傳染病傳播地?cái)?shù)學(xué)模型

..傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型很多醫(yī)學(xué)工作者試圖從醫(yī)學(xué)的不同角度來解釋傳染病傳播時(shí)的一種現(xiàn)象,這種現(xiàn)象就是在某一民族或地區(qū),某種傳染病傳播時(shí),每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)。結(jié)果都不能令人滿意,后來由于數(shù)學(xué)工作者的參與,用建立數(shù)學(xué)模型來對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行模擬和論證,得到了較滿意的解答。一種疾病的傳播過程是一種非常復(fù)雜的過程,它受很多社會(huì)因素的制約和影響,如傳染病人的多少,易受傳染者的多少,傳染率的大小,排除率的大小,人口的出生和死亡,還有人員的遷入和遷出,潛伏期的長短,預(yù)防疾病的宣傳以及人的個(gè)體差異等。如何建立一個(gè)與實(shí)際比較吻合的數(shù)學(xué)模型,開始顯然不能將所有因素都考慮進(jìn)去。為此,必須從諸多因素中,抓住主要因素,去掉次要因素。先把問題簡化,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。將所得結(jié)果與實(shí)際比較,找出問題,修改原有假設(shè),再建立一個(gè)與實(shí)際比較吻合的模型。從而使模型逐步完善。下面是一個(gè)由簡單到復(fù)雜的建模過程,很有代表性,讀者應(yīng)從中體會(huì)這一建模過程的方法和思路。一.最簡單的模型假設(shè)：<1>每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)k；<2>一個(gè)人得病后經(jīng)久不愈,并在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。以i<t>表示t時(shí)刻的病人數(shù),表示每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù),i<0>=表示最初時(shí)有個(gè)傳染病人,則在時(shí)間內(nèi)增加的病人數(shù)為兩邊除以,并令→0得微分方程…………〔2.1其解為這表明傳染病的轉(zhuǎn)播是按指數(shù)函數(shù)增加的。這結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合,傳染病傳播初期,傳播很快,被傳染人數(shù)按指數(shù)函數(shù)增長。但由<2.1>的解可知,當(dāng)t→∞時(shí),i<t>→∞,這顯然不符合實(shí)際情況。最多所有的人都傳染上就是了。那么問題在那里呢？問題是就出在于兩條假設(shè)對(duì)時(shí)間較長時(shí)不合理。特別是假設(shè)<1>,每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)與實(shí)際情況不符。因?yàn)殡S著時(shí)間的推移,病人越來越多,而未被傳染的人數(shù)卻越來越少,因而不同時(shí)期的傳播情況是不同的。為了與實(shí)際情況較吻合,我們?cè)谠械幕A(chǔ)上修改假設(shè)建立新的模型。二.模型的修改將人群分成兩類：一類為傳染病人,另一類為未被傳染的人,分別用i<t>和s<t>表示t時(shí)刻這兩類人的人數(shù)。i<0>=。假設(shè)：<1>每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)與這時(shí)未被傳染的人數(shù)成正比。即；<2>一人得病后,經(jīng)久不愈,并在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。由以上假設(shè)可得微分方程…………<2.2>這是變量分離方程,用分離變量法可求得其解為…………<2.3>其圖形如下圖2-1所示模型<2.2>可以用來預(yù)報(bào)傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來的時(shí)詢。醫(yī)學(xué)上稱為傳染病曲線,它表示傳染病人的增加率與時(shí)間的關(guān)系,如圖2-2所示。由<2.3>式可得…………〔2.4>再求二階導(dǎo)數(shù),并令,可解得極大點(diǎn)為…………<2.5>從<2.5>式可以看出,當(dāng)傳染病強(qiáng)度k或人口總數(shù)n增加時(shí),都將變小,即傳染病高峰來得快。這與實(shí)際情況吻合。同時(shí),如果知道了傳染率k<k由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到>,即可預(yù)報(bào)傳染病高峰到來的時(shí)間,這對(duì)于預(yù)防傳染病是有益處的。模型<2.2>的缺點(diǎn)是：當(dāng)t→∞時(shí),由<2.3>式可知i<t>→n,即最后人人都要得病。這顯然與實(shí)襪情況不符。造成這個(gè)結(jié)果的原因是假設(shè)<2>中假設(shè)一人得病后經(jīng)久不愈,也不會(huì)死亡。為了得到與實(shí)際情況更吻合的模型,必須修改假設(shè)<2>。實(shí)際上不是每個(gè)人得病后都會(huì)傳染別人,因?yàn)槠渲幸徊糠輹?huì)被隔離,還有由于醫(yī)治和人的身抵抗力會(huì)痊愈,有的人會(huì)死亡從而也就不再會(huì)傳染給別人了。因此必須對(duì)模型作進(jìn)一步的修改,建立新的模型。三.