g31092排列組合綜合問(wèn)題

g3.1092排列與組合的綜合問(wèn)題一、知識(shí)梳理排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置的數(shù)目問(wèn)題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題，需要考慮順序的是排列問(wèn)題，排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合問(wèn)題的基本思維是“先組，后排”.解排列組合的應(yīng)用題，要注意四點(diǎn)：（1） 仔細(xì)審題，判斷是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.（2） 深入分析、嚴(yán)密周詳，注意分清是乘．還是加．，既不少也不多，辯證思維，多角度分析，全面考慮，這不僅有助于提高邏輯推理能力，也盡可能地避免出錯(cuò).（3） 對(duì)于附有條件的比較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問(wèn)題分解成若干簡(jiǎn)單的基本問(wèn)題后應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理來(lái)解決.（4） 由于排列組合問(wèn)題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，因此在檢查結(jié)果時(shí)，應(yīng)著重檢查所設(shè)計(jì)的解決問(wèn)題的方案是否完備，有無(wú)重復(fù)或遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看是否相同.在對(duì)排列組合問(wèn)題分類時(shí)，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù).二、基礎(chǔ)訓(xùn)練（04福建）某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為A.A2C2 B.1A2C2 C.A2A2 D.2A264264646從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語(yǔ)競(jìng)賽，其中A不參加物理、化學(xué)競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A.24 B.48 C.120 D.725本不同的書，全部分給四個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為A.480 B.240 C.120 D.96從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有 個(gè).（用數(shù)字作答）5.市內(nèi)某公共汽車站有10個(gè)候車位（成一排），現(xiàn)有4名乘客隨便坐在某個(gè)座位上候車，則恰好有5個(gè)連續(xù)空座位的候車方式共有 種.（用數(shù)字作答）例1.從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4X100m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，問(wèn)共有多少種參賽方法?例2.對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止.若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?思考討論TOC\o"1-5"\h\z■用類似的方法，討論如下問(wèn)題. I!某種產(chǎn)品有5件不同的正品，4件不同的次品，現(xiàn)在一件件地進(jìn)行檢測(cè)，直I!到4件次品全部測(cè)出為止，則最后一件次品恰好在第6次檢測(cè)時(shí)被測(cè)出，這樣的||檢測(cè)方案有多少種？ ||提示：?jiǎn)栴}相當(dāng)于從10件產(chǎn)品中取出6件的一個(gè)排列，第6位為次品，前||五位有其余3件次品，可分三步：先從4件產(chǎn)品中留出1件次品排第6位，有4]I II種方法；再?gòu)?件正品中取2件，有C2種方法；再把3件次品和取出的2件正|! 5 !I II II品排在前五位有A5種方法?所以檢測(cè)方案種數(shù)為4XC2 ?A5=4800. !例3?在一塊并排-10壟的■田地中，選擇2壟分別種植a7B「兩種作物「每種-作物種植一壟?為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的種植方法共有多少種？例4.有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是A.234 B.346 C.350 D.363例5.(1)一條長(zhǎng)椅上有9個(gè)座位，3個(gè)人坐，若相鄰2人之間至少有2個(gè)空椅子，共有幾種不同的坐法?