平面解析幾何

平面解析幾何第一節(jié) 直線的傾斜角、斜率與直線的方程一、基礎(chǔ)知識(shí)1．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線 l與x軸相交時(shí)，取 x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線 l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.(2)規(guī)定：當(dāng)直線 l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為 0.(3)范圍：直線 l傾斜角的取值范圍是 [0，π)．2．斜率公式π(1)定義式：直線 l的傾斜角為 αα≠2，則斜率 k＝tanα.(2)坐標(biāo)式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，y2－y1且x1≠x2，則l的斜率 k＝x2－x1.3．直線方程的五種形式名稱方程點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)斜截式y(tǒng)＝kx＋b兩點(diǎn)式y(tǒng)－y1x－x1y2－y1＝x2－x1x＋y＝1截距式ab一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0

適用范圍不含垂直于 x軸的直線不含垂直于 x軸的直線不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線平面內(nèi)所有直線都適用二、常用結(jié)論特殊直線的方程(1)直線過點(diǎn) P1(x1，y1)，垂直于x軸的方程為 x＝x1；(2)直線過點(diǎn) P1(x1，y1)，垂直于y軸的方程為 y＝y(tǒng)1；(3)y軸的方程為 x＝0；(4)x軸的方程為 y＝0.考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率ππ的傾斜角的取值范圍是()[典例](1)直線2xcosα－y－3＝0α∈6，3ππB.ππA.，，3634πππ2πC.，D.，4243(2)直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，3)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為________．[解析](1)直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因?yàn)棣痢师笑?≤cosα≤3，，，所以6322因此k＝2·cosα∈[1， 3]．設(shè)直線的傾斜角為 θ，則有tanθ∈[1， 3]．ππ又θ∈[0，π)，所以θ∈ ， ，4 3ππ即傾斜角的取值范圍是 4，3.(2)設(shè)PA與PB的傾斜角分別為α，β，直線PA的斜率是kAP＝1，直線PB的斜率是kBP＝－3，當(dāng)直線l由PA變化到與y軸平行的位置PC時(shí)，它的傾斜角由α增至90°，斜率的取值范圍為 [1，＋∞)．當(dāng)直線l由PC變化到PB的位置時(shí)，它的傾斜角由90°增至β，斜率的變化范圍是(－∞，－3]．故直線l斜率的取值范圍是 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．[答案] (1)B (2)(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)[變透練清]1.變條件若將本例(1)中的條件變?yōu)椋浩矫嫔嫌邢喈悆牲c(diǎn)A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，則直線AB的傾斜角α的取值范圍是________．解析：由題意知cosθ≠0，則斜率k＝tanα＝sin2θ－1＝－cosθ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直cosθ－0π3π線AB的傾斜角的取值范圍是0，4∪4，π.π3π答案：0，4∪，π4變條件若將本例(2)中P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，則直線l斜率的取值范圍為________．解析：設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵A，B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上，∴(2k－1＋k)(－3＋k)≤0，即(3k－1)(k－3)≤0，解得1≤k≤3.3即直線l的斜率的取值范圍是1，3.3答案：1，333．若點(diǎn)A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為________．解析：因?yàn)閗AC＝5－3＝1，kAB＝a－3＝a－3.由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以a－3＝1，6－45－4即a＝4.答案：4考點(diǎn)二 直線的方程[典例]

(1)若直線經(jīng)過點(diǎn)

A(－5,2)，且在

x軸上的截距等于在

y軸上的截距的

2倍，則該直線的方程為

________________．(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)

A(－

3，3)，且傾斜角為直線

3x＋y＋1＝0的傾斜角的一半，則該直線的方程為

________________．(3)在△ABC

中，已知

A(5，－2)，B(7,3)，且

AC

的中點(diǎn)

M在

y軸上，BC

的中點(diǎn)

