光電信息物理基礎(chǔ)2016年春-3.6電磁場矢勢與標勢

1電磁波是由運動電荷輻射出來的。例如：無線電波是由發(fā)射天線上的高頻交變電流輻射出來的。本章研究高頻交變電流輻射電磁波的規(guī)律。嚴格來說，天線上的電流和它激發(fā)的電磁場是相互作用的。天線電流激發(fā)電磁場，而電磁場又反過來作用到天線電流上，影響著天線電流的分布。所以輻射問題本質(zhì)上也是一個邊值問題。天線電流和空間電磁場是相互作用的兩方面，需要應用天線表面上的邊界條件，同時確定空間中的電磁波的形式和天線上的電流分布。3.6電磁波的輻射這種問題的求解一般比較復雜。我們僅局限于討論給定天線上電流分布,計算輻射電磁波。2對于恒定場：當電場和磁場隨時間變化時，電場和磁場都不是保守場。從概念上，描述電磁場的矢勢和標勢與以前講過的矢勢、標勢是不同的概念；從物理意義上，描述電磁場的標勢也失去了“電勢能”的含義，因而在高頻電路中“電壓”這一概念也失去意義?！祀姶艌龅氖竸莺蜆藙?考慮真空中的電磁場，麥克斯韋方程組為其中一、用勢描述電磁場4因為，所以，可以引入矢勢A，使A的物理意義：在任意時刻，A沿任一閉合回路的線積分等于該時刻通過回路內(nèi)的磁通量。1.電磁場的矢勢：從矢勢A的引入可以看出，電磁場的矢勢與靜磁場的矢勢唯一的區(qū)別就在于，電磁場的矢勢是隨時間變化的。(1)52.電磁場的標勢：由于，所以，不可能用一個單獨的標勢來描述E。雖然，但由可得：所以該式表示是無旋場，可以引入標勢6定義，因此，一般情況下電場的表示式為：(2)實際上，在變化情況下電場與磁場發(fā)生直接聯(lián)系，則電場的表示式必然包含矢勢A在內(nèi)。(1)、(2)兩式把電磁場用矢勢和標勢表示出來。但應注意：(1)變化的電磁場，E不再是保守力場，不存在勢能的概念，標勢失去作為電場中的勢能的意義。7(2)變化的電磁場中，磁場和電場是相互作用著的整體，必須把矢勢和標勢作為一個整體來描述電磁場。因此我們說，描述電磁場的勢有4個分量。思考：當A與時間無關(guān)，即?A/?t=0時，電磁場的特點？當A與時間無關(guān)，即?A/?t=0時，這時就直接歸結(jié)為電勢。8二、

規(guī)范變換和規(guī)范不變性用矢勢A和標勢描述電磁場不是唯一的，即給定的E和B并不對應于唯一的A和。1.規(guī)范變換：設(shè)矢勢A和標勢是描述電磁場的一組勢，為任意時空函數(shù)，做變換9有即(A’,’)和(A,)描述同一電磁場，同時也說明描述電磁場的(A,)不唯一。勢的變換：稱為規(guī)范變換，每一組勢稱為一種規(guī)范。各種規(guī)范描述同一電磁場E和B，因此如果用勢來描述電磁場，客觀規(guī)律跟勢的特殊規(guī)范選擇無關(guān)。102.規(guī)范不變性：當勢作規(guī)范變換時，所有物理量和物理規(guī)律都保持不變，這就是規(guī)范不變性。在經(jīng)典電動力學中，勢A和的引入是作為描述電磁場的一種方法，規(guī)范不變性是對這種描述方法所加的要求。在近代物理中，規(guī)范變換是由量子力學的基本原理引入的，規(guī)范不變性是一條重要的物理原理。11

3.兩種重要規(guī)范：從數(shù)學上來說，之所以存在規(guī)范變換自由度，是由于在勢的定義式中，只給出了A的旋度，而沒有給出A的散度。所以，欲得到具體的勢，必須給定A的散度，即規(guī)范條件。電磁場E和B本身對A的散度沒有任何限制。因此，作為確定勢的輔助條件，我們可以取?A為任意的值。每一種選擇對應一種規(guī)范。從計算方便考慮，在不同問題中可以采用不同的輔助條件。應用最廣泛的是以下兩種規(guī)范條件。12(1)庫侖規(guī)范規(guī)范條件為在庫侖規(guī)范下，A是無散場，由A描述的B也是無散場。而一般情況下，E既是有散場，也是有旋場。在庫侖規(guī)范下，無旋場（縱場）無散場（橫場）13

