中考復(fù)習(xí)：中考壓軸 類型一 圓的綜合-切線證明、長度與面積問題

中考壓軸類型一圓的綜合——切線證明、長度與面積問題1．已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝8，點D在⊙O上，連接AD，BD，CD．（Ⅰ）如圖1，若AD經(jīng)過圓心O，求BD，CD的長；（Ⅱ）如圖2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的長．2．已知：如圖，P為⊙O外一點，射線PO交⊙O于點A，B，C為⊙O上一點，連AC，BC，過點O作OD⊥AC于點E，交直線PC于點D，∠AOD＝∠PCA．（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）若BC＝4，DE＝1，求⊙O的半徑．3．已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接BC，過點O作OD⊥BC于D，交于點E，連接AE，交BC于F．（1）如圖1，求證：∠BAC＝2∠E．（2）如圖2，連接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的長．4．如圖所示，AB＝AC，AB為⊙O的直徑，AC、BC分別交⊙O于E，D，連結(jié)ED，BE．（1）試判斷DE與BD是否相等，并說明理由；（2）如果BC＝12，AB＝10，求BE的長．5．如圖，在⊙O中，B是⊙O上一點，∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于點D，連結(jié)MA，MC．（1）求證：△AMC是正三角形；（2）若AC＝2，求⊙O半徑的長．6．已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O直徑，DE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，延長DE交⊙O于點F，延長DC，F(xiàn)B交點P，求證：PC＝PB．（2）如圖2，過點B作BG⊥AD，交DE于點H，垂足為G，點O和點A都在DE的左側(cè)，且DH＝1．①求BC的長；②若AB＝，∠OHD＝80°，求∠CAD的大?。?．如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點D是弧AC上一點，連接BD交AC于E．（1）如圖1，求證∠ADB＝∠CDB；（2）如圖2，點F為線段BD上一點，連接CF，若∠BCF＝2∠ABD時，求證：BF＝DE+AD；（3）在（2）的條件下，作∠BCF的平分線交⊙O于M，在CM上取點R，連接AR交CF于點T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的長．8．如圖1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點B作BE⊥AC，交⊙O于點D，垂足為E，連接AD．（1）求證：∠BAC＝2∠CAD；（2）如圖2，連接CD，點F在線段BD上，且DF＝2DC，G是的中點，連接FG，若FG＝2，CD＝2，求⊙O的半徑．9．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝Rt∠，點O在BC上，以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑構(gòu)造半⊙O，與AB切于點D，與BC，CA分別交于E，F(xiàn)兩點．（1）求證：CD平分∠ACB；（2）過點F作FH⊥BC于點H（點H在點O的左側(cè)），交DC于點G，若，BE＝1，求⊙O的直徑長．10．如圖，點D、E在以AB為直徑的⊙O上，AE與BC交于點F，∠DAC＝∠AED．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若點E是上一點，BD＝AD＝，BE＝1，求DF的長．11．如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D，過點A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點P，連接PC并延長與AB的延長線交于點F．（1）求證：PC是半⊙O的切線；（2）若∠CAB＝30°，AB＝10，求由劣弧AC、線段PA和線段PC所圍成的圖形面積S．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點，以AD為直徑的⊙O交BC于點E，過點C作CG⊥AB，垂足為G，交AE于點F，過點E作EP⊥AB，垂足為P，∠EAD＝∠DEB．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若CE＝EP，CG＝12，AC＝15，求四邊形CFPE的面積．13．如圖，已知⊙O上依次有A、B、C、D四個點，＝，連接AB、AD、BD，弦AB不經(jīng)過圓心O，延長AB到E，使BE＝AB，連接EC，F(xiàn)是EC的中點，連接BF．（1）若⊙O的半徑為3，∠DAB＝120°，則弦BD的長＝；（2）求證：BF＝BD；（3）設(shè)G是BD的中點，探索：在⊙O上是否存在點P（不同于點B），使得PG＝PF？并說明PB與AE的位置關(guān)系．14．如圖：已知⊙M經(jīng)過O點，并且⊙M與x軸，y軸分別交于A，B兩點，線段OA，OB（OA＞OB）的長是方程x2﹣17x+60＝0的兩根．（1）求線段OA，OB的長；（2）已知點C是劣弧OA的中點，連結(jié)BC交OA于D．①求證：OC2＝CD?CB；②求點C的坐標(biāo)．15．已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的角平分線交⊙O于點D，DE⊥AC于E．（1）如圖1，求證：DE是⊙O的切線；（2）如圖1，若AB＝10，AC＝6，求ED的長；（3）如圖2，過點B作⊙O的切線，交AD的延長線于F，若ED＝DF，求的值．16．已知AB為圓O的直徑，弦DE⊥AB于M．（1）如圖1，求證：AB平分∠DAE；（2）如圖2，點C為⊙O上一點，且滿足＝，求∠CDA的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點C作CF⊥AE于F，交AD于G，交AB于K，若CG：EF＝5：9，CD＝2，AF＜CD，求AK的長．

