2022年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)壓軸題答案詳解及解題技巧(含模擬專練)

年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考I卷）壓軸題解讀7．已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題考查球的表面積求解，同時(shí)還涉及了正弦定理的運(yùn)用，考查了運(yùn)算求解能力，對(duì)空間想象能力要求較高【答案】A【解析】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【命題意圖】本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)周期性的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力【答案】A【解析】因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．12．若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【命題意圖】本題主要考查了三角代換求最值，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生分析問題，轉(zhuǎn)化問題的能力【答案】BC【解析】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻茫O(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．16．已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為___________．【命題意圖】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.【答案】【解析】令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：21．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【命題意圖】本題考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力【解析】(1)右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；(2)由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【命題意圖】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.(3)取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.壓軸題模擬一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，古代用它作為長方棱臺(tái)（上、下底面均為矩形的棱臺(tái)）的專用術(shù)語，關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．現(xiàn)有一外接球的表面積為的“芻童”如圖所示，記為四棱臺(tái)，其上、下底面均為正方形，且，則該“芻童”的體積為（

）A．224 B．448 C．或448 D．或224【答案】C【解析】連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，則由球的幾何性質(zhì)可知，芻童外接球的球心必在直線上，由題意可得，，設(shè)球的半徑為，由，得．連接，，在中，，即，得．在中，，即，得．當(dāng)球心在線段上時(shí)，，則該芻童的體積；當(dāng)球心在線段的延長線上時(shí)，，則該芻童的體積為．故選：C．2．（2022·江西·上高三中高三模擬）在圓錐中，是母線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，從點(diǎn)到點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周的最小長度為B．當(dāng)時(shí)，過頂點(diǎn)和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當(dāng)時(shí)，圓錐的外接球表面積為D．當(dāng)時(shí)，棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)【答案】B【解析】依題意可知.對(duì)于ACD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，圓錐的高為.以下分析ACD選項(xiàng)：側(cè)面展開圖的母線長為，圓心角為.此時(shí)圓錐側(cè)面展開圖如下圖所示:所以，A選項(xiàng)正確.設(shè)圓錐的外接球的球心為，半徑為，則，表面積為，C選項(xiàng)正確.棱長為的正四面體如下圖所示，正方體的邊長為，體對(duì)角線長為，所以棱長為的正四面體的外接球半徑為.設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，所以棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，D選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，，為鈍角，所以過頂點(diǎn)和兩母線的截面三角形的最大面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B3．已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，都有，且，則下列說法正確的是（

）A．是以2為周期的偶函數(shù) B．是以2為周期的奇函數(shù)C．是以4為周期的偶函數(shù) D．是以4為周期的奇函數(shù)【答案】D【解析】即①，令①中，則，則，又因?yàn)?，所以，所以②，令②中，所以，所以，所以的周期?因?yàn)椋?，所以為奇函?shù).故選：D.4．（2021·江蘇·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的定義域是，且滿足，，如果對(duì)于，都有，不等式的解集為

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，令則，即，則，由于，則，即有，由于對(duì)于，都有，則在上遞減，不等式即為．則原不等式即為，即有，即有，即解集為．故選：D．二、多選題5．（2022·海南·?？谝恢懈咭黄谥校┮阎?，且，則（

）A． B．C．≤0 D．【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，∵，∴，∴，A正確B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，D正確.故選：ACD6．（2022·湖北十堰·高一階段練習(xí)）已知，則（

）A．的最大值為B．的最小值為4C．的最小值為D．的最小值為16【答案】BCD【解析】由得：，因?yàn)?，所以，所以，由基本不等式可得：?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，解得：或，因?yàn)椋陨崛?，故的最大值?，A錯(cuò)誤；由得：，因?yàn)?，所以，所以，由基本不等式可得：，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，解得：或，因?yàn)椋陨崛?，故的最小值?，B正確；由變形為，則，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，令，則由，解得：或（舍去）所以的最小值為，C正確；由可得：，從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立，故最小值為16.故選：BCD，三、填空題7．（2022·河北·石家莊市第二十二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的方程為__．【答案】【解析】根據(jù)題意，拋物線的焦點(diǎn)為，則橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，可以設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，①設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，有②，③，②③可得：④，又由直線的斜率為，則，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則、，代入④中，可得，又由，則，，故要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；故答案為：．8．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校高三期末（理））以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的橢圓C1，C2焦點(diǎn)分別在x軸，y軸，離心率分別為e1，e2，直線l交C1，C2所得的弦中點(diǎn)分別為，若，則直線l的斜率為__________．【答案】±1．【解析】設(shè)橢圓，橢圓，設(shè)直線l與C1的交點(diǎn)為，直線l的斜率為，則，∴，即，∴，同理可得，又，∴，，又，∴，即，∴，.故答案為：.四、解答題9．（2022重慶市育才中學(xué)高三模擬）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上非頂點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，且直線不過原點(diǎn)，不垂直于坐標(biāo)軸.在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知：①直線與直線斜率之積為定值；②的面積為定值，證明：存在常數(shù)，使得，且點(diǎn)在橢圓上，并求出的值.注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】(1)依題意,解得，.橢圓方程為.(2)設(shè)直線，由得，，，，若選①：，.整理得.由得，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，.若選②：，整理得，，，.由得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，.10．（2020·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)該橢圓上，且該橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率，求證：_____________.在以下三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)填在橫線處進(jìn)行證明.①直線與的交點(diǎn)在定直線上；②；③.【解析】⑴因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為.所以橢圓的右焦點(diǎn)用又點(diǎn)在該橢圓上，所以又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）選①設(shè)聯(lián)立得：法一：直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為所以直線AM與BN的交點(diǎn)在定直線上法二：要證直線與的交點(diǎn)在定直線上，即，即證即證，即證，即證即證因?yàn)樗灾本€與的交點(diǎn)在定直線上.選②設(shè)，聯(lián)立得：所以法一：法二：所以因?yàn)橐餐?hào)，所以法三：要證，即證，即證即證，即證因?yàn)樗苑ㄋ模河傻玫猛硪驗(yàn)闉槿c(diǎn)共線，所以即因?yàn)橥?hào)，所以選③設(shè)，聯(lián)立得：所以所以.11．（2022·四川省成都市新都一中高三模擬）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值，并求函數(shù)的極值；(2)①若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】(1)，又在處取得極值，，解得：，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，的極大值為；極小值為；綜上所述：；極大值為，極小值為.(2)①，令，則；（i）.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，，則在上單調(diào)遞增，又，恒成立，滿足題意；（ii）.當(dāng)，即或時(shí)，令，解得：，；當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，又，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.②由①知：當(dāng)時(shí)，在上恒成立，