高數(shù)B總復(fù)習(xí)題答案

word文檔可自由復(fù)制編輯高數(shù)(B)復(fù)習(xí)題基本題:第八章向量代數(shù)、空間解析幾何1、設(shè)向量，.則；；；。所用知識(shí)點(diǎn)：設(shè)向量則：1）；2）；3）2、以點(diǎn)A(1,2,3),B（-2,0,1），C（3,1,2）為頂點(diǎn)的三角形的面積為所用知識(shí)點(diǎn)：以為頂點(diǎn)的三角形面積：其中，3、yoz坐標(biāo)面內(nèi)的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程是繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程是。所用知識(shí)點(diǎn)：見(jiàn)教材P25，或筆記。4、曲線在xoy坐標(biāo)面上的投影曲線的方程是。所用知識(shí)點(diǎn)：1）消去在平面上投影方程2）消去在平面上投影方程3）消去在平面上投影方程。5、過(guò)點(diǎn)（1,-2,3）且與平面垂直的直線方程為?！窘狻浚?）的法向量為，設(shè)直線的方向向量為，因?yàn)槠矫媾c直線垂直，故，故可取2）直線的對(duì)稱式（點(diǎn)向式方程）為：所用知識(shí)點(diǎn)：1、直線方程：（1）對(duì)稱式（點(diǎn)向式）：設(shè)直線的方向向量為，且過(guò)點(diǎn)，則直線方程為；（2）參數(shù)式：（為參數(shù)）；前面的系數(shù)即為方向向量的三個(gè)坐標(biāo)（3）一般式：;2、平面與直線關(guān)系：設(shè);1)；2）。6、過(guò)點(diǎn)（2,1，-3）且與直線平行的直線方程為?！窘狻浚?）的方向向量為，設(shè)直線的方向向量為，因?yàn)橹本€與直線平行，故，故可取2）直線的對(duì)稱式（點(diǎn)向式方程）為：。所用知識(shí)點(diǎn)：直線與直線關(guān)系：設(shè)；1）；2）。7、過(guò)點(diǎn)（-1,0,2）且與平面x+2y-3z=0平行的平面方程為?！窘狻?1）的法向量為，設(shè)所求平面的法向量為，因?yàn)槠矫媾c平面平行，故，故可取2）平面的點(diǎn)法式方程為：。所用知識(shí)點(diǎn)：1、（1）點(diǎn)法式：已知平面的法向量及平面上點(diǎn)，則該平面方程為：;（2）一般式：;注：三變量、、前面的系數(shù)、、即為平面法向量的三個(gè)坐標(biāo);若中有若干個(gè)為零（不全為零）則表示平面的特殊位置，具體參見(jiàn)教材。(3)截距式：設(shè)平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，即與三坐標(biāo)軸截距分別為、、，則該平面方程為：；2、平面與平面關(guān)系：設(shè)；1);2)；8、過(guò)點(diǎn)（0,-3,1）且與直線垂直的平面方程是.【解】：1）直線的方向向量為，設(shè)所求平面的法向量為，因?yàn)槠矫媾c直線垂直，故，故可取，2）平面的點(diǎn)法式方程為：。所用知識(shí)點(diǎn)：平面與直線的位置關(guān)系，同第5題.9、點(diǎn)（-1,1,0）到平面x+y-z+1=0的距離為。所用知識(shí)點(diǎn)：平面外一點(diǎn)到平面的距離：。?！窘狻浚呵笾本€的方向向量：1）2）3）平面的法向量：4）所用知識(shí)點(diǎn)：1、直線的一般式化為對(duì)稱式將直線的一般式化為對(duì)稱式的先寫出平面的法向量：;求出直線的方向向量；在上述方程中可令或或?yàn)橐怀?shù)（一般令為“0”比較方便），將方程化為二元一次方程求得另二個(gè)變量的解，由此得到直線上一點(diǎn)；從而得到直線的對(duì)稱式方程為：。2、平面與直線夾角：。第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1、函數(shù)的定義域是。2、。所用知識(shí)點(diǎn)：型等價(jià)無(wú)窮小替換【解】：所用知識(shí)點(diǎn)：直接代入法所用知識(shí)點(diǎn)：型含根式利用根式有理化。3、設(shè)，則【解】：所用知識(shí)點(diǎn)：；4、已知函數(shù)，則?！窘狻浚?）2）5、設(shè)則2.【解】：6、?！窘狻浚?）2）所用知識(shí)點(diǎn)：若，則；若，則?！窘狻浚?），其中2）所用知識(shí)點(diǎn)：抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。8、二元函數(shù)在點(diǎn)處滿足的關(guān)系為（B）A)可微可導(dǎo)連續(xù)B)可微可導(dǎo)，或可微連續(xù)，但可導(dǎo)不一定連續(xù)C)可微可導(dǎo)連續(xù)D)可導(dǎo)連續(xù)，但可導(dǎo)不一定可微所用知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分之間關(guān)系。