數(shù)字信號處理-2

§3線性時不變系統(tǒng)的描述n階前向差分方程n階后向差分方程式中，x

(n),y(n)分別為激勵與響應。前向差分方程多用于狀態(tài)變量分析法。后向差分方程多用于因果系統(tǒng)與數(shù)字濾波器的分析。或

系數(shù)ak(k=1、2…、N)，bm(m=1,…,M)均為常數(shù)。

差分方程的階數(shù)指方程中y(n-k)的最高階與最低階之差。

線性指方程中僅有y(n-k)的一次冪項，不含它們的相乘項。1§3線性時不變系統(tǒng)的描述差分方程的重要特點是：系統(tǒng)當前的輸出（即在n時刻的輸出）y(n)，不僅與激勵有關(guān)，而且與系統(tǒng)過去的輸出y(n-1),y(n-2),y(n-N)有關(guān)，即系統(tǒng)具有記憶功能。2差分方程的求解遞推法經(jīng)典解法時域解法Z域分析法詳見《信號與系統(tǒng)》的相關(guān)章節(jié)典型例題例1遞推法試求一階差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)的單位脈沖響應。設(shè)初始條件為y(n)=0(n<0)。解：令x(n)=δ(n),則y(n)=h(n),上式可變?yōu)?h(n)=ah(n-1)+δ(n)h(0)=1h(1)=ah(0)+0=ah(2)=ah(1)+0=a2…

h(n)=ah(n-1)+0=an∴h(n)=anu(n)

為因果系統(tǒng)

3例2經(jīng)典解法描述某線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程為：試求：當初始狀態(tài)為y(-1)=0,y(-2)=?時，求全響應。解：(1)求齊次解，特征根為：(2)求特解：設(shè)特解為：將yp(n)代入原差分方程，得：解得：4例2經(jīng)典解法(3)用初始值求常數(shù)：全響應為：將初始條件代入上式，得：解得：故，全響應為：自由響應強迫響應5§4連續(xù)時間信號的數(shù)字處理對連續(xù)（模擬）信號實施數(shù)字處理的典型框圖說明

1、數(shù)字信號處理系統(tǒng)相比模擬信號處理系統(tǒng)的優(yōu)點2、連續(xù)（模擬）信號數(shù)字處理的必要性3、各主要環(huán)節(jié)的說明6抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器模擬信號數(shù)字處理第一步就是將在時間上連續(xù)的模擬信號離散化，使之成為在時間上離散的信號。

抽樣是將連續(xù)時間信號離散化的過程，它僅抽取信號波形某些時刻的樣值。抽樣分為均勻抽樣和非均勻抽樣，當抽樣是可取均勻等間隔點時為均勻抽樣，否則為非均勻抽樣。實際抽樣多為均勻抽樣。理想抽樣及其頻譜均勻抽樣可看作一個脈沖調(diào)制過程，其數(shù)學表示：

為調(diào)制信號即輸入的模擬信號。為載波信號，是一串周期為T，脈寬為τ的矩形脈沖串。調(diào)制后輸出的信號就是抽樣信號。7抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器當τ趨于零的極限情況時，脈沖序列p(t)變成了沖擊函數(shù)串，稱為理想抽樣。理想抽樣過程示意圖理想抽樣實際抽樣不可能為理想抽樣。但當τ?T時，即可看成理想抽樣8抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器用表示沖擊函數(shù)串可見，是在離散時刻的取值的集合。抽樣信號的頻譜9抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器由頻域卷積定理得：將和帶入式中，得:可見,一個連續(xù)時間信號經(jīng)過理想抽樣后,其頻譜為周期性頻譜，且以抽樣頻率Ωs=2π/T為間隔周期無限延拓。10抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器理想抽樣信號的頻譜周期延拓圖示例11抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器1、設(shè)的頻譜為被限制在某一最高頻率Ωh范圍內(nèi)，其頻譜如上頁圖a所示，則稱其為帶限信號。對帶限信號的抽樣，當滿足Ωh≤

Ωs/2時,原來頻譜和各次延拓分量的頻譜不重疊,如上頁圖b所示。如果選用一個截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器對抽樣信號進行濾波，就可以不失真地還原出原來的連續(xù)信號。2、但如果信號的最高頻率Ωh≥

Ωs/2,則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交集,將無法真的還原出原來的連續(xù)信號，即產(chǎn)生了“混疊失真”，如上頁圖c所示。抽樣定理理想抽樣信號的頻譜周期延拓圖示例說明要想連續(xù)帶限信號抽樣后能夠不失真地還原出原信號，則抽樣頻率必須大于或等于兩倍原信號頻譜的最高頻率(Ωh≤