參考答案1．解：（Ⅰ）∵AD經(jīng)過圓心O，∴∠ACD＝∠ABD＝90°，∵AB⊥AC，且AB＝AC＝8，∴四邊形ABCD為正方形，∴BD＝CD＝AB＝AC＝8；（Ⅱ）連接OC，OB，OD，過O點作OE⊥BD，∵AB⊥AC，AB＝AC＝8，∴BC為直徑，∴BC＝8，∴BO＝CO＝DO＝BC＝4，∵∠BAD＝2∠DAC，∴∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠BOD＝2∠BAD＝120，∴△COD為等邊三角形，∠BOE＝60°，∴CD＝CO＝DO＝4，在Rt△CDB中，BD＝CD＝4．2．（1）證明：連接OC，∵OD⊥AC，∴∠AOD+∠OAC＝90°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠PCA＝∠AOD，∴∠PCA+∠OCA＝90°，即OC⊥PC，又∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線；（2）解：∵OD⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝2，∵∠AEO＝∠DEC＝90°，∠DCE＝∠AOE，∴△DEC∽△AEO，∴＝，即＝，∴AE＝，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA＝＝，即⊙O的半徑為．3．（1）證明：如圖1中，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵OE⊥BC，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∴OE∥AC，∴∠CAF＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠BAC＝2∠E；（2）解：如圖2中，∵OF⊥AB，OA＝OB，∴FA＝FB，∴∠FAB＝∠FBA，∵∠CAF＝∠EAB，∴∠CAB＝2∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，∴∠AOE＝120°，∴∠FOE＝∠E＝30°，∴FO＝EF，∵FD⊥OE，∴EF＝OF＝2DF＝2，AF＝2OF＝4，∴AE＝AF+EF＝4+2＝6．4．解：（1）DE＝BD，理由如下：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴DE＝BD；（2）∵BC＝12，BD＝BC＝6，在Rt△ABD中，AB＝10，∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝8，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABC的面積＝BC?AD＝AC?BE，∵AB＝AC＝10，∴AC?BE＝CB?AD，∴BE＝．5．（1）證明：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于點D，∴∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝60°，∴∠MAC＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△AMC是正三角形；（2）連接OA、OC，過O作OH⊥AC于點H，如圖，∵∠ABC＝120°，∠AMC+∠ABC＝180°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AC＝2，∴AH＝AC＝，∴OA＝＝＝2，故⊙O的半徑為2．6．（1）證明：如圖1，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠DEA＝∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F＝∠PBC，∵四邊形BCDF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠F+∠DCB＝180°，∵∠PCB+∠DCB＝180°，∴∠F＝∠PCB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PC＝PB；（2）解：①如圖2，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB＝90°，∴∠ADC＝∠AGB，∴BG∥DC，∵BC∥DE，∴四邊形DHBC是平行四邊形，∴BC＝DH＝1；②如圖2，連接OD，設(shè)DE與AC交于點N，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵AB＝，BC＝1，∴tan∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，∴AC＝2BC＝2，∴OD＝1，∴OD＝DH，∴∠DOH＝∠OHD＝80°，∴∠ODH＝180°﹣∠DOH﹣∠OHD＝20°，∵DE∥BC，∴∠ONH＝∠ACB＝60°，∴∠DON＝∠ONH﹣∠ODH＝60°﹣20°＝40°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA＝∠DON＝40°，∴∠OAD＝20°，即∠CAD＝20°．