在庫侖規(guī)范下，電磁場的縱場部分完全由描述，橫場部分完全由A描述。結(jié)論：在庫侖規(guī)范下，所滿足的方程與靜電場方程形式相同。14這種規(guī)范在基本理論在解決實際輻射問題中是特別方便的。(2)洛倫茲規(guī)范規(guī)范條件為在處理波動問題時，勢的基本方程化為特別簡單的對稱形式。15三、達朗貝爾(d’Alembert)方程1.A和所滿足的微分方程這就是矢勢和標勢所滿足的微分方程組。16若采用庫侖規(guī)范這種規(guī)范的特點是標勢所滿足的方程與靜電場形式相同，其解是庫侖勢。解出后代入第一式可解出A，因而可以確定輻射電磁場。17當采用洛倫茲規(guī)范時，所對應的勢的方程稱為達朗貝爾方程。2.達朗貝爾(d’Alembert)方程這說明，在洛倫茲規(guī)范下，J是A的源，是的源，A和均為有源情況下的波動。18離開電荷電流分布區(qū)域以后，矢勢和標勢都以波動形式在空間中傳播，由它們導出的電磁場E和B也以波動形式在空間中傳播。注意：兩種規(guī)范，方程不同，所得的矢勢和標勢當然不同，但由它們所求得的E和B是完全相同的，即E和B的波動性質(zhì)是和規(guī)范無關(guān)的。19例：討論單色平面電磁波的勢。單色平面電磁波是在沒有電荷、電流分布的自由空間中傳播其平面波解為：的，因而勢的方程（達朗貝爾方程）變?yōu)辇R次方程：電磁波的可能解。但這只是方程的通解，對A和加上洛倫茲條件才得到實際20由Lorentz規(guī)范條件得由此可見，只要給定了A，就可以確定單色平面電磁波。此處n為傳播方向單位矢量。21①對平面電磁波(ρ=0,J=0)，由A可以完全確定，原因是ρ=0電磁場沒有縱場分量。結(jié)論：②電磁場不僅可以由A完全確定，而且只依賴于A的橫向分量。影響B(tài)和E。原因：對A加上任意縱向分量都不所以，對于平面電磁波的情形，即使加上洛倫茲條件，A和仍不是唯一的，能夠唯一確定的只是其橫向分量。同理22③如果令縱向分量為零，則此時，*因為所以就是滿足庫侖規(guī)范的解。采用庫侖規(guī)范條件，勢方程在自由空間中變?yōu)?3當全空間沒有電荷分布時，庫侖場的標勢，則只剩下其解的形式為，即保證了A只有橫向分量。從而得到：由庫侖規(guī)范條件得到方程24庫侖規(guī)范的優(yōu)點是：它的標勢求出，它的矢勢洛侖茲規(guī)范的優(yōu)點是：它的標勢勢方程具有對稱性。它的矢勢盡管如此，它在相對論中顯示出協(xié)變性。因此，大多采用洛侖茲規(guī)范。通過例子可看到：描述庫侖作用，可直接由電荷分布只有橫向分量，恰好足夠描述輻射電磁波的兩種獨立偏振。和矢勢構(gòu)成的的縱向部分和標勢的選擇還可以有任意性，即存在多余的自由度。25本節(jié)主要是求解達朗貝爾（d’Alembert

）方程，并闡明其解的物理意義。261、達朗貝爾方程的解

不管是矢勢還是標勢，在Lorentz規(guī)范條件下都滿足同樣的達朗貝爾方程。而達朗貝爾方程式是線性的，它反映了電磁場的疊加性，故交變電磁場中的矢勢和標勢均滿足疊加原理。因此，對于場源分布在有限體積內(nèi)的勢，可先求出場源中某一體積元所激發(fā)的勢，然后對場源區(qū)域積分，即得出總的勢。又因矢勢的方程與標勢的方程在形式上相同，故只需求出的方程的解即可。27根據(jù)標勢所滿足的方程：設(shè)坐標原點處有一假想變化電荷Q(t)，其電荷體密度為，此時電荷輻射的勢的達朗貝爾方程為除在原點以外的空間，因而得到28因為點電荷的場分布是球?qū)ΨQ的，若以r表示源點到場點的距離，則不依賴于角變量，只依賴于r和t.也就是說，與和φ無關(guān)，僅是r

