第一次課矩陣初等變換

主講教師理學(xué)院呂建聚E-mail:Tel性代數(shù)線性代數(shù)

教材《線性代數(shù)》江龍程林鳳等高教出版社

主要參考書《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》中國礦業(yè)大學(xué)出版社地點：教1-C300(答疑室)

時間：第2~12周（除第五周），周三7-8節(jié)課答疑安排考前安排集中答疑（時間另行通知，地點不變）成績評定辦法平時成績30%+期末考試70%平時成績包括：課堂點名+作業(yè)+課堂小測驗+實驗課實驗課5分/100分，由實驗老師評定小測驗15分/100分，上課時隨機進行，每缺一次，扣分不低于5分/100分，期望大家保證出勤點名、作業(yè)10分/100分，缺一次扣4分/100分第一章線性方程組1.1線性方程組

1.2矩陣及其初等變換

1.3線性方程組的矩陣解法

一、引例煉鐵廠使用不同的含鐵原料，不同原料含有鐵（Fe）、二氧化硅（SiO2)、氧化鈣（CaO)、硫（S),磷（P）、鋁（AL2O3)、鋅、鎳、銅等多種元素，在冶煉之前進行配比中和，達到一定的成份要求。1.1線性方程組

原料信息原料原料成份信息%序號產(chǎn)地名稱TFeSiO2CaOMgOAl2O3SPTiO21巴西巴粗57.055.020.410.242.480.010.050.062澳洲PB粉53.6690.410.242.480.020.070.073印度印粉54.466.85.890.170.0740.0744巴西卡粉652.5500.8210.020.050.065明達精粉654.381.010.330.0250.086本地精粉652.431.40.190.0227太平精粉652.961.024.581.710.360.010.078安徽安徽塊5392.480.2040.1319馬來塊馬來塊53.3414.464.060.0510.020.05410阿里奇礦粉57.85.862.020.0360.06111馬來礦馬來粉46.0313.59005.230.0760.0970.08612澳洲揚迪粉57.855.591.440.080.0413澳洲火箭特粉57.055.022.550.0310.0414澳洲麥克粉61.3342.20.0370.08215澳洲紐曼粉62.864.072.370.0110.08216澳洲PB粉61.54.562.430.0170.087原料信息原料原料成份信息序號比例名稱TFeSiO2CaOMgOAl2O3SPTiO21x1巴粗57.055.020.410.242.480.010.050.062x2PB粉53.6690.410.242.480.020.070.073x3印粉54.466.85.890.170.0740.0744中和要求5560.06如果僅使用前三種原料，中和效果見表格最下一行可以列方程組增加一個成分要求，增加一個約束增加一種原料方程組17個未知量，9個方程增加一個方程增加一個未知量這里大家也看到，方程的個數(shù)同未知數(shù)的個數(shù)并不要求相同，這點同中學(xué)階段完全不同采用17種原料，8種成分均有要求的情況，列出的方程組是工程師在解決實際問題中經(jīng)常遇到的，對方程組要解決兩方面的問題：一是，方程組的求解問題二是，如果未知量非常多，方程個數(shù)也非常多，表達不方便，尋找復(fù)雜數(shù)學(xué)表達式的表達方法----矩陣這兩個問題就構(gòu)成了本課程的核心內(nèi)容。n元線性方程組的一般形式:齊次線性方程組:非齊次線性方程組:線性方程組的解集:方程組解的全體二.基本概念(1)如何判別方程組無解？有唯一解？有無窮多解？(2)如何求方程組的通解？要解決的問題：例1.1解線性方程組

消元法是解方程組的基本方法簡單的回憶一下加減消元法三解法例1.1解線性方程組

解

回代

加減消元法實質(zhì)是對線性方程組進行三種同解變換

（1）交換任意兩個方程的位置；（2）任一個方程的兩邊同乘一個非零的實數(shù)；（3）任一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上

例1.2解方程組

解

觀察線性方程組

實質(zhì)是同一個方程，決定方程組的是方程的系數(shù)及常數(shù)項，系數(shù)和常數(shù)項可看做是一個數(shù)表一定義1.2矩陣及其初等變換思考題：四個1字可以構(gòu)造多少個矩陣？強調(diào)：矩陣除了元素之外，重要的是數(shù)字的排列方式，也就是今后常說的矩陣的結(jié)構(gòu)(1)1×1的矩陣就是一個數(shù)。

(2)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A，稱為n階方陣或n階矩陣。

(3)只有一行的矩陣稱為行矩陣或n

維行向量。ai稱為A的第i個分量。稱為列矩陣或m

維列向量。(4)只有一列的矩陣【注】幾種特殊矩陣(5)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O

。(6)矩陣(約定未寫出元素全為零)稱為單位矩陣。(7)矩陣稱為對角矩陣。記作二兩個矩陣相等設(shè)，如果則稱A與B相等，記作A=B。問：與相等嗎？強調(diào)矩陣相等：結(jié)構(gòu)相同、對位元素相同(3)把矩陣的某一行乘上一個數(shù)加到另一行上，矩陣的三種初等行變換（習(xí)慣上行用r標(biāo)示，列用C標(biāo)示）(1)交換矩陣的某兩行，記為(2)以不等于０的數(shù)乘矩陣的某一行，記為記為類似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換三矩陣的初等變換矩陣的初等行變換舉例?！咀?】初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．初等列變換也有類似的結(jié)果…逆變換逆變換逆變換初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(階梯)形矩陣(行最簡形就是所謂的最簡單的“代表”)書P9定義1.4行階梯形矩陣行最簡階梯形矩陣（1）臺階左下方元素全為零；（2）每個臺階上只有一行；（3）每個臺階上第一個元素不為零。行階梯形矩陣：行最簡階梯形(1)(2)(3)+(4)臺階上的第一個元素為1,且其所在列其它元素全為零。矩陣(2)稱為行階梯形矩陣，矩陣(4)稱為行最簡(階梯)形矩陣下面矩陣也是行階梯形矩陣下面矩陣是行最簡階梯形矩陣定義…定義…【定理1.1】

每個非零矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣,進而化為行最簡階梯形矩陣.

例1【問題】如果可以利用初等列變換，矩陣B可以化簡成的最簡單形式是什么？加注：階梯形不唯一，最簡階梯形唯一接例1形狀為等價具有下列性質(zhì)：如果矩陣B可以由矩陣A經(jīng)過一系列行初等變換得到，則稱A與B行等價，記為。如果矩陣B可以由矩陣A經(jīng)過一系列初等列變換得到，則稱A與B列等價，記為。（1）自反性

AA（2）對稱性若AB，則B