Ωs/2)，這就是奈奎斯特抽樣定理。折疊頻率或奈奎斯特頻率基帶譜12抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器A/D轉(zhuǎn)換器的基本原理任何A/D轉(zhuǎn)換器必須包括以下三個基本功能：抽樣、抽樣保持、量化與編碼量化：將無限精度的抽樣信號的幅度離散化，使之變成能用有限字長表示的數(shù)字信號。編碼：將經(jīng)量化的數(shù)字信號最終表示成為數(shù)字系統(tǒng)所能接受并對其實施處理與傳輸?shù)男问健３闃颖３郑河捎趯Τ闃有盘柍闃狱c的值進行量化和編碼都需要時間，為了保證在量化和編碼期間其值不發(fā)生改變，在此之前需對抽樣點值加以保持。13抽樣信號的恢復與D/A轉(zhuǎn)換器抽樣信號恢復的頻域解釋若將抽樣信號或通過一理想低通濾波器，就可恢復原信號或，過程見下圖。此即表明原信號得以恢復14抽樣信號恢復的時域解釋抽樣信號的恢復與D/A轉(zhuǎn)換器1、低通濾波器的沖激響應2、抽樣信號經(jīng)過理想低通濾波器后的輸出15抽樣信號的恢復與D/A轉(zhuǎn)換器內(nèi)插函數(shù)抽樣內(nèi)插公式抽樣內(nèi)插公式表明：由信號的抽樣值通過內(nèi)插獲得原信號。即：濾波器的輸出=原信號抽樣點的值與內(nèi)插函數(shù)乘積和。16抽樣信號的恢復與D/A轉(zhuǎn)換器3、內(nèi)插函數(shù)的特性內(nèi)插函數(shù)波形在抽樣點mT上，其值為1;其余抽樣點上，其值為0。這保證了各抽樣點上信號值不變。17抽樣信號的恢復與D/A轉(zhuǎn)換器4、由抽樣內(nèi)插公式所決定的信號內(nèi)插恢復過程（1）在抽樣點上，信號值不變，即：（2）抽樣點之間的信號則由幅度為抽樣值的各內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加而成。如下圖所示：T2T3T04T18D/A轉(zhuǎn)換器的基本原理抽樣信號的恢復與D/A轉(zhuǎn)換器D/A轉(zhuǎn)換器的原理框圖為：譯碼：將數(shù)字信號

轉(zhuǎn)換成抽樣信號零階保持器：將每個抽樣信號的樣值保持一個抽樣間隔寬度，直到下一個抽樣時刻，相當于在一個抽樣間隔內(nèi)進行常數(shù)內(nèi)插，變成模擬信號。抽樣信號經(jīng)零階保持器的常數(shù)內(nèi)插過程如下：19抽樣信號的恢復與D/A轉(zhuǎn)換器抽樣信號經(jīng)零階保持器的常數(shù)內(nèi)插過程如下：20抽樣信號的恢復與D/A轉(zhuǎn)換器零階保持器的單位沖擊響應及其頻率響應分別為:21抽樣信號的恢復與D/A轉(zhuǎn)換器由H1(jΩ)的波形可見，零階保持器是一個低通濾波器，能起到將抽樣信號轉(zhuǎn)換成模擬信號的作用。22帶通信號的抽樣帶通信號頻譜范圍被限制在某一最低頻率和某一最高頻率范圍內(nèi)的信號，即：。其有效頻帶或帶寬為。通常這類信號由帶限信號（低通信號）對某個高頻的載波調(diào)制得來，故其最高頻率往往很高。若仍采用帶限信號的抽樣定理對其抽樣，將使抽樣數(shù)據(jù)很大。帶通信號的抽樣選擇抽樣頻率1、帶通信號的最高頻率為帶寬的整數(shù)倍時即：此時的抽樣頻率顯然比由帶限信號的抽樣定理所規(guī)定的Nyquist抽樣頻率小得多。23帶通信號的抽樣則抽樣信號頻譜為上式保證了各個延位后的相加不會發(fā)生混疊。下圖給出了用Ωs=2Ωh/M（M=4

）進行抽樣后的頻譜圖。24帶通信號的抽樣

從圖可見，將通過一個頻率特性為的理想帶通濾波器時,可恢復原來的頻譜

HP(jΩ)=TΩ1

≤Ω

≤

Ωh0其他25帶通信號的抽樣2、帶通信號的最高頻率不為帶寬的整數(shù)倍時即：如果不是的整數(shù)倍，可將人