9、曲線在t=1處的切線方程為,法平面方程為【解】：1）曲線的切向量切點(diǎn)為：2）切線方程為法平面：。所用知識(shí)點(diǎn)：空間曲線在時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處1）切線方程：2）法平面方程：10、曲面在點(diǎn)(1，-1，3)處的法線方程為切平面方程為【解】：1）設(shè)曲面的法向量曲面在點(diǎn)(1，-1，3)處的法線方程為2）切平面方程為：。所用知識(shí)點(diǎn)：曲面上一點(diǎn)處1）切平面方程：法線方程：11、求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)?！窘狻浚?）先求方向的方向余弦：2）3）12、函數(shù)在點(diǎn)處的方向?qū)?shù)為該點(diǎn)處各方向?qū)?shù)中的最大值是；方向是；最小值是；方向是【解】：1）。2）任一方向的方向余弦為3）函數(shù)在點(diǎn)處的沿任一方向的方向?qū)?shù)為4）函數(shù)在點(diǎn)處梯度：沿梯度方向方向?qū)?shù)取得最大值，最大值為沿梯度的反方向方向?qū)?shù)取得最小值，最小值為所用知識(shí)點(diǎn)：教材P102，P1041）函數(shù)在點(diǎn)沿著方向的方向?qū)?shù)為：其中：是方向的方向余弦。2）函數(shù)在點(diǎn)處梯度3）函數(shù)在某點(diǎn)取得最大方向?qū)?shù)的方向即是函數(shù)在該點(diǎn)的梯度方向。最大值為第十、十一章積分學(xué)1、所用知識(shí)點(diǎn)：，其中為積分區(qū)域D的面積。2、所用知識(shí)點(diǎn)：，其中為積分區(qū)域的體積。3、二次積分交換積分次序后為?！窘狻浚核弥R(shí)點(diǎn)：先由已知積分類型畫出積分區(qū)域圖，然后再交換。4、二次積分化為極坐標(biāo)形式的二次積分為?！窘狻浚?）2）3）所用知識(shí)點(diǎn)：先由已知積分類型畫出積分區(qū)域圖，然后化為極坐標(biāo)。5、設(shè)L為連接點(diǎn)（0,1）與點(diǎn)（1,0）兩點(diǎn)的直線段，則【解1】:1)L方程為：2）將L方程代入被積函數(shù)中得：【解2】：:1)L方程為：2）將L方程代入被積函數(shù)中得：所用知識(shí)點(diǎn)：此為第一類曲線積分，計(jì)算公式見(jiàn)教材P187--1896、設(shè)曲線L為整個(gè)圓周取正向，則曲線積分（D）【解】：1）利用格林公式：2）所用知識(shí)點(diǎn)：格林公式，L：取正向。是封閉曲線所圍成的區(qū)域。7、設(shè)是不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的任何曲線，為了使曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，則?！窘狻浚?）2）因?yàn)榉e分與路徑無(wú)關(guān)，故8、表達(dá)式為某一函數(shù)的全微分的充要條件是（D）【解】：所用知識(shí)點(diǎn)：與路徑無(wú)關(guān)是某一函數(shù)全微分。第十二章級(jí)數(shù)1、級(jí)數(shù)的和為3.【解】：（首項(xiàng)為1，公比為2/3）所用知識(shí)點(diǎn)：幾何級(jí)數(shù);2、判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：A)，故發(fā)散。B)為級(jí)數(shù)，收斂。再由收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)1也收斂。C）由級(jí)數(shù)收斂必要條件：發(fā)散。D)條件收斂。所用知識(shí)點(diǎn)：1）幾何級(jí)數(shù);2）P-級(jí)數(shù)3）交錯(cuò)級(jí)數(shù)4）級(jí)數(shù)收斂的必要條件：級(jí)數(shù)收斂注：如級(jí)數(shù)發(fā)散.3、若級(jí)數(shù)收斂，則?！窘狻浚阂?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件：4、若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則此級(jí)數(shù)在點(diǎn)處的收斂性為：絕對(duì)收斂。若冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則在處斂散性為：發(fā)散。所用知識(shí)點(diǎn)：阿貝爾定理5、若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=2，則此級(jí)數(shù)在點(diǎn)處的收斂性為：發(fā)散。