N在

x軸上，則直線

MN

的方程為

________________．[解析]

(1)①當(dāng)橫截距、縱截距均為零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為

y＝kx，將(－5,2)代入22y＝kx中，得k＝－，此時(shí)，直線方程為y＝－x，即2x＋5y＝0.55②當(dāng)橫截距、縱截距都不為零時(shí)，xy設(shè)所求直線方程為2a＋a＝1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－1，此時(shí)，直線方程為x＋2y＋1＝0.2綜上所述，所求直線方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.(2)由3x＋y＋1＝0得此直線的斜率為－3，所以傾斜角為120°，從而所求直線的傾斜角為60°，故所求直線的斜率為3.又直線過點(diǎn)A(－3，3)，所以所求直線方程為y－3＝3(x＋3)，即3x－y＋6＝0.5＋x0y0－2，N7＋x0y0＋3.(3)設(shè)C(x0，y0)，則M2，2，22因?yàn)辄c(diǎn)M在y軸上，所以5＋x0＝0，所以x0＝－5.2y0＋3因?yàn)辄c(diǎn)N在x軸上，所以 ＝0，所以y0＝－3，即C(－5，－3)，5所以M0，－2，N(1,0)，所以直線MN的方程為x＋y＝1，－52即5x－2y－5＝0.[答案] (1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0(2) 3x－y＋6＝0 (3)5x－2y－5＝0[題組訓(xùn)練]1．過點(diǎn)(1,2)，傾斜角的正弦值是2的直線方程是________________．2解析：由題知，傾斜角為π3π或－1，直線方程為y－2＝x－1或y－2或4，所以斜率為14＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x－y＋1＝0或x＋y－3＝02．過點(diǎn)P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程為________________．解析：設(shè)直線方程的截距式為x＋y＝1，則6＋－2＝1，解得a＝2或a＝1，則直a＋1aa＋1a線的方程是

x ＋y＝1或2＋1 2

x ＋y＝1，即1＋1 1

2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.答案：2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0考點(diǎn)三 直線方程的綜合應(yīng)用[典例]已知直線l過點(diǎn)M(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為―→―→l的方程．坐標(biāo)原點(diǎn)，求當(dāng)|MA||·MB|取得最小值時(shí)直線[解]x＋y＝1，設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a＞0，b＞0，直線l的方程為ab所以2＋1＝1.ab―→―→―→―→|MA||·MB|＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－52＋1－5＝(2a＋b)ab2b＋2a≥4，ab當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線 l的方程為 x＋y－3＝0.[解題技法]與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略求解與直線方程有關(guān)的最值問題．先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．(2)求直線方程．弄清確定直線的兩個(gè)條件， 由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程．求參數(shù)值或范圍．注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解．[題組訓(xùn)練]1．若直線ax＋by＝ab(a>0，b>0)過點(diǎn)(1,1)，則該直線在 x軸，y軸上的截距之和的最小值為()A．1B．2C．4D．8解析：選C∵直線ax＋by＝ab(a>0，b>0)過點(diǎn)(1,1)，a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，a＋b＝(a＋b)1＋1ab＝2＋b＋a≥2＋2ba＝4，abab當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)上式等號(hào)成立．∴直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.2．已知直線l：x－my＋3m＝0上存在點(diǎn)M滿足與A(－1,0)，B(1,0)兩點(diǎn)連線的斜率kMA與kMB之積為3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[－6，6]B.－∞，－6∪6，＋∞66C.－∞，－6∪6，＋∞66D.－2，222解析：選C設(shè)M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得y·y＝3，即y2＝3x2－3.x＋1x－1x－my＋3m＝0，1223聯(lián)立y2＝3x2－3，得m2－3x＋mx＋6＝0(m≠0)，23212166則＝m－24m2－3≥0，即m≥6，解得m≤－6或m≥6.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是－∞，－6∪6，＋∞.66[課時(shí)跟蹤檢測(cè) ]1．(2019·肥模擬合)直線l：xsin30＋°ycos150＋°1＝0的斜率是( )3B.3A.33C．－3D．－3解析：選A設(shè)直線l的斜率為k，則k＝－sin30°3cos150＝°3.2．傾斜角為120°，在x軸上的截距為－1的直線方程是()A.3x－y＋1＝0B.3x－y－3＝0C.3x＋y－3＝0D.3x＋y＋3＝0解析：選D由于傾斜角為120°，故斜率k＝－3.又直線過點(diǎn)(－1,0)，所以直線方程為y＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.3．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M為AB的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，則中位線MN所在直線的方程為()A．2x＋y－12＝0B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0D．2x－y＋8＝0解析：選C由題知M(2,4)，N(3,2)，則中位線MN所在直線的方程為y－4＝x－2，整2－43－2理得2x＋y－8＝0.4．方程y＝ax－1表示的直線可能是()a解析：選

