2022年浙江高考數(shù)學壓軸題答案詳解及解題技巧(含模擬專練)

浙江高考數(shù)學試卷壓軸真題解讀9．已知，若對任意，則（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題考查絕對值不等式的解法，作為選擇題，常常采用特值法，排除法等提高解題效率【答案】D【解析】由題意有：對任意的，有恒成立．設，，即的圖像恒在的上方（可重合），如下圖所示：由圖可知，，，或，，故選：D．【解后反思】1.用零點分段法解絕對值不等式的步驟(1)求零點；(2)劃區(qū)間、去絕對值符號；(3)分別解去掉絕對值的不等式；(4)取每個結果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值.2.含絕對值的函數(shù)本質上是分段函數(shù)，絕對值不等式可利用分段函數(shù)的圖象的幾何直觀性求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.10．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題考查遞推數(shù)列，數(shù)列的單調性等知識，對化簡變形能力要求較高，考查運算求解能力，邏輯推理能力【答案】B【解析】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【解題技巧】1.由數(shù)列的遞推關系求通項公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且eq\f(an,an－1)＝f(n)，可用“累乘法”求an.2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0).把原遞推公式轉化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝eq\f(q,1－p)，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解.16．已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是_________．【命題意圖】本題考查雙曲線的性質，考查數(shù)形結合思想及運算求解能力【答案】【解析】過且斜率為的直線，漸近線，聯(lián)立，得，由，得而點在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：．【規(guī)律總結】求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解．17．設點P在單位圓的內接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．【命題意圖】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算和性質，考查了學生分析問題和轉化問題的能力【答案】【解析】以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示：則,，設,于是，因為，所以，故的取值范圍是.故答案為：．【解后反思】1.以平面幾何為載體的向量問題有兩種基本解法：(1)基向量法：恰當選擇基底，結合共線定理、平面向量的基本定理進行向量運算.(2)坐標法：如果圖形比較規(guī)則，可建立平面坐標系，把有關點與向量用坐標表示，從而使問題得到解決.2.解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，關鍵是準確利用向量的坐標運算化簡已知條件，將其轉化為三角函數(shù)中的有關問題.21．如圖，已知橢圓．設A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；(2)求的最小值．【命題意圖】本題考查直線與橢圓的綜合運用，涉及了兩點間的距離公式，利用二次函數(shù)的性質求最值，弦長公式等基礎知識點，考查邏輯推理能力，運算求解能力【解析】(1)設是橢圓上任意一點,,則

，當且僅當時取等號，故的最大值是.(2)設直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設，所以，因為直線與直線交于,則,同理可得,.則，當且僅當時取等號，故的最小值為.【方法總結】圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是幾何方法，即通過利用圓錐曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)變量的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解．22．設函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經過點．證明：（ⅰ）若，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）【命題意圖】本題考查函數(shù)的單調區(qū)間的求法，考查不等式的證明，考查導數(shù)的性質、函數(shù)的單調性、極值、零點、換元法、構造法等基礎知識，考查運算求解能力【解析】(1)，當，；當，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.(2)（ⅰ）因為過有三條不同的切線，設切點為，故，故方程有3個不同的根，該方程可整理為，設，則，當或時，；當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：且，此時，設，則，故為上的減函數(shù)，故，故.（ⅱ）當時，同（?。┲杏懻摽傻茫汗试谏蠟闇p函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設，則，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：，因為，故，又，設，，則方程即為：即為，記則為有三個不同的根，設，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設，則即，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：【規(guī)律總結】1.待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用研究其單調性等相關函數(shù)性質證明不等式.2.某些不等式，直接構造不易求最值，可利用條件與不等式性質，適當放縮后，再構造函數(shù)進行證明.壓軸模擬專練1．（2022·浙江·模擬預測）已知實數(shù)，，滿足：對任意都成立，則（

）.A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，，所以，當恒成立時，，則，，所以，，故選：D.2．（2022·浙江省新昌中學模擬預測）設，若的最大值是5，則的最大值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】當時，，所以是可能的，故B、C錯誤；將點分別代入，得，又，因為的最大值為5，所以恒成立，即，解得，當時，，無解，故A錯誤，D正確.故選：D.3．（2022·浙江·三模）設數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項的和為，則（