所用知識(shí)點(diǎn)：收斂半徑與收斂區(qū)間定義。6、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為:【解】:所用知識(shí)點(diǎn)：7、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋??！窘狻?,因?yàn)楣剩海諗坑驗(yàn)椋核弥R(shí)點(diǎn)：二、計(jì)算題：向量、空間解析幾何：求過(guò)點(diǎn)（1，-2,3）且與直線垂直的平面方程.【解】：1）先求直線的方向向量：設(shè)所求平面的法向量為，因?yàn)槠矫媾c直線垂直，故，故可取2）平面的點(diǎn)法式方程為：所用知識(shí)點(diǎn)：參見(jiàn)第八章填空題8，填空題10過(guò)直線且與平面垂直的平面方程.【解】：1）設(shè)過(guò)直線的平面束方程為對(duì)應(yīng)的法向量為：2）已知平面的法向量為3）因?yàn)閮善矫娲怪?，?）將代入5）經(jīng)驗(yàn)證不是所求平面（因?yàn)椋┕仕笃矫鏋椋核弥R(shí)點(diǎn)：平面束方程：若直線L為：，則稱為通過(guò)直線L的平面束方程。注:1)通過(guò)直線L的任何平面（除平面外）都包含在方程所表示的一族平面內(nèi)2）解題時(shí)也應(yīng)對(duì)平面是否也符合解題要求加以驗(yàn)證，以確定是否也為所求平面。求過(guò)點(diǎn)（-2,1,2）且與兩平面都平行的直線方程.【解】：1）因所求直線與均平行，故直線的方向向量與平面的法向量垂直，即，故可以取2）所求直線方程為所用知識(shí)點(diǎn)：1）直線與平面的關(guān)系2）設(shè)向量則與，同時(shí)垂直的向量可以取為為：求過(guò)點(diǎn)（2,1，-1）且與平面平行，又與直線相交的直線方程.【解】：1）設(shè)所求的直線方程的對(duì)稱式為：，因與平面平行故2）又與直線相交，故有由所求的直線方程為所用知識(shí)點(diǎn)：直線與直線相交則與必共面，即【解2】：1）求出過(guò)點(diǎn)（2,1，-1）且與平面平行的平面：2）求出直線（直線的參數(shù)式）與平面的交點(diǎn)：將代入中求得，從而得交點(diǎn)為3）連接點(diǎn)（2,1，-1）與的直線即為所求的直線：（二）微分學(xué)：1、設(shè)，求.【解】：1）2）2、設(shè)，（），求.【解】：1）令，其中2）3）3、設(shè)【解】：1）將代入2）利用一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式：4、設(shè)函數(shù)是由方程：所確定的隱函數(shù)，求.【解】：1）設(shè)2）所用知識(shí)點(diǎn)：二元隱函數(shù)：由方程確定，則當(dāng)5、求函數(shù)的極值.【解】：1）得駐點(diǎn)：2）再求二階導(dǎo)數(shù)在處非極值；在處，又，所以函數(shù)在有極大值；在處，又，所以函數(shù)在有極小值；在處不是極值。（三）積分學(xué)：1、計(jì)算二重積分：，其中D由直線x=2,y=x及曲線xy=1所圍成的閉區(qū)域.【解】：1）畫圖確定積分區(qū)間：2）2、計(jì)算二重積分：【解】：1）交換積分次序：2）3、計(jì)算二重積分：，其中【解】：1）畫圖，積分區(qū)域?yàn)樯习雮€(gè)圓，故化為極坐標(biāo)：2）3）4、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，且求函數(shù).【解】：1）設(shè)，則2）故計(jì)算三重積分，其中由所圍成的閉區(qū)域【解】：1）畫圖，積分區(qū)域在平面上的投影區(qū)域?yàn)橛汕€圍成的閉區(qū)域，故有2）所用知識(shí)點(diǎn)：三重積分的投影法（先一后二）6、計(jì)算三重積分:。其中是由平面及與平面所圍成的閉區(qū)域?！窘狻浚?）2）因?yàn)橥?）所用知識(shí)點(diǎn)：三重積分的投影法（先一后二）7、計(jì)算三重積分，其中.【解1】：投影法1）畫圖，積分區(qū)域在平面上的投影區(qū)域：圍成的閉區(qū)域，故三重積分采用柱面坐標(biāo)有，2）【解2】:1），其中是豎坐標(biāo)為的平面截所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域：2）所用知識(shí)點(diǎn)：三重積分的截面法（先二后一），見(jiàn)上課筆記。8、計(jì)算曲線積分，其中L為拋物線上從點(diǎn)O（0,0）到點(diǎn)A（1,1）的一段弧.【解】：1）將路徑方程L直接代入曲線積分中。2）所用知識(shí)點(diǎn)：此為第二類的曲線積分，故當(dāng)路徑方程及被積函數(shù)很簡(jiǎn)單時(shí)可采用直接代入法。9、計(jì)算曲線積分：其中是曲線上起點(diǎn)為A終點(diǎn)B的一段弧?！