C

當(dāng)a＞0時(shí)，直線的斜率

k＝a＞0，在

y軸上的截距

b＝－1＜0，各選項(xiàng)都a不符合此條件；當(dāng)

a＜0時(shí)，直線的斜率

k＝a＜0，在

y軸上的截距

b＝－1a＞0，只有選項(xiàng)

C符合此條件．故選 C.5．在等腰三角形則直線MN的方程為(A．3x－y－6＝0C．3x－y＋6＝0

MON)

中，MO＝MN，點(diǎn)O(0,0)，M(－1,3)，點(diǎn)B．3x＋y＋6＝0D．3x＋y－6＝0

N在

x軸的負(fù)半軸上，以

解析：選C因?yàn)镸O＝MN，所以直線kMN＝－kMO＝3，所以直線MN的方程為

MN的斜率與直線y－3＝3(x＋1)，即

MO的斜率互為相反數(shù)，所3x－y＋6＝0，選C.6．若直線

mx＋ny＋3＝0在

y軸上的截距為－

3，且它的傾斜角是直線

3x－y＝3 3的傾斜角的

2倍，則

(

)A．m＝－

3，n＝1

B．m＝－

3，n＝－3C．m＝

3，n＝－3

D．m＝

3，n＝1解析：選

D

對(duì)于直線

mx＋ny＋3＝0，令

x＝0得

y＝－3，即－n

3＝－3，n＝1.n因?yàn)?/p>

3x－y＝3 3的斜率為

60°，直線

mx＋ny＋3＝0的傾斜角是直線

3x－y＝3 3的

2倍，所以直線

mx＋ny＋3＝0的傾斜角為

120°，即－mn＝－

3，m＝

3.7．當(dāng)

0<k<1時(shí)，直線2

l1：kx－y＝k－1與直線

l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在

(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限k解析：選Bkx－y＝k－1，x＝k－1，由得2k－1ky－x＝2ky＝k－1.又∵0<k<1，∴x＝k2k－12k－1<0，y＝k－1>0，故直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在第二象限．8．若直線l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x軸負(fù)半軸于 A，交y軸正半軸于 B，則當(dāng)△AOB的面積取最小值時(shí)直線l的方程為()A．x－2y＋4＝0B．x－2y＋8＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－y＋8＝0解析：選B由l的方程，得A－2＋4k，0，B(0,2＋4k)．依題意得－2＋4k＜0，k解k2＋4k＞0，得k＞0.因?yàn)镾＝112＋4k12＋4k214＋16≥12|OA||OB|·＝2k·|2＋4k|＝2·k＝216k＋k2(2×8＋16)＝4116，當(dāng)且僅當(dāng)16k＝k，即k＝2時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)l的方程為x－2y＋8＝0.9．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)為頂點(diǎn)的△ABC，其邊AB上的高所在的直線方程是________________．解析：由A，B兩點(diǎn)得kAB＝1，則邊AB上的高所在直線的斜率為－2，故所求直線方程2是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.答案：2x＋y－14＝010．已知直線l過點(diǎn)(1,0)，且傾斜角為直線l0：x－2y－2＝0的傾斜角的2倍，則直線l的方程為________________．解析：由題意可設(shè)直線l0，l的傾斜角分別為α，2α，因?yàn)橹本€l0：x－2y－2＝0的斜率為1，則tanα＝1，221所以直線l的斜率k＝tan2α＝2tanα2＝2×2＝4，1－tanα1231－24所以由點(diǎn)斜式可得直線 l的方程為 y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.答案：4x－3y－4＝011．直線 l經(jīng)過點(diǎn) A(1,2)，在

