一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型歸納非常全面

重難點(diǎn)突破一元二次方程題型匯編知識(shí)梳理一元二次方程的概念.一元二次方程的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程..一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a。0),a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng).(1)要判斷一個(gè)方程是一元二次方程，必須符合以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：①一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式.②一?元二次方程是一?元方程，即方程中只含有一?個(gè)未知數(shù).③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2.(2)任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理都可以化為一般式ax2+bx+c=0(aw0).要特別注意對(duì)于關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0.當(dāng)a。0時(shí)，方程是一元二次方程；當(dāng)a=0且b。0時(shí)，方程是一元一次方程.(3)關(guān)于x的一元二次方程式ax2+bx+c=0(a。0)的項(xiàng)與各項(xiàng)的系數(shù).ax2為二次項(xiàng)，其系數(shù)為a;bx為一次項(xiàng)，其系數(shù)為b;c為常數(shù)項(xiàng).一元二次方程的解法1.一元二次方程的解法(1)直接開平方法：適用于解形如5%+b)2=c(aw0,c三0)的一元二次方程.(2)配方法：解形如ax2+bx+c=0(aw0)的一元二次方程，運(yùn)用配方法解一元二次方程的一般步驟是：①二次項(xiàng)系數(shù)化為1;②常數(shù)項(xiàng)右移；③配方(兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方).④化成(x+m)2=n的形式.⑤若n三0，直接開平方得出方程的解...一---- ..一一一， hA2卜2—Aar(3)公式法：將ax2+bx+c=0(aw0)進(jìn)行配方可以得到：x+2=b―".I 2a) 4a2b+bh2—4ac當(dāng)h2-4ac三0時(shí)，兩個(gè)根為％=―= ,其中h2-4ac=0時(shí)，兩根相等為i,2 2ax=x=—;當(dāng)h2-4ac<0時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根.1 2 2a可以用△表示h2-4ac,△稱為根的判別式.運(yùn)用公式法解一元二次方程的一般步驟是：①把方程化為一般形式；②確定a、h、c的值；③計(jì)算h2-4ac的值；④若h2-4ac三0，則代入公式求方程的根；⑤若h2-4ac<0，則方程無實(shí)數(shù)根.（4）因式分解法：適用于方程一邊是零，另一邊是一個(gè)易于分解的多項(xiàng)式.因式分解法的一般步驟：①將方程化為一元二次方程的一般形式；②把方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積；③令每一個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的解.2.一元二次方程解法的靈活運(yùn)用直接開方法，配方法，公式法，因式分解法.在具體解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)慕夥?（1）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，把一元二次方程的一般形式ax2+hx+c=0（a、h、c為常數(shù)，a。0）轉(zhuǎn)化為它的簡(jiǎn)單形式A（x-B）2=C，這種轉(zhuǎn)化方法就是配方，之后再用直接開平方法就可得到方程的解.（2）公式法：公式法是由配方法演繹得到的，同樣適用于任何形式的一元二次方程，但必須先將方程化為一般形式，并計(jì)算h2-4ac的值.（3）因式分解法：適用于右邊為0（或可化為0），而左邊易分解為兩個(gè)一次因式積的方程，缺常數(shù)項(xiàng)或含有字母系數(shù)的方程用因式分解法較為簡(jiǎn)便，它是一種最常用的方法.可化為一元二次方程的高次方程在遇到這類可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的高次方程時(shí)，通常有兩種轉(zhuǎn)化方法．1．因式分解法：如果所遇到的高次方程可以因式分解成兩個(gè)或者多個(gè)一元二次式或一元一次式的乘積的形式，可以用因式分解法．2．整體換元法：在一個(gè)式子中要善于觀察幾個(gè)式子的關(guān)系，有某種特殊的關(guān)系如倒數(shù)、幾倍、差值為常數(shù)、或者和為常數(shù)的，可以用整體換元法，實(shí)現(xiàn)降次的目的．可化為一元二