窘狻浚?）顯然，當(dāng)時(shí)，恰巧對(duì)應(yīng)曲線的起點(diǎn)A與終點(diǎn)B。2）將路徑方程：直接代入所用知識(shí)點(diǎn)：此為第二類的曲線積分，故當(dāng)路徑方程為參數(shù)形式時(shí)采用直接代入法。10、計(jì)算曲線積分：，其中L是從點(diǎn)（0，0）到點(diǎn)（4，0）的上半圓周?！窘狻浚?）；因?yàn)椋什捎锰砭€利用格林公式。2）添線：：，（注意方向）則圍成封閉的有向曲線，方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颉?）利用格林公式：4）。所用知識(shí)點(diǎn)：1）當(dāng)路徑為圓弧或較復(fù)雜的曲線，且被積函數(shù)較為復(fù)雜時(shí)，則算出若，則添線利用格林公式；若，則積分與路徑無(wú)關(guān)，另取路徑。2）格林公式：，L：為封閉曲線取正向。是封閉曲線所圍成的區(qū)域。如是單連通區(qū)域，則逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。如取順時(shí)針?lè)较颍瑒t在公式前面添上“-”號(hào)11、計(jì)算曲線積分,其中L為余弦曲線上自的弧段.【解】：1）；因?yàn)椋是€積分與路徑無(wú)關(guān)。另取路徑：其中；2）12、求a,b的值，使曲線積分在整個(gè)xoy面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。并計(jì)算的值.【解】：1）；因?yàn)榍€積分在整個(gè)xoy面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，故。2）因?yàn)榍€積分在整個(gè)xoy面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，故另取路徑如下：，其中；所用知識(shí)點(diǎn)：曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充要條件為：曲線積分與路徑無(wú)關(guān)13、驗(yàn)證在整個(gè)xoy平面內(nèi)是某一函數(shù)u(x,y)的全微分，并求這樣的一個(gè)函數(shù)u(x,y).【解】：1）因?yàn)?，故在整個(gè)xoy平面內(nèi)是某一函數(shù)u(x,y)的全微分。2）取xoy平面內(nèi)一點(diǎn)，則可求得一個(gè)函數(shù)如下：因?yàn)椋噬鲜龇e分與路徑無(wú)關(guān)，另取路徑：其中；3）故得一（顯然即是函數(shù)的全微分）。所用知識(shí)點(diǎn)：下列條件互為充要條件積分與路徑無(wú)關(guān)是某一函數(shù)的全微分（是封閉的有向曲線）14、計(jì)算曲面積分，其中位于第一卦限的部分，取上側(cè)?！窘狻浚?）將投影至平面，投影區(qū)域?yàn)椋?）將方程改寫為：，代入被積函數(shù)中，同時(shí)注意：取“上側(cè)”3）所用知識(shí)點(diǎn)：1）曲面的方程：，為曲面在面上的投影區(qū)域，則，（上側(cè)取“+”，下側(cè)取“”）2）曲面的方程：，為曲面在面上的投影區(qū)域，則（前側(cè)取“+”，后側(cè)取“”）3）曲面的方程為，為曲面在面上的投影區(qū)域，則（右側(cè)取“+”，左側(cè)取“”）15、計(jì)算曲面積分，其中為曲面位于xoy面上方的部分，取下側(cè).【解】：1）；2）添面，取“上側(cè)”，則構(gòu)成封閉曲面，并取“內(nèi)側(cè)”可利用高斯公式：因?yàn)闃?gòu)成封閉曲面，并取“內(nèi)側(cè)”，故取“-”號(hào)。3）因?yàn)樵谄矫嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)?并取上側(cè)，故4)所用知識(shí)點(diǎn)：1)若常數(shù)，且添一張面可以圍成封閉的曲面，則可考慮利用高斯公式。2）高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域由光滑的曲面所圍成，函數(shù)在上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。（四）級(jí)數(shù)：1、判別級(jí)數(shù)的斂散性.【解】：1）此為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，采用比值法：2）3）因?yàn)楣视烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比較法：收斂。所用知識(shí)點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值審斂法:設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足,,則有（1）收斂;（2）發(fā)散;（3）可能收斂也可能發(fā)散.