模型的進(jìn)一步完善從上面的分析我們看到模型<2.2>的假設(shè)<2>是不合理的。即不可能一人得病后會(huì)經(jīng)久不愈,必有一部份人因醫(yī)治或自身的免疫力,或是被隔離,或是死去而成為不會(huì)再繼續(xù)傳染給別人的第三類人。因此我們把人群分成三類：第一類由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的。用I<t>表示t時(shí)刻第一類人數(shù)。第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的,用S<t>表示t時(shí)刻第二類人數(shù)。第三類包括患病后死去的人,病愈后具有長期免疫力的人,以及在得病后被隔離起來的人。用R<t>表示t時(shí)刻第三類人數(shù)。假設(shè)疾病傳染服從下列法則：<1>在所考慮的時(shí)期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水平N,即不考慮出生及其他原因引起的死亡,以及人口的遷入遷出的情況。<2>易受傳染者人數(shù)S<t>的變化率正比于第一類的人數(shù)I<t>與第二類人粉S<t>的乘積。<3>由第一類向第三類轉(zhuǎn)變的速度與第一類的人數(shù)成正比。在這三條假設(shè)情況下可得如下微分方程：…………<2.6>其中r、λ為比例常數(shù),r為傳染率,λ為排除率。由方程<2.6>的三個(gè)方程相加得則故因此只要求出S<t>、I<t>即可求出R<t>。方程組<2.6>的第一個(gè)和第二個(gè)方程與R<t>無關(guān)。因此,由…………<2.7>得…………<2.8>積分得由初始條件：當(dāng)并記代入上式可確定常數(shù)最后得…………<2.9>下面我們討論積分曲線<2.9>的性質(zhì),由<2.8>知所以當(dāng)S＜ρ時(shí),I<S>是S的增函數(shù),S＞ρ時(shí),I<S>是S的減函數(shù)。又有I<0>=－∞,由連續(xù)函數(shù)的中間值定理及單調(diào)性知,存在唯一點(diǎn),,使得,而當(dāng)時(shí),I<S>＞0。由<2.7>知I=0時(shí),,所以為方程組<2.7>的平衡點(diǎn)。當(dāng)時(shí),方程<2.9>的的圖形如圖2-3。當(dāng)t由變到∞時(shí),點(diǎn)<S<t>,I<t>>沿曲線<2.9>移動(dòng),并沿S減少的方向移動(dòng),因?yàn)镾<t>隨時(shí)間的增加而單調(diào)減少。因此,如果小于ρ,則I<t>單調(diào)減少到零,S<t>單調(diào)減少到。所以,如果為數(shù)不多的一群傳染者分散在居民中,且,則這種病會(huì)很快被消滅。如果,則隨著S<t>減少到ρ時(shí),I<t>增加,且當(dāng)S=ρ時(shí),I<t>達(dá)到最大值。當(dāng)S<t>＜ρ時(shí)I<t>才開始減少。由上分析可以得出如不結(jié)論：只有當(dāng)居民中的易受傳染者的人數(shù)超過閾值時(shí)傳染病才會(huì)蔓延。用一般常識(shí)來檢驗(yàn)上面的結(jié)論也是符合的。當(dāng)人口擁擠,密度高,缺少應(yīng)有的科學(xué)文化知識(shí),缺乏必要的醫(yī)療條件,隔離不良而排除率低時(shí),傳染病會(huì)很快蔓延；反之,人口密度低,社會(huì)條件好,有良好的醫(yī)療條件和較好的管理而排除率高時(shí),則傳染病在有限范圍內(nèi)出現(xiàn)會(huì)很快被消滅。傳染病學(xué)中的閾值定理設(shè),且假設(shè)同1相比是小量。并設(shè)最初傳染者人數(shù)很小,則最終患病人數(shù)為2r。即是易受傳染者的人數(shù)最初比閾值高多少,那么最終就會(huì)比閾值低多少。這就是有名的傳染病閾值定理。生物數(shù)學(xué)家Kermack和Mekendrick在1927年首先證明了這個(gè)定理<證明從略>根據(jù)閾值定理就可以由起初易受傳染者的人數(shù)來估計(jì)最終患病的人數(shù)。這定理解釋了研究人員長期以來難以解釋的為什么對(duì)于某一民族或地區(qū),某種傳染病傳播時(shí),每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)的現(xiàn)象。在傳染病發(fā)生的過程中,不可能準(zhǔn)確地調(diào)查每一天或每一星期的得病人數(shù)。因?yàn)橹挥心切﹣磲t(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病,并把他們隔離起來防止傳染。因此,統(tǒng)計(jì)的記錄是每一天或星期新排除者的人數(shù),而不是新得病的人數(shù)。所以,為了把數(shù)學(xué)模型所預(yù)示的結(jié)果同疾病的實(shí)際情況進(jìn)行比較,必須解出<2.6>中的第三個(gè)方程。因?yàn)樗詮亩小?lt;2.10>方程<2.10>雖是可分離變量的方程,但是不能用顯式求解,如果傳染病不嚴(yán)重,則R/ρ是小量,取泰勒級(jí)數(shù)前三項(xiàng)有從而其解其中因此…………<2.11>方程<2.11>在平面上定義了一條對(duì)稱鐘形曲線,稱為疾病傳染曲線。疾病傳染曲線很好地說明了實(shí)際發(fā)生的傳染病的情況：每天報(bào)告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值,然后又減少下來。Kermak和Mekendrick把<2.11>得到的值,同取自1905年下半年至1906年上半年在印度孟買發(fā)生的瘟疫資料進(jìn)行比較,他們假設(shè)其中t按星期計(jì),在圖2-4中的實(shí)際數(shù)字<圖中用"."表示>同理論曲線非常一致。這就表明模型