和t

的函數(shù)，即而且除原點外，滿足波動方程上式的解是球面波，考慮到r

增大時勢減弱，29所以作如下代換將此代入上式即這個方程式是一維空間的齊次波動方程，其通解為30式中的f

和g是兩個任意函數(shù)，故有此解的第一項表示由場源向外輻射的球面波，第二項則表示向場源會聚的球面波。式中f

和g

是的任意函數(shù)。其具體形式由場源條件而定。當我們研究輻射時，電磁場是由原點處的電荷發(fā)出的，它必然是向外發(fā)射的波。因此在輻射問題中應取g=0，而函數(shù)f

的形式應由原點處的電荷變化形式?jīng)Q定。31為此，考察上述解過渡到恒定場的情況，即取g=0，c→∞，則將該式與恒定場中Q所激發(fā)的電勢比較，則得32因此在交變電磁場中應有相似的解，即故交變場源所激發(fā)的勢為如果點電荷不在原點處，而是在點上，令r為點到場點的距離，有33如果場源電荷分布在有限體積V內(nèi)，對于一般變化電荷分布，它所激發(fā)的標勢為：因矢勢的微分方程與標勢的微分方程相似，故其解也相似，所以一般變化電流分布34所激發(fā)的矢勢為：2、推遲勢（RetardedPotential)

達朗貝爾方程的解為：35它給出了分布在有限體積內(nèi)的變化電荷與變化電流在空間任意點所激發(fā)的標勢的矢勢。必須強調(diào)指出,該式中的表示場點坐標，表示源點坐標。和分別表示t

時刻在點處的標勢和矢勢的值，和分別表示時刻在處的的值。36值得注意的是：電荷密度和電流密度中的時刻是而不是t

。這說明：

時刻在處電荷或電流產(chǎn)生的場并不能在同一時刻

就到達點，而是要一個傳輸時間△t

，而且，由于t>，故t

時刻的勢和是晚于場源輻射的時刻，因此將此時的和稱為推遲勢。

37綜上所述，推遲勢的重要性在于說明了電磁作用是以有限速度向外傳播的，它不是瞬時超距作用。換句話說：電荷、電流輻射電磁波，而電磁波以速度脫離電荷、電流向外傳播。這就是推遲勢所描寫的物理過程。383、推遲勢滿足Lorentz條件

利用電荷守恒定律，我們可以驗證推遲勢滿足Lorentz規(guī)范條件。已知電磁場的勢為式中39則有其中則40而

41所以這里對r

的函數(shù)而言，有。42又因為43即于是044另外：45由此得到：要使上式保持成立（恒等），只有即得和的解滿足Lorentz條件。46§5.3電偶極輻射ElectricDipoleRadiation47電磁波是以交變運動的電荷系統(tǒng)輻射出來的，在宏觀情形電磁波由載有交變電流的天線輻射出來；在微觀情形，變速運動的帶電粒子導致電磁波的輻射。本節(jié)研究宏觀電荷系統(tǒng)在其線度遠小于波長情形下的輻射問題。481、計算輻射場的一般公式

當電流分布給定時，計算輻射場的基礎(chǔ)是的推遲勢：若電流是一定頻率ω的交變電流，有49因此式中為波數(shù)50如果令式中因子eikr是推遲作用因子，它表示電磁波傳到場點時有相位滯后kr。根據(jù)Lorentz條件，可求出標勢：由此可見，由矢勢的公式完全確定了電磁場。51另外，根據(jù)電荷守恒定律且有，只要給定電流，則電荷分布ρ也自然確定了。從而標勢也就隨之而確定了，因而在這種情況下，有52在電荷分布區(qū)域外面，，所以故得2、矢勢的展開式