注:當(dāng)一般項(xiàng)含有時(shí)考慮用比值法。2、判別級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，指明是絕對(duì)收斂還是條件收斂？【解】：1）2），可取因?yàn)?，故由正?xiàng)級(jí)數(shù)比較法的極限形式與具有相同的斂散性。因?yàn)闉榈募?jí)數(shù)，收斂。再由收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)：乘上不為0的常數(shù)仍收斂收斂收斂。3）收斂，且為絕對(duì)收斂。3、判別級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，指明是絕對(duì)收斂還是條件收斂？【解】：1）2），而發(fā)散（為的級(jí)數(shù)，發(fā)散），故。2）因?yàn)闉榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)，且（1），（2）故由萊布尼茨判別法：收斂。由1）與2）知收斂且為條件收斂。所用知識(shí)點(diǎn)：1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較法的極限形式：設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)與的通項(xiàng)滿足則（1）當(dāng)與具有相同斂散性;（2）當(dāng)時(shí)收斂收斂;當(dāng)時(shí)發(fā)散發(fā)散.2）交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)的萊布尼茲審斂法:設(shè)交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足：則交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.3、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域.所用知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間與收斂域：收斂半徑的求法:設(shè)為冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),求,a)若,則,收斂區(qū)間為b)若,則,級(jí)數(shù)僅在處收斂.c)除上述兩種情況外,可設(shè),解得,得收斂半徑與收斂區(qū)間.d)將代入中得二常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，由常數(shù)項(xiàng)斂散性的判別法判別這二級(jí)數(shù)的斂散性從而得到收斂域。（1）【解】：1）收斂區(qū)間為，收斂半徑為2)時(shí)，，收斂。時(shí)，，發(fā)散。故收斂域?yàn)椋?，?）【解】：1）收斂區(qū)間為，收斂半徑為2）時(shí)，收斂時(shí)，收斂故收斂域?yàn)椋海?）【解】：1）收斂區(qū)間為，收斂半徑為。2）時(shí)，，收斂。時(shí)，，發(fā)散。故收斂域?yàn)?、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).【解】：1）先求收斂域：收斂區(qū)間為時(shí)，，收斂。時(shí)，，收斂。故收斂域?yàn)椋?）設(shè)，故，所用知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的性質(zhì):見(jiàn)教材P276性質(zhì)3求冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)求在收斂域（-1,1）上的和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.【解】：1）設(shè)2）故，3）所用知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的性質(zhì):見(jiàn)教材P276性質(zhì)2求冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)將函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)，并指明收斂域.【解】：1）2）因?yàn)楣剩?）收斂域?yàn)椋?、將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂域。[解]：1）而2），3）將函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)，并指明收斂域.【解】：1）2），3）