7．解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴＝，∴∠ADB＝∠CDB；（2）證明：如圖，作∠BCF的角平分線，交BD于點G，設(shè)∠ACD＝α，∵＝，∴∠ABD＝∠ACD＝α，∵∠BCF＝2∠ABD，∴∠FCG＝∠BCG＝∠ACD＝α，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∵＝，∴∠DAC＝∠DBC，在△ADC與△BGC中，，∴△ADC≌△BGC（SAS），∴BG＝AD，DC＝GC，∵＝，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∴△DGC是等邊三角形，∴∠FGC＝∠EDC＝60°，在△CED與△CFG中，，∴△CED≌△CFG（ASA），∴ED＝FG，∴BF＝BG+GF＝AD+DE，即BF＝DE+AD；（3）解：設(shè)∠ACD＝α，則∠CAT＝3∠ACD＝3α，如圖，延長CF交⊙O點P，交AM于N點，連接PA，過M點作MQ∥AP，交AR于Q點，連接PM，∵CM是∠BCF的平分線，由（2）得∠FCG＝∠BCG＝∠ACD＝α，∴∠ACP＝∠ACB﹣∠BCF＝60°﹣2α，∠BAT＝∠BAC﹣∠CAT＝60°﹣3α，∵＝，＝，∴∠MAB＝∠BCG＝α，∠MAP＝∠FCG＝α，∴∠MAC＝∠BAC+∠BAM＝60°+α，∴∠MAT＝∠MAC﹣∠CAT＝60°+α﹣3α＝60°﹣2α，∠PAT＝∠MAT+∠MAP＝60°﹣2α+α＝60°﹣α，∵＝，∴∠AMP＝∠ACP＝60°﹣2α，∴∠AMP＝∠MAT＝60°﹣2α，∴MP∥AR，∴∠AMQ＝∠MAP＝α，∠MQT＝∠PAR＝60°﹣α，∵＝，∴∠AMC＝∠ABC＝60°，∴∠QMR＝∠AMC﹣∠AMQ＝60°﹣α，∴∠QMR＝∠MQR＝60°﹣α，∴QR＝MR＝5，∵設(shè)MP＝AQ＝m，則QT＝QR﹣TR＝5﹣1＝4，∴AT＝QT+AQ＝4+m，∵＝，∴∠MPC＝∠MAC＝60°+α，又∵∠MNP＝∠ANT＝∠APC+∠PAM＝60°+α，∠ATN＝∠ACP+∠CAT＝60°﹣2α+3α＝60°+α，∴∠MNP＝∠MPC＝∠ANT＝∠ATN＝60°+α，∴MP＝MN，AN＝AT，∴AM＝MN+AN＝MP+AT＝m+4+m＝4+2m，在△AMR中，∠AMR＝60°，AM＝4+2m，MR＝5，AR＝5+m，如圖，過R點作AM變的高HR，∴∠MRH＝30°，∴MH＝MR＝，HR＝＝MR＝，∴AH＝AM﹣MH＝+2m，在Rt△AHR中，HR2+AH2＝AR2，∴（）2+（+2m）2＝（5+m）2，解得：m＝2或﹣（舍去），∴AT＝4+m．8．（1）證明：如圖1，作AH⊥BC于H，∴∠AHC＝90°，∴∠HAC+∠C＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAH，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°，∴∠CAE＝∠CAH，∵＝，∴∠CAD＝∠CBE，∴∠CAH＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：如圖，連接GC并延長交AD延長線于點H，連接DG，BG，AG，∵G是的中點，∴，∴GB＝GC，∠BAG＝∠CAG，∴∠CAG＝∠DAC，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG為直徑，∴∠ADG＝∠ACG＝90°，∴∠GDH＝∠ACH＝90°，∵∠AGC+∠CAG＝90°，∠AHC+∠CAH＝90°，∴∠AGC＝∠AHC，∴AG＝AH，∴CG＝CH，在Rt△GDH中，DC＝CG＝CH，即GH＝2DC＝DF，∵∠AEB＝90°＝∠ACG，∴BD∥GH，∴四邊形GHDF為平行四邊形，∴DH＝FG＝2，設(shè)半徑為r，則AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，在Rt△AGD中，DG2＝AG2﹣AD2，＝（2r）2﹣（2r﹣2）2＝8r﹣4，在Rt△GDH中，GH＝DF＝2CD＝4，∴DG2＝GH2﹣DH2＝32﹣4＝28，∴8r﹣4＝28，解得r＝4，∴⊙O的半徑為4．9．（1）證明：如圖，連接OD，∵AB切⊙O于點D，∴AB⊥OD，∴∠BDO＝∠BAC＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODC＝∠ACD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ACD＝∠OCD，∴CD平分∠ACB．（2）如圖，連接DE，∵FH⊥BC于點H，∴∠CHF＝∠A＝90°，∴∠B＝∠CFG＝90°﹣∠ACB，∵CE是⊙O的直徑，∴∠CDE＝90°，∴∠BDE＝∠ODC＝90°﹣∠ODE，∵∠ODC＝∠OCD，∴∠BDE＝∠OCD＝∠FCG，∴△BDE∽△FCG，∴＝，∴＝＝，∵BE＝1，∴BD＝＝＝，∵∠B＝∠B，∠BDE＝∠BCD，∴△BDE∽△BCD，∴＝，∵BC＝＝＝，∴CE＝﹣1＝，∴⊙O的直徑長為．10．