x軸上的截距的取值范圍是

(－3，3)，則其斜率的取值范圍是________________．解析：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－1)，直線l在x軸上221或k<－1.的截距為1－，令－3<1－<3，解不等式得k>kk2答案：(－∞，－1)∪1，＋∞212．設(shè)點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是 ________．解析：b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距，如圖，當(dāng)直線y＝－2x＋b過點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(1,0)時(shí)，b分別取得最小值和最大值．∴b的取值范圍是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過定點(diǎn)A(－3,4)；1(2)斜率為6.解：(1)設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋3)＋4，它在x軸，y軸上的截距分別是－4－3,3k＋4，k由已知，得(3k＋4)4＋3＝±6，k解得k1＝－283或k2＝－.3故直線l的方程為2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)設(shè)直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程為y＝1x＋b，它在x軸上的截距是－6b，6由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直線l的方程為 x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.第二節(jié) 兩直線的位置關(guān)系一、基礎(chǔ)知識(shí)1．兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.(2)兩條直線垂直①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.2．兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組A1x＋B1y＋C1＝0，的解．A2x＋B2y＋C2＝03．三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.(2)點(diǎn)到直線的距離公式|Ax0＋By0＋C|.點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝2＋B2A(3)兩平行直線間的距離公式兩條平行直線 Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0|C1－C2|間的距離 d＝ A2＋B2.二、常用結(jié)論(1)與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直線方程可設(shè)為：①垂直：Bx－Ay＋m＝0；②平行：Ax＋By＋n＝0.(2)與對(duì)稱問題相關(guān)的四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y)．②點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)．③點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．④點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．考點(diǎn)一 兩條直線的位置關(guān)系[典例]已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試確定m，n的值，使(1)l1與l2相交于點(diǎn)P(m，－1)；l1∥l2；l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.m2－8＋n＝0，[解] (1)由題意得2m－m－1＝0，m＝1，解得n＝7.即m＝1，n＝7時(shí)，l1與l2相交于點(diǎn) P(m，－1)．(2)∵l1∥l2，∴m2－16＝0，－m－2n≠0，m＝4，m＝－4，解得或n≠－2n≠2.即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2時(shí)，l1∥l2.(3)當(dāng)且僅當(dāng) 2m＋8m＝0，即m＝0時(shí)，l1⊥l2.n又－＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8時(shí)，l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－ 1.[解題技法]1．．由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A12＋B12≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件A1＝B1C1A2≠(A2B2C2≠0)B2C2l1與l2相交的充分條件A1≠B1(A2B2≠0)A2B2l1與l2重合的充分條件A1＝B1C1A2＝(A2B2C2≠0)B2C2[題組訓(xùn)練]1．已知直線 4x＋my－6＝0與直線5x－2y＋n＝0垂直，垂足為(t,1)，則n的值為( )A．7B．9C．11D．－7解析：選A由直線4x＋my－6＝0與直線5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直線4x＋10y－6＝0過點(diǎn)(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.點(diǎn)(－1,1)又在直線5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．(2019?！ざㄎ逍Ｂ?lián)考)直線l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的()．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)m＝－1時(shí)，直線l1與l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故選C.考點(diǎn)二

距離問題[典例]

(1)過點(diǎn)

P(2,1)且與原點(diǎn)

O距離最遠(yuǎn)的直線方程為

(

)A．2x＋y－5＝0

B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0

D．x－2y＝0(2)若兩平行直線

l1：x－2y＋m＝0(m＞0)與

l2：2x＋ny－6＝0

之間的距離是

5，則

m＋n＝()A．0B．1C．－2D．－1[解析](1)過點(diǎn)P(2,1)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線為過點(diǎn)P(2,1)且與OP垂直的直線，因?yàn)橹本€OP的斜率為1－0＝1，所以所求直線的斜率為－2，故所求直線方程為2x＋y－52－02＝0.(2)因?yàn)閘1，l2平行，所以 1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得 n＝－4，m≠－3，所以直線l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之間的距離是5，所以|m＋3|＝5，解得m＝2或m＝1＋4－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故選C.[答案](1)A(2)C[解題技法]1．點(diǎn)到直線的距離的求法可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．2．兩平行線間的距離的求法利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．(2)利用兩平行線間的距離公式．[題組訓(xùn)練]1．已知點(diǎn) P(2，m)到直線 2x－y＋3＝0的距離不小于 2 5，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是________________．解析：由題意得，點(diǎn)P到直線的距離為 |2×2－m＋3|≥25，即|m－7|≥10，解得m≥1722＋12或m≤－3，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)2．如果直線 l1：ax＋(1－b)y＋5＝0和直線l2：(1＋a)x－y－b＝0都平行于直線 l3：x－2y＋3＝0，則l1，l2之間的距離為________．1解析：因?yàn)閘1∥l3，所以－2a－(1－b)＝0，同理－2(1＋a)＋1＝0，解得a＝－ ，b＝0，因此l1：x－2y－10＝0，l2：x－2y＝0，d＝|－10－0|＝25.12＋－22答案：2 5考點(diǎn)三對(duì)稱問題[典例]已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．(1)求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)求直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程．[解](1)設(shè)A′(x，y)，再由已知得y＋2×2＝－1，33，x＋13x＝－13x－1解得4y－2，2×2－3×2＋1＝0，y＝13所以A′－33，41313.(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′必在m′上．設(shè)a＋2b＋02×2－3×2＋1＝0，6，30對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則解得M′1313.設(shè)m與l的交b－0×2＝－1，a－232x－3y＋1＝0，得N(4,3)．又因?yàn)閙′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，所以由兩點(diǎn)式得直線點(diǎn)為N，則由3x－2y－6＝0，m′方程為9x－46y＋102＝0.[變透練清]1.變結(jié)論 在本例條件下，則直線 l 關(guān)于點(diǎn) A(－1，－________________．