(2)一條長(zhǎng)椅上有7個(gè)座位，4個(gè)人坐，要求3個(gè)空位中，恰有2個(gè)空位相鄰，共有多少種不同的坐法?例6.已知lvmvn，m，n^N*，求證：(1+m)n>(1+n)m.四、同步練習(xí)g3.1092排列與組合的綜合問(wèn)題從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植.不同的種植方法共有A.24種 B.18種 C.12種 D.6種四個(gè)不同的小球全部隨意放入三個(gè)不同的盒子中，使每個(gè)盒子都不空的放法種數(shù)為A.A1A3 B.C2A3 C.C3A24 4 3 4 2D.C1C3C24423．(05湖北卷)把一同排6張座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)A．168 B．96 C．72 D．144(05江蘇卷)四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品,有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的,沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱多代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的,現(xiàn)打算用編號(hào)為①、②、③、④的4個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為(A)96 (B)48 (C)24 (D)0從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4x100米接力賽，如果甲、乙兩人都不跑第一棒，那么不同的參賽方案有

A．A．180種 B．240種C．300種 D．360種書架上原有5本書，再放上2本，但要求原有書的相對(duì)順序不變，則不同的放法有 種.（04浙江）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（3，0）（允許重復(fù)過(guò)此．點(diǎn)．）處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有 種.（用數(shù)字作答）在一張節(jié)目表上原有6個(gè)節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法?18人的旅游團(tuán)要選一男一女參加生活服務(wù)工作，有兩位老年男人不在推選之列，共有64種不同選法，問(wèn)這個(gè)團(tuán)中男女各幾人?如下圖，矩形的對(duì)角線把矩形分成A、B、C、D四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有多少種不同的涂色方法?6名運(yùn)動(dòng)員分到4所學(xué)校去做教練，每校至少1人，有多少種不同的分配方法?參與答案基本訓(xùn)練將4名學(xué)生均分成兩組，方法數(shù)為丄C2,再分配給6個(gè)年級(jí)中的2個(gè)，24分配方法數(shù)為A2，?:合要求的安排方法數(shù)為丄C2?A2.6246答案：B若不含A,則有A4種;若含有A,則有C3C1A種.AA4+C3C1A3=72.4 2 3 4 4 2 3答案：D3?先把5本書中的兩本捆起來(lái)（C2），再分成四份（A4）,???分法種數(shù)為54C2?A4=240.54答案：B①四位數(shù)中包含5和0的情況：Ci?Ci?（A3+A1?A2）=120.4 3 2 2四位數(shù)中包含5，不含0的情況：Ci?C2?A3=108.4 3四位數(shù)中包含0，不含5的情況：C2C1A3=72.343綜上，四位數(shù)總數(shù)為120+108+72=300.答案：300把四位乘客當(dāng)作4個(gè)元素作全排列有A4種排法，將一個(gè)空位和余下的44個(gè)空位作為一個(gè)元素插空有A2種排法.???A4?A2=480.4 5答案：480例題分析例1.解法一：?jiǎn)栴}分成三類：(1)甲、乙兩人均不參加，有A4種；(2)甲、4乙兩人有且僅有一人參加，有2C3(A4—A3)種；(3)甲、乙兩人均參加，有TOC\o"1-5"\h\z4 3C2(A4—2A3＋A2)種.故共有252種.4 3 2解法二：六人中取四人參加的種數(shù)為A4，除去甲、乙兩人中至少有一人不6排在恰當(dāng)位置的有C1A3種，因前后把甲、乙兩人都不在恰當(dāng)位置的種數(shù)A2減5 4去了兩次.故共有A4—C1A3＋A2=252種.2 5 4評(píng)述：對(duì)于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種方法處理.例2.解：C1(C1C3)A4=576，第5次必測(cè)出一次品，余下3件在前4次4 6 3 4被測(cè)出，從4件中確定最后一件品有C1種方法，前4次中應(yīng)有1正品、3次品，4有C1C3種，前4次測(cè)試中的順序有A4種，由分步計(jì)數(shù)原理即得.6 3 4評(píng)述：本題涉及一類重要問(wèn)題，即問(wèn)題中既有元素的限制，又有排列的問(wèn)題，一般是先選元素(即組合)后排列.