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠DBA＝∠DEA．∠DAC＝∠DEA，∴∠DAC＝∠DBA，∴∠DAC+∠DAB＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥AB，∵AB為⊙O的直徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BEF＝90°，∴∠ADF＝∠BEF，∵∠DAF＝∠EBF，∴△ADF∽△BEF，∴＝＝，設(shè)EF＝x，則DF＝x，∴BF＝﹣x，∵EF2+BE2＝BF2，∴x2+1＝（﹣x）2，解得：x1＝，x2＝2（不合題意，舍去），∴DF＝．11．（1）證明：如圖，連接OC，∵PA是半⊙O的切線，∴PA⊥OA，∴∠OAP＝90°，∵OD⊥AC，OD經(jīng)過圓心O，∴CD＝AD，∴PC＝PA，∵OC＝OA，OP＝OP，∴△OCP≌△OAP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP＝90°，∵PC經(jīng)過⊙O的半徑OC的外端，且PC⊥OC，∴PC是⊙O的切線．（2）∵AB是⊙O的直徑，且AB＝10，∴OA＝OB＝5，∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，∴OD＝OA＝，∴AD＝＝，∵∠OAP＝90°，∠AOP＝60°，∴∠OPA＝30°，∴OP＝2OA＝10，∴S△POC＝S△POA＝×10×＝，∴S四邊形PAOC＝2×＝25，∵∠COB＝2∠CAB＝60°，∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，∴S扇形AOC＝＝，∴S＝S四邊形PAOC﹣S扇形AOC＝25．12．證明：（1）連接OE，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ADE，∵AD是直徑，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，又∵∠DEB＝∠EAD，∴∠DEB+∠OED＝90°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BC，∵OE是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）連接PF，∵CG＝12，AC＝15，∴AG＝＝＝9，∵AC⊥CE，EP⊥AB，CE＝EP，∴∠CAE＝∠EAO，∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，∴CF＝CE，∴CF＝PE，∵CG⊥AB，EP⊥AB，∴CF∥EP，∴四邊形CFPE是平行四邊形，又∵CF＝CE，∴四邊形CFPE是菱形，∴CF＝EP＝CE＝PF，∵AE＝AE，CE＝EP，∴Rt△ACE≌Rt△APE（HL），∴AP＝AC＝15，∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，∵PF2＝FG2+GP2，∴CF2＝（12﹣CF）2+36，∴CF＝，∴四邊形CFPE的面積＝CF×GP＝×6＝45．13．（1）解：連接OB，OD，過點O作OM⊥DB于M，∵∠DAB＝120°，∴所對圓心角的度數(shù)為240°，∴∠BOD＝360°﹣240°＝120°，∴∠DBO＝30°，∵OM⊥DB，∴DM＝BM，∠OMB＝90°，∵⊙O的半徑為3，∴OM＝，∴BM＝＝＝，∴BD＝2BM＝3，故答案為3；（2）證明：連接AC，∵AB＝BE，∴點B為AE的中點，∵F是EC的中點，∴BF為△EAC的中位線，∴BF＝AC，∵，∴，∴，∴BD＝AC，∴BF＝BD；（3）解：過點B作AE的垂線，與⊙O的交點即為所求的點P，∵BF為△EAC的中位線，∴BF∥AC，∴∠FBE＝∠CAE，∵，∴∠CAB＝∠DBA，由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP＝∠FBP，∵G為BD的中點，∴BG＝BD，∴BG＝BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG＝PF．14．解：（1）∵x2﹣17x+60＝0，∴（x﹣12）（x﹣5）＝0，∴x1＝12，x2＝5，∴OA＝12，OB＝5；（2）①∵點C是劣弧OA的中點，∴弧OC＝弧AC，∴∠OBC＝∠DOC，又∵∠C＝∠C，∴△OCB∽△DCO，∴，即OC2＝CD?CB；②連接MC交OA于點E，根據(jù)垂徑定理的推論，得ME⊥OA，根據(jù)垂徑定理，得OE＝OA＝6，∵OA＝12，OB＝5，∠BOA＝90°，∴AB是⊙M的直徑，由勾股定理得AB＝＝＝13，根據(jù)勾股定理，得ME＝ME＝＝2.5，∴CE＝6.5﹣2.5＝4，即C（6，﹣4）．15．解：（1）連接OD，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠DAE，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝∠EAD，∴∠ADO＝∠OAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴∠DAE＝90°，∵∠AED+∠ODE＝180°，∴∠ODE＝90°，∴OE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）連接BC，交OD于F，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AE，∴CF＝FB＝BC，∵AC＝6，AB＝10，∴B