數(shù)值分析方法第二章

第一章誤差/*Error*/§1誤差的背景介紹/*Introduction*/1.來源與分類/*Source&Classification*/

從實際問題中抽象出數(shù)學模型

——模型誤差/*ModelingError*/不可避免：對“實際”的簡化、抽象、近似模型優(yōu)化：接近實際，易于計算，便于理解模型選用不當“致命”錯誤SphericalModelPolyhedralModelMeasuredData0.10.20.3sizeclassinterval,mm0.41.00.60.81.2averagegrainsize,mm模型誤差

通過測量得到模型中參數(shù)的值

——觀測誤差/*MeasurementError*/

求近似解——方法誤差(截斷誤差/*TruncationError*/)

機器字長有限——舍入誤差

/*RoundoffError*/結論:誤差不可避免;既要允許誤差,又要控制誤差;要分析誤差的來源,誤差的傳播,對誤差進行估計.截斷誤差:若將前若干項的部分和作為函數(shù)值的近似公式,由于以后各項都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差Taylor展開舍入誤差例：舍入誤差設在一臺虛構的4位數(shù)字計算機上計算舍入誤差為0.000472現(xiàn)實世界研究對象測量數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型構成數(shù)值算法數(shù)值運算的執(zhí)行測量誤差模型誤差方法誤差舍入誤差結果§1Introduction:Source&Classification大家一起猜？11/e解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4

/*Remainder*/取則稱為截斷誤差/*TruncationError*/|

舍入誤差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起§2

誤差與有效數(shù)字/*ErrorandSignificantDigits*/絕對誤差/*absoluteerror*/其中x為精確值，x*為x的近似值。Heyisn’titsimple?Ohyeah?ThentellmetheabsoluteerrorofOops!絕對誤差是有量綱的量，量綱同x，它可正可負.，例如：工程上常記為，稱為絕對誤差限

/*accuracy*/，的上限記為注：e*>0不唯一，當然e*越小越具有參考價值。絕對誤差一般無法準確計算，只能根據(jù)測量或計算情況估計出它的絕對值的上限Icantellthatthispart’sdiameteris20cm1cm.Icantellthatdistancebetweentwoplanetsis1millionlightyear±1lightyear.Ofcoursemineismoreaccurate!Theaccuracyrelatestonotonlytheabsoluteerror,butalsotothesizeoftheexactvalue.§2ErrorandSignificantDigits

相對誤差/*relativeerror*/x的相對誤差限

/*relativeaccuracy*/

定義為注：從的定義可見，實際上被偷換成了，而后才考察其上限。那么這樣的偷換是否合法？嚴格的說法是，與是否反映了同一數(shù)量級的誤差？§2ErrorandSignificantDigits

有效數(shù)字/*significantdigits*/用科學計數(shù)法，記（其中）。若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有n位有效數(shù)字，精確到。例：問：有幾位有效數(shù)字？請證明你的結論。證明：有位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點后第位。43注：0.2300有4位有效數(shù)字，而00023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！“四舍五入”規(guī)則就是：將超過規(guī)定位數(shù)的部分按下列原則去掉：(1)如果舍棄的部分小于保留數(shù)的最后一位的單位的1/2，那么保留的數(shù)不變。例如=3.1415926…，如果取兩位小數(shù)，那么保留數(shù)的最后一位單位是10-2

，舍棄部分是0.1592610-2

，小于0.510-2，因此取為3.14;(2)如果舍棄的部分大于所保留數(shù)的最后一位單位的1/2，那么將保留數(shù)最后一位數(shù)字加1。例如限制取4位小數(shù)，最后一位單位為10-4，但去掉的部分是0.92610-4，大于0.510-4，因此取成3.1416;(3)如果舍棄的部分恰等于所保留數(shù)的最后一位單位的1/2，此時如果保留的數(shù)最后一位是奇數(shù)，那么加1成偶數(shù)；如果保留的數(shù)最后一位是偶數(shù)，則就不動了。例如：取2位小數(shù)，0.675成0.68，而0.605成0.60?！八纳嵛迦搿币?guī)則:四舍六入五成雙例：按四舍五入原則寫出下列各數(shù)具有5位有效數(shù)字的近似數(shù)：187.9325,0.03785551,2.7182818，8.000033解：按照定義，上述各數(shù)具有5位有效數(shù)字的近似數(shù)分別是187.930.0378562.71838.0000例

已知準確值a=3.1415926…是一個無限不循環(huán)小數(shù)，求截取不同位數(shù)后的近似值和誤差界。解：數(shù)值例有效數(shù)字絕對誤差限3.141590.01230210500080kg80000g8(104g)數(shù)值例有效數(shù)字絕對誤差限3.1415960.00001/20.0123040.00001/2210500071/280kg20.5kg80000g50.5g8(104g)15kg例:

設

x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,問它們分別有幾位有效數(shù)字?3位5位4位§2ErrorandSignificantDigits

有效數(shù)字與相對誤差的關系

有效數(shù)字

相對誤差限已知x*有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限為相對誤差限有效數(shù)字已知x*的相對誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數(shù)字?！?ErrorandSignificantDigits

例：為使的相對誤差小于0.001%,至少應取幾位有效數(shù)字？解：假設*取到n

位有效數(shù)字，則其相對誤差上限為要保證其相對誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6lg6，即n6，應取*=3.14159。§3

函數(shù)的誤差估計/*ErrorEstimationforFunctions*/問題：對于y=f(x)，若用x*

取代x，將對y

產(chǎn)生什么影響？分析：e*(y)=f(x)f(x*)e*(x)=xx*MeanValueTheorem=f’()(xx*)x*與x非常接近時，可認為f’()

f’(x*)，則有：|e*(y)||f’(x*)|·|e*(x)|x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過f作用后被放大/縮小了|f’(x*)|倍。故稱|f’(x*)|為放大因子

/*amplificationfactor*/

或

絕對條件數(shù)

/*absoluteconditionnumber*/.§3ErrorEstimationforFunctions相對誤差條件數(shù)

/*relativeconditionnumber*/

f的條件數(shù)在某一點是小\大，則稱f在該點是好條件的

/*well-conditioned*/\壞條件的

/*ill-conditioned*/。設,

的相對誤差限為r求的絕對誤差限|e*(y)||f’(x*)|·|e*(x)|=|e*(x)|/x*=r例題§3ErrorEstimationforFunctions例:計算y=ln

x。若x

20，則取x

的幾位有效數(shù)字可保證y

的相對誤差<0.1%?解：設截取

n

位有效數(shù)字后得x*

x，則x

和y

的相對誤差上限滿足近似關系不知道怎么辦??？x

可能是20.#，也可能是19.#，取最壞情況，即a1=1。n4例：計算，取4

位有效，即,則相對誤差計算取直接計算f和把f轉化為計算，哪一個最好？例題數(shù)值運算的絕對誤差和相對誤差數(shù)值運算的誤差估計和、差、積、商的誤差估計式已測得某物體行程的近似值s=800m，的近似值t=35s。若已知試求平均速度的絕對誤差限和相對誤差限。

解因為由商的誤差估計式有

例所需時間傳播與積累/*Spread&Accumulation*/例：蝴蝶效應

——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的北京就刮起臺風來了？！NYBJ以上是一個病態(tài)問題

/*ill-posedproblem*/§4幾點注意事項/*Remarks*/1.選用穩(wěn)定的算法。

病態(tài)與良態(tài)問題相對誤差條件數(shù)函數(shù)值的相對誤差對于一個數(shù)值問題,如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動（即誤差），引起輸出數(shù)據(jù)（即問題解）相對誤差很大，這就是病態(tài)問題,相反稱為良態(tài)問題擾動相對誤差相對誤差的比值相對誤差條件數(shù)越大，病態(tài)越嚴重稱為病態(tài)問題初始數(shù)據(jù)相對變化1%，計算結果相對變化400%！病態(tài)！分析:

定義：一個算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動（即有誤差），而計算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱此算法為不穩(wěn)定的。算法的數(shù)值穩(wěn)定性如果第則稱此計算公式是絕對穩(wěn)定的，否則稱為不是絕對穩(wěn)定的。步的誤差步的誤差滿足與第例題序列滿足遞推關系該計算公式穩(wěn)定嗎？例：計算

公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!考察第n步的誤差我們有責任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增走勢?？梢姵跏嫉男_動

公式二：注意此公式與公式一在理論上等價。方法：先估計一個IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇∪ejustgotlucky?考察反推一步的誤差：以此類推，對n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。例

解失之毫厘,差之千里！2.避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。例

求下列方程的根解:用8位浮點數(shù)(有效數(shù)字)計算用4位浮數(shù)點(有效數(shù)字)計算兩接近數(shù)相減損失了有效數(shù)字數(shù)值不穩(wěn)定的方法仍用4位浮點數(shù)計算數(shù)值穩(wěn)定的方法減法本身完全正確誤差傳播的研究十分重要是因為求的誤差(并不大),進行減法后導致不應忽視的后果準確

幾種經(jīng)驗性避免方法：當|x|<<1時：§4Remarks3.避免小分母:分母小會造成浮點溢出/*overflow*/