）A． B．存在，使C． D．數(shù)列不具有單調性【答案】C【解析】由于，則，又由，則與同號．又由，則，可得，所以數(shù)列單調遞增，故B、D錯誤；又因為，由數(shù)列單調遞增，且，所以，所以，累加得，所以，故A錯誤；由可得，因為，所以，故C正確．故選：C．4．（2022·浙江·效實中學模擬預測）已知數(shù)列滿足，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵（當時等號成立），∴，當時，，即，則，，整理得，即，即，，，，將個不等式相加得，即，，令，則，當時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，即在出取得最大值，，所以（當時等號成立），當時，（當時等號成立），即當時，，，，，，即，同理利用累加法可得，即，所以，則，故選：.5．（2015·浙江·二模（文））已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上任意一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】設，則，由雙曲線的定義知，，∴，∴，當且僅當，即時，等號成立，∴當?shù)淖钚≈禐闀r，，，此時，解得，又，∴，6．（2022·浙江·金華市曙光學校模擬預測）過雙曲線的左焦點的直線，在第一象限交雙曲線的漸近線于點，與圓相切于點.若，則離心率的值為________.【答案】【解析】設雙曲線的右焦點為，在中，是的一個外角，設，，則，因為直線與圓相切于點，所以,在中，，所以，因為，所以，所以在直角中，，在直角中，，因為，所以，因為為直線的傾斜角，直線為雙曲線的漸近線，所以,所以，所以，所以，所以離心率為，7．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）如圖，已知點O，A，B，C（順時針排列）在半徑為2的圓E上，將順時針旋轉，得到，則的最大值為_________．【答案】16【解析】如圖，作于G，于H，由題可得，∴．當且僅當且時等號成立，8．（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，在平行四邊形中，，，依次為邊的四等分點，，，依次為邊的四等分點，若，，則__________．【答案】【解析】因為四邊形是平行四邊形，所以，，所以，，，所以，所以，設，，則，又，，所以.9．（2022·浙江·杭師大附中模擬預測）已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點，橢圓的長軸長為．(1)記橢圓于拋物線的公共弦為，求；(2)P為拋物線上一點，為橢圓的左焦點，直線交橢圓于A，B兩點，直線與拋物線交于P，Q兩點，求的最大值．【解析】(1)根據(jù)題意得：，∴拋物線方程：，橢圓方程：聯(lián)立拋物線與橢圓：，整理得：（舍）∴∴(2)設聯(lián)立與橢圓：，整理得：所以弦長公式：聯(lián)立與拋物線：，整理得：所以弦長公式：聯(lián)立與，∴P在拋物線上：，整理得：，即∴∴的最大值為，當時取到最大值．10．（2022·浙江·海寧中學模擬預測）設橢圓的左右焦點分別為是該橢圓C的右頂點和上頂點，且，若該橢圓的離心率為(1)求橢圓C的標準方程；(2)直線l與橢圓C交于兩點，且與x軸交于點若直線與直線的傾斜角互補，求的面積的最大值.【解析】(1)由題可得，，所以

因為橢圓的離心率為所以，結合橢圓中可知，所以橢圓C的標準方程為(2)，設因為直線與直線的傾斜角互補，所以可知，即，化簡得設直線，將代入上式，整理可得且由消元化簡可得，所以，代入上式由，解得所以因為點到直線PQ的距離，且所以令，則所以，.當且僅當，時取等號.所以的面積的最大值為11．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）已知函數(shù)的圖像記為曲線．(1)過點作曲線的切線，這樣的切線有且僅有兩條．（ⅰ）求的值；（ⅱ）若點在曲線上，對任意的，求證：．(2)若對恒成立，求的最大值．【解析】(1)（?。撸嘣O切點為，則所以切線方程為，將點代入得可化為設∵，令令即，解得或；令即，解得；所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.∴的極值點0和，∵過點作曲線的切線．這樣的切線有且僅有兩條∴或，∴或；所以的值為或.（ⅱ）因為點在曲線上，所以，當時，左邊令函數(shù)，∵.當時，函數(shù)在上單調遞增，當即時，由得;由得;∴函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增∴；當時，左邊令函數(shù)∵，由得;由得;當時，即時，函數(shù)在上單調遞減，當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增令函數(shù)設在上單調遞增∴即證.(2)由得對恒成立，顯然．若，則，若，則，設函數(shù)，令即，解得；令即，解得；所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增∴設，∵令，即，解得；令，即，解得；∴函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.∴，即的最大值為，此時12．（2022·浙江·效實中學模擬預測）設函數(shù)，其中.(1)若，討論的單調性；(2)若，設為的極值點.（i）求取值范圍：