對于矢勢53注意到其中三個線度問題：

第一，電荷分布區(qū)域的線度l

，它決定積分區(qū)域內(nèi)的大??；

第二，波長的線度；

第三，電荷到場點的距離r。而本節(jié)研究分布于一個小區(qū)域內(nèi)的電流所產(chǎn)生的輻射。所謂小區(qū)域是指：對于r和λ的關(guān)系，可分為三種情況：

a)

近區(qū)（似穩(wěn)區(qū)）54且有kr<<1，推遲因子eikr~1，因而場保持穩(wěn)恒場的主要特點，即電場具有靜電場的縱向形式，磁場也和穩(wěn)恒場相似。

b)

感應區(qū)（過渡區(qū)），r~λ，但滿足r>>l。這個區(qū)域是一個過渡區(qū)域。它介于似穩(wěn)區(qū)和輻射區(qū)的過渡區(qū)域中。

c)

遠區(qū)（輻射區(qū)）r>>λ，而且也保證r>>l。

在此區(qū)域中場強和均可略去的高次項，該區(qū)域內(nèi)的場主要是橫向電磁場。現(xiàn)在主要討論電流分布于小區(qū)域而激發(fā)的遠55區(qū)場。oxyzPl56選坐標原點在電流分布區(qū)域內(nèi)，則與l

同數(shù)量級，。由圖可知：由二項式展開得到（略去等高次項）：57由此得到根據(jù)小區(qū)域的意義，則因此，在計算輻射場時只須保留的最低次項。而58所以分母中可以去掉項。但分子不能去掉項，這是因為這項貢獻一個相因子：所以涉及的是小參數(shù)，相位差一般是不能忽略的，因此要保留，這樣得到：59把相因子對展開，得從而得到矢勢的展開式為：展開式的各項對應于各級電磁多極輻射。3、偶極輻射

研究展開式的第一項：60由于由于積分區(qū)域包含了全部電荷、電流存在的空間，61因而在包圍該區(qū)域的邊界面上不可能有電流出去，即S

面，從而有故得現(xiàn)在討論計算輻射場的技巧問題：在計算輻射場時，需要對作用算符62由于討論遠區(qū)場時，只保留的最低次項，因而算符不需作用到分母上，而僅需作用到相因子上即可達到要求，作用結(jié)果相當于代換：由此得到，輻射場為63

64如果取球坐標，原點在電荷電流分布區(qū)域內(nèi)，并以方向為極軸，則由上式得到：沿緯線上振蕩，沿經(jīng)線上振蕩。65z66故得到：該式表明：磁力線是圍繞極軸的園周，總是橫向的；電力線是經(jīng)面上的閉合曲線，由于在空間中，線必須閉合。因此不可能完全橫67向，只有當略去的高次項后，才能近似地為橫向。由此得到一個結(jié)論：電偶極輻射是空間中的橫磁波（TMW）。4、輻射性能的幾個重要參數(shù)

衡量一個帶電系統(tǒng)輻射性能的幾個重要參數(shù)，是它的輻射功率和輻射角分布，這些問題都可以通過能流密度求得答案。

a)輻射場的能流密度在波動區(qū)域中，電磁場能流密度的平均值為68

b)輻射場的角分布所謂輻射場的角分布，就是討論輻射的方向性，在平均能流密度中，因子表示電偶極69輻射的角分布。輻射角分布(Angulardistributionofradiation)定義為：在方向單位立體角內(nèi)平均輻射能流，即當R一定時，顯然70由此可見z71這就是我們在日常生活中，經(jīng)常通過撥動收音機或電視機天線的方位為獲得最佳音響和清晰圖象的緣故。

c)輻射功率單位時間內(nèi)通過半徑為R的球面向外輻射的平均能量，稱為輻射功率（Radiationpower）。把對球面積分即得總輻射功率，即72

73如果偶極子作簡諧振動，角頻率為ω，且有則從而得到74故若保持電偶極矩的振幅不變，則輻射功率正比于頻率ω的四次方，即頻率變化時，輻射功率迅速變化。5、綜合敘述幾個問題

a)電磁波的產(chǎn)生因為輻射功率與球面半徑無關(guān)，輻射場是脫離電荷、電流而獨立存在的電磁場，這種場總是

75以球面波形式沿矢徑方向向外傳播，且傳播的速度為