2)對(duì)稱的直線

l′的方程為解析：法一： 在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如M(1,1)，N(4,3)，則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M′，N′均在直線l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.法二：設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.答案：2x－3y－9＝02．(2019

·肥四校聯(lián)考合

)已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)

M(－3,4)，被直線

l：x－y＋3＝0

反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)解析：設(shè)點(diǎn)

N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為 ________．M(－3,4)關(guān)于直線 l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為 M′(a，b)，則反射光線所在b－4＝－1，直線過點(diǎn)M′，所以 解得a＝1，b＝0.又反射光線經(jīng)過點(diǎn) N(2,6)，3＋a－b＋4＋3＝0，22y－0 x－1所以所求直線的方程為 ＝ ，即6x－y－6＝0.答案：6x－y－6＝0[解題技法]1．中心對(duì)稱問題的兩個(gè)類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱x＝2a－x1，若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求y＝2b－y1解．(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；②求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程；③軌跡法，設(shè)對(duì)稱直線上任一點(diǎn)M(x，y)，其關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在已知直線上．2．軸對(duì)稱問題的兩個(gè)類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，x1＋x2y1＋y2＋C＝0，A×2＋B×由方程組2可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，Ay2－y1＝－1，x2－x1×－By2)(其中B≠0，x1≠x2)．(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決， 有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交； 二是已知直線與對(duì)稱軸平行．[課時(shí)跟蹤檢測(cè) ]1．過點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0垂直的直線方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析：選C因?yàn)橹本€x－2y－2＝0的斜率為1，2所以所求直線的斜率k＝－2.所以所求直線的方程為y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.2．已知直線l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0和l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，則a＝()A．2或1B.1或－1231C.3D．－1解析：選B因?yàn)橹本€l⊥l，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得a＝1或－1.1233．若點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)|x－5＋3x－1|解析：選C 設(shè)P(x,5－3x)，則d＝ ＝ 2，化簡(jiǎn)得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，2 21＋－1解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．4．(2018·陽(yáng)一模揭)若直線l1：x－3y＋2＝0與直線l2：mx－y＋b＝0關(guān)于x軸對(duì)稱，則m＋b＝()1A.3B．－11C．－3D．1解析：選B直線l1：x－3y＋2＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為x＋3y＋2＝0.由題意知m≠0.因?yàn)閙x－y＋b＝0，即x－y＋b＝0，且直線l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，mm11－m＝3，m＝－3，所以有解得b＝2，2，mb＝－3則m＋b＝－1＋－2＝－1.335．點(diǎn)A(1,3)關(guān)于直線y＝kx＋b對(duì)稱的點(diǎn)是 B(－2,1)，則直線y＝kx＋b在x軸上的截距是()35A．－2B.465C．－5D.63－13解析：選D由題意，知1＋2·k＝－1，k＝－2，解得512＝k·－2＋b，b＝4.∴直線方程為355×－25y＝－x＋，它在x軸上的截距為－43＝.故選D.2466．(2019成·都五校聯(lián)考)已知A，B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是()A．2x＋y－7＝0B．x＋y－5＝0C．2y－x－4＝0D．2x－y－1＝0解析：選B由|PA|＝|PB|得點(diǎn)P一定在線段AB的垂直平分線上，根據(jù)直線PA的方程為x－y＋1＝0，可得A(－1,0)，將x＝2代入直線x－y＋1＝0，得y＝3，所以P(2，3)，所以B(5,0)，所以直線PB的方程是x＋y－5＝0，選B.7．若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線 l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則 AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．32B．22C．33D．42解析：選A依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離．設(shè)點(diǎn)M所在直線|m＋7||m＋5|m＝的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得＝?|m＋7|＝|m＋5|?22－6，即l：x＋y－6＝0.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得M到原點(diǎn)的距離的最小值為|－6|＝32.28．已知點(diǎn)A(1,3)，B(5，－2)，在x軸上有一點(diǎn)P，若|AP|－|BP|最大，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(3.4,0)B．(13,0)C．(5,0)D．(－13,0)解析：選B作出A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(1，－3)，則A′B所在直線方程為x－4y13＝0.