例3.解：依題意，A、B兩種作物的間隔至少6壟，至多8壟.(1)間隔6壟時(shí)，有3XA2種；(2)間隔7壟時(shí)，有2XA2種.(3)間隔8壟時(shí)，有A2種.222所以共有3A2+2A2+A2=12種種植方法.222例4.解法一：分類討論法.前排一個(gè)，后排一個(gè)，2C1?G=192.812后排坐兩個(gè)(不相鄰)，2(10+9+8+?+1)=110.前排坐兩個(gè)，2?(6+5+?+1)+2=44個(gè).?總共有192+110+44=346個(gè).解法二：考慮中間三個(gè)位置不坐，4號(hào)座位與8號(hào)座位不算相鄰.???總共有A2+2+2=346個(gè).19答案：B評(píng)述：本題考查分類討論在解排列組合應(yīng)用題中的運(yùn)用.這是一道難度較大的小綜合題.例5.解：(1)先將3人(用X表示)與4張空椅子(用□表示)排列如圖(X□□XDDX),這時(shí)共占據(jù)了7張椅子，還有2張空椅子，一是分開(kāi)插入，如圖中箭頭所示從4個(gè)空當(dāng)中選2個(gè)插入，有C2種4插法；二是2張同時(shí)插入，有C1種插法，再考慮3人可交換有A3種方法.43所以，共有A3(C2+C1)=60(種).4 4下面再看另一種構(gòu)造方法：先將3人與2張空椅子排成一排，從5個(gè)位置中選出3個(gè)位置排人，另2個(gè)位置排空椅子，有A3C2種排法，再將4張空椅子中的每?jī)蓮埐迦朊績(jī)扇酥g，52只有1種插法，所以所求的坐法數(shù)為A3?C2=60.52(2)可先讓4人坐在4個(gè)位置上，有A4種排法，再讓2個(gè)“元素”(一個(gè)4是兩個(gè)作為一個(gè)整體的空位，另一個(gè)是單獨(dú)的空位)插入4個(gè)人形成的5個(gè)“空當(dāng)”之間，有A2種插法，所以所求的坐法數(shù)為A4?A2=480.TOC\o"1-5"\h\z4 5例6.證法一：由二項(xiàng)式定理(1+m)n=Com0+C1m1+?+Cnmn，n n n1+n)m=C0n0+C1n1+?+Cmnm，mm m又因?yàn)镃imi=A^，G”，=AmH，n i! m i!而Aim，>Aini，所以C2m2>C2n2，C3m3>C3n3，…，Cmmm>Cmnmn m n m n m n m又因?yàn)镃0m0=C0n0，C1m1=C1n1，n m n m所以(1+m)n>(1+n)m.證法二：(1+m)n>(1+n)m。nln(1+m)>mln(1+n)ln(1+m)、ln(1+n)o >——mn令f(x)=ln(1+x)，xe［2，+s］，x只要證f(x)在［2,+-］上單調(diào)遞減，只要證fz(x)<0.f/(x)—[ln(1+x)]'x-x'?ln(1+x)=x-ln(1+x)(i+x)x2 x2(1+x)當(dāng)x$2時(shí)，x—lg(1+x)(1+x)v0,x2(1+x)>0,得f/(x)<0,即xw[2,+8]時(shí)，f/(x)<0.以上各步都可逆推，得(l+m)n>(1+n)m.作業(yè)：1—4BBDBB6.427.5解法一：添加的三個(gè)節(jié)目有三類辦法排進(jìn)去：①三個(gè)節(jié)目連排，有C1A373種方法；②三個(gè)節(jié)目互不相鄰，有A3種方法；③有且僅有兩個(gè)節(jié)目連排，有7C1C1C1A2種方法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有C1A3+A3+C1C1C1A2-504種.3 7 6 2 7 3 7 3 7 6 2解法二：從結(jié)果考慮，排好的節(jié)目表中有9個(gè)位置，先排入三個(gè)添加節(jié)目有A3種方法，余下的六個(gè)位置上按6個(gè)節(jié)目的原有順序排入只有一種方法?故所求9排法為A3—504種.9解法三：AI—504.A6評(píng)述：插空法是處理排列、組合問(wèn)題常用的方法.解:設(shè)這個(gè)團(tuán)中有男人x人，則有女人18—x人，根據(jù)題意得C1 ?C1 —64.x-2 18-x解得x—10.???這個(gè)團(tuán)中有男10人，女8人.解法一：依題意，給四部分涂色，至少要用兩種顏色，故可分成三類涂色：第一類，用4種顏色涂色，有A4種方法；5第二類，用3種顏色涂色，選3種顏色的方法有C3種；在涂的過(guò)程中，選5對(duì)頂?shù)膬刹糠?A、C或B、D)涂同色，另兩部分涂異色有C1種選法；3種顏2色涂上去有A3種涂法.共C3?C1?A3種涂法；3 5 2 3第三類，用兩種顏色涂色.選顏色有C2種選法；A、C與B、D各涂一色有5A2種涂法.共C2?A2種涂法.252所以共有涂色方法A4+C3?C1?A3+C2?A2—260種.5 2 3 5 2

解法二：區(qū)域A有5種涂色法；區(qū)域B有4種涂色法；區(qū)域C的涂色法有2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色法；若