使得④若存在，使得，則存在，使得其中正確命題的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：C【分析】利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，通過舉例和證明逐項分析.【詳解】①取，，則，故①錯；②對一切，，則，又因為是上單調(diào)遞增函數(shù)，所以，若遞減，設，且，且，所以，則，則，與題設矛盾，所以遞增，故②正確；③取，則，，令，所以，但是，故③錯誤；④因為，所以，所以，則，則，則存在，使得，故④正確.故選：C.【點睛】本題函數(shù)性質(zhì)與數(shù)列的綜合，難度較難.分析存在性問題時，如果比較難分析，也可以從反面去舉例子說明命題不成立，這也是一種常規(guī)思路.6.如圖，是2008年底CCTV舉辦的全國鋼琴、小提琴大賽比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（

）．A.

84，4.84

B.84，1.6

C.85，1.6

D.85，4參考答案：C略7.已知下列命題中：（1）若，且，則或，（2）若，則或（3）若不平行的兩個非零向量，滿足，則（4）若與平行，則其中真命題的個數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：（1）是對的；（2）僅得；（3）

（4）平行時分和兩種，8.如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，那么的取值范圍是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.已知集合，，則=（

）

參考答案：D略4.已知則下列命題中正確的是A.函數(shù)的最小正周期為

B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.化簡：_______________．參考答案：12.函數(shù),在上的最大值是最小值的2倍，則m=

參考答案：2略13.下列幾個命題①則A=B②函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)③方程的有一個正實根，一個負實根，則④函數(shù)的圖象一定過定點P，則P點的坐標是（1,4）⑤若為偶函數(shù)，則有其中正確的命題序號為

參考答案：①③④14.已知直線m的傾斜角為，直線：，若，則實數(shù)k的值為

．參考答案：∵直線m的傾斜角為，∴直線m的斜率為.又，∴．

15.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是

.參考答案：16.函數(shù)f（x）=x﹣（）x+a的零點在區(qū)間（1，+∞）上，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a＜﹣【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】確定函數(shù)f（x）=x﹣（）x+a單調(diào)遞增，利用函數(shù)f（x）=x﹣（）x+a的零點在區(qū)間（1，+∞）上，可得f（1）=+a＜0，即可求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：f′（x）=1﹣（）xln＞0，∴函數(shù)f（x）=x﹣（）x+a單調(diào)遞增，∵函數(shù)f（x）=x﹣（）x+a的零點在區(qū)間（1，+∞）上，∴f（1）=+a＜0，∴a＜﹣．故答案為：a＜﹣．【點評】正確把問題等價轉(zhuǎn)化、熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．17.函數(shù)y=ax+1+1（a＞0且a≠1）的圖象必經(jīng)過定點．參考答案：（﹣1，2）【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【分析】利用a0=1（a≠0）即可得出答案．【解答】解：令x+1=0，得x=﹣1，則y=a0+1=2，∴函數(shù)y=ax+1的圖象過定點（﹣1，2）．故答案為（﹣1，2）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？參考答案：（1）f(x)=

=

=sin(2x+.

∴f(x)的最小正周期T==π.

由題意得2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ-,kπ+］,k∈Z.

(2)先把y=sin2x圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到y(tǒng)=sin(2x+)的圖象，再把所得圖象上所有的點向上平移個單位年度，就得到y(tǒng)=sin(2x+)+的圖象.

略19.（13分）己知3sin（π﹣α）+cos（2π﹣α）=0．（1）求（2）求（3）求tan(2α﹣)．參考答案：【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式和萬能公式化簡后代入求值即可．【解答】解：己知3sin（π﹣α）+cos（2π﹣α）=0．可得：3sinα+cosα=0，即tanα=；（1）=；（2）==；（3）tan2α==，∴．【點評】本題主要考察了同角三角函數(shù)關(guān)系式和萬能公式的應用，屬于基本知識的考查．20.已知函數(shù).（1）求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當時，求f(x)的最小值及取得最小值時x的集合.參考答案：（1）.∴的最小正周期為.由，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.（2）由（1）知在上遞增，在上遞減；又，∴，此時的集合為.21.某休閑廣場中央有一個半徑為1（百米）的圓形花壇，現(xiàn)計劃在該花壇內(nèi)建造一條六邊形觀光步道，圍出一個由兩個全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）構(gòu)成的六邊形ABCDEF區(qū)域，其中A、B、C、D、E、F都在圓周上，CF為圓的直徑（如圖）．設∠AOF=θ，其中O為圓心．（1）把六邊形ABCDEF的面積表示成關(guān)于θ的函數(shù)f（θ）；（2）當θ為何值時，可使得六邊形區(qū)域面積達到最大？并求最大面積．參考答案：【考點】函數(shù)模型的選擇與應用．【分析】（1）作AH⊥CF于H，則六邊形的面積為f（θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．（2）求導，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得θ=時，f（θ）取最大值．【解答】（本題滿分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，則OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…則六邊形的面積為f（θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．

…（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．

…令f′（θ）=0，因為θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…當θ∈（0，）時，f′（θ）＞0，所以f（θ）在（0，）上單調(diào)遞增；當θ∈（，）時，f′（θ）＜0，所以f（θ）在（，）上單調(diào)遞減，…所以當θ=時，f（θ）取最大值f（）=2（cos+1）sin=．

…答：當θ=時，可使得六邊形區(qū)域面積達到最大，最大面積為平方百米．…22.如圖所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D在邊BC上，AD⊥C1D．（1）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果點E是B1C1的中點，求證：AE∥平面ADC1．參考答案：【考點】LY：平面與平面垂直的判定；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）推導出AD⊥C1D，從而CC1⊥平面ABC，進而AD⊥CC1，由此能證明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中點，連結(jié)ED，得四邊形AA1DE是平行四邊形，由此能證明A1E∥平面ADC1．【解答】證明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D在邊BC上，AD⊥C1D，∴C