令y＝0得x＝13，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(13,0)．9．經(jīng)過兩直線 l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn) P，且與直線 l3：3x－4y＋50垂直的直線l的方程為________．x－2y＋4＝0，解析：由方程組得x＝0，y＝2，即P(0,2)．因?yàn)閘⊥l3，所以直線l的x＋y－2＝0斜率k＝－4，所以直線l的方程為y－2＝－4x，即4x＋3y－6＝0.33答案：4x＋3y－6＝010．已知點(diǎn)P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，則過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1，P2距離相等的直線方程為________．解析：當(dāng)直線與點(diǎn)P1，P2的連線所在的直線平行時(shí)，由直線P1P2的斜率k＝3－5＝－1，2＋43得所求直線的方程為y－2＝－1(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)直線過線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,4)，所以直線方程為x＝－1.綜上所述，所求直線方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.答案：x＋3y－5＝0或x＝－111．直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線 x＝1對(duì)稱的直線方程是 ________．解析：由題意得直線 x－2y＋1＝0與直線x＝1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)．又直線x－2y＋1＝0上的點(diǎn)(－1,0)關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為(3,0)，所以由直線方程的兩點(diǎn)式，得y－0＝x－3，1－01－3即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝012．過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線 l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為________．解析：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以由兩點(diǎn)式得直線l的方程為x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝013．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(1,1)，B(－1,3)，C(3,4)．(1)求BC邊的高所在直線l1的方程；(2)若直線l2過C點(diǎn)，且A，B到直線l2的距離相等，求直線l2的方程．解：(1)因?yàn)閗＝4－3＝1，又直線l與BC垂直，所以直線l的斜率k＝－1＝－4，BC3＋1411kBC所以直線 l1的方程是 y＝－4(x－1)＋1，即4x＋y－5＝0.(2)因?yàn)橹本€ l2過C點(diǎn)且A，B到直線l2的距離相等，所以直線l2與AB平行或過 AB的中點(diǎn)M，3－1因?yàn)閗AB＝－1－1＝－1，所以直線 l2的方程是 y＝－(x－3)＋4，即x＋y－7＝0.因?yàn)锳B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2)，4－2 2所以kCM＝ ＝，所以直線 l2的方程是2y＝3(x－3)＋4，即2x－3y＋6＝0.綜上，直線 l2的方程是x＋y－7＝0或2x－3y＋6＝0.第三節(jié)圓的方程一、基礎(chǔ)知識(shí)1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心：(a，b)，半徑：r?x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圓心：－D，－E，一般方程(D2＋E2－4F＞0)22122?半徑：2D＋E－4F標(biāo)準(zhǔn)方程強(qiáng)調(diào)圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.22DE?(1)當(dāng)D＋E－4F＝0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)－2，－2；(2)當(dāng)D2＋E2－4F＜0時(shí)，方程不表示任何圖形．2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y－a)2＋(y－b)2＞r20)在圓外，則(x00.(2)若M(x0，y－a)2＋(y－b)2＝r20)在圓上，則(x00.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.二、常用結(jié)論A＝C≠0，(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.考點(diǎn)一 求圓的方程[典例] (1)圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為 1，且過點(diǎn) A(1,2)的圓的方程是 ( )22＝1A．x＋(y－2)B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4(2)圓心在直線 x－2y－3＝0上，且過點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的方程為 ________．[解析](1)根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為x2＋(y－b)2＝1，因?yàn)閳A過點(diǎn)A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.(2)法一：幾何法設(shè)點(diǎn)C為圓心，因?yàn)辄c(diǎn)C在直線x－2y－3＝0上，所以可設(shè)點(diǎn) C的坐標(biāo)為(2a＋3，a)．又該圓經(jīng)過 A，B兩點(diǎn)，所以|CA|＝|CB|，即2a＋3－22＋a＋322a＋3＋22＋a＋52，解得a＝－2，所以圓心C的坐標(biāo)為(－1，－2)，半徑r＝ 10，2 2法二：待定系數(shù)法設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，2 2 22－a＋－3－b＝r，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，2 2故所求圓的方程為 (x＋1)＋(y＋2)＝10.設(shè)圓的一般方程為 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心坐標(biāo)為 －D，－E，2 2－D2－2×－E2－3＝0，由題意得4＋9＋2D－3E＋F＝0，4＋25－2D－5E＋F＝0，解得D＝2，E＝4，F(xiàn)＝－5.故所求圓的方程為 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.[答案] (1)A (2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0[題組訓(xùn)練

]1．已知圓

E經(jīng)過三點(diǎn)

A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圓心在

x軸的正半軸上，則圓

E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x－32225B.x＋322252＋y＝44＋y＝16C.x－32225D.x－322254＋y＝164＋y＝4解析：選C法一：根據(jù)題意，設(shè)圓E的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a＞0)，半徑為r，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)．a(chǎn)2＋12＝r2，3，2－a2＝r2，a＝4由題意得解得225a2＋－12＝r2，r＝16，所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x－32＋y2＝25416.法二：設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，1＋E＋F＝0，3，D＝－2則由題意得4＋2D＋F＝0，解得E＝0，1－E＋F＝0，F(xiàn)＝－1，所以圓E的一般方程為223322＝25x＋y－x－1＝0，即x－4＋y.216法三：因?yàn)閳AE經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)，B(2,0)，1所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y－2＝2(x－1)上．又圓E的圓心在 x軸的正半軸上，所以圓E的圓心坐標(biāo)為3，0.43225則圓E的半徑為|EB|＝2－4＋0－0＝4，32225所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x－4＋y＝16.2．已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)，則該圓的方程是________________．解析：過切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線方程為x－y－5＝0，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)．2 2所以半徑r＝ 3－1 ＋－2＋4＝2 2，2 2故所求圓的方程為 (x－1)＋(y＋4)＝8.答案：(x－1)2＋(y＋4)2＝83．已知圓C經(jīng)過P(－2,4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在 x軸上截得的弦長(zhǎng)等于 6，則圓C的方程為________________．解析：設(shè)圓的方程為 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得2D－4E－F＝20，①3D－E＋F＝－10.②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④聯(lián)立①②④，解得 D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.2 2 2 2故所求圓的方程為 x＋y－2x－4y－8＝0或x＋y－6x－8y＝0.答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的軌跡問題[典例] (1)點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 ( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1(2)已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，過點(diǎn)A(2,3)作圓C的任意弦，則這些弦的中點(diǎn)P的軌跡方程為________．x＝x1＋42，x1＝2x－4，[解析](1)設(shè)圓上任意一點(diǎn)為(x1，y1)，中點(diǎn)為(x，y)，則y1－2即y＝y(tǒng)1＝2y＋2，2，代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化簡(jiǎn)得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.(2)設(shè)P(x，y)，圓心C(1,1)．因?yàn)镻點(diǎn)是過點(diǎn)A的弦的中點(diǎn)，所以―→―→PA⊥PC.―→―→又因?yàn)镻A＝(2－x,3－y)，PC＝(1－x,1－y)．所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.所以點(diǎn)P的軌跡方程為x－32＋(y－2)2＝5.24[答案](1)A(2)x－322＝52＋(y－2)4[變透練清]變條件若將本例(2)中點(diǎn)A(2,3)換成圓上的點(diǎn)B(1,4)，其他條件不變，則這些弦的中點(diǎn)P的軌跡方程為________．解析：設(shè)P(x，y)，圓心C(1,1)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合時(shí)，因?yàn)?P點(diǎn)是過點(diǎn) B的弦的中―→ ―→點(diǎn)，所以 PB⊥PC.又因?yàn)楱D→―→＝(1－x,1－y)．PB＝(1－x,4－y)，PC所以(1－x)·(1－x)＋(4－y)·(1－y)＝0.P的軌跡方程為(x－1)2529所以點(diǎn)＋y－2＝4；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn) P滿足上述方程．529綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為(x－1)＋y－2＝4.答案：(x－1)2＋y－522＝942．已知圓 x2＋y2＝4上一定點(diǎn) A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)， P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段 PQ中點(diǎn)的軌跡方程．解：(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為 M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知， P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為 (x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接 ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為 x2＋y2－x－y－1＝0.[課時(shí)跟蹤檢測(cè) ]級(jí)1．以線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析：選B直徑的兩端點(diǎn)分別為(0,2)，(2,0)，所以圓心為(1,1)，半徑為2，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.2．若圓x2＋y2＋2ax－b2＝0的半徑為2，則點(diǎn)(a，b)到原點(diǎn)的距離為()A．1B．2C.2D．4解析：選B由半徑r＝1D2＋E2－4F＝14a2＋4b2＝2，得a2＋b2＝2.22∴點(diǎn)(a，b)到原點(diǎn)的距離d＝a2＋b2＝2，故選B.3．以(a,1)為圓心，且與兩條直線2x－y＋4＝0與2x－y－6＝0同時(shí)相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－1)2＋(y－1)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5C．(x－1)2＋y2＝522＝5D．x＋(y－1)解析：選A由題意知，圓心到這兩條直線的距離相等，即圓心到直線2x－y＋4＝0的距離d＝|2a－1＋4|＝|2a－1－6|，解得a＝1，d＝5，∵直線與圓相切，∴r＝d＝5，∴55圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝5.4．(2019銀·川模擬)方程|y|－1＝1－x－12表示的曲線是()A．一個(gè)橢圓B．一個(gè)圓C．兩個(gè)圓D．兩個(gè)半圓解析：選D由題意知|y|－1≥0，則y≥1或y≤－1，當(dāng)y≥1時(shí)，原方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)為圓心、1為半徑、直線y＝1上方的半圓；當(dāng)y≤－1時(shí)，原方程可化為(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)為圓心、1為半徑、直線y＝－1下方的半圓．所以方程|y|－1＝1－x－12表示的曲線是兩個(gè)半圓，選D.5．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則此圓的圓心坐標(biāo)為()A．(－2，－4)B.－1，－12C．(－2，－4)或－1，－1D．不確定2解析：選A∵方程2222＝a＋2≠0，解得aax＋(a＋2)y＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，∴a＝－1或a＝2.當(dāng)a＝－1時(shí)，方程化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0.配方，得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，225所得圓的圓心坐標(biāo)為(－2，－4)，半徑為5.當(dāng)a＝2時(shí)，方程化為x＋y＋x＋2y＋2＝0，此時(shí)方程不表示圓．故選A.6．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為()A．(x＋1)2＋y2＝2B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2D．(x－1)2＋y2＝8解析：選A直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)(－1,0)．根據(jù)題意，圓C的圓心坐標(biāo)為(－1,0)．因?yàn)閳A與直線x＋y＋3＝0相切，所以半徑為圓心到切線的距離，即r＝d＝|－1＋0＋3|＝2，12＋12則圓的方程為 (x＋1)2＋y2＝2.7．圓C的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A(－1,2)，B(1,4)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，－1＋12＋4則a＝2＝0，b＝2＝3，故圓心C(0,3)．11[1－－2＋4－22＝2.半徑r＝|AB|＝21]2∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－3)2＝2.答案：x2＋(y－3)2＝28．已知圓C的圓心在x軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，6)在圓C內(nèi)，則m的取值范圍為________．解析：設(shè)圓心為C(a,0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半徑r＝|CA|＝2＋12＋12＝10.故圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.由題意知(m－2)2＋(6)2＜10，解得0＜m＜4.答案：(0,4)9．若一個(gè)圓的圓心是拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)，且該圓與直線y＝x＋3相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．解析：拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為(0,1)，即圓心為(0,1)，設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因?yàn)樵搱A與直線y＝x＋3相切，所以r＝d＝|－1＋3|＝2，故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2x2＋(y－1)2＝2.答案：x2＋(y－1)2＝210．(2019

·州模擬德

)已知圓

C的圓心在

x軸的正半軸上，點(diǎn)

M(0，

5)在圓

C上，且圓心到直線

2x－y＝0的距離為4 5，則圓

C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

________________．5解析：因?yàn)閳A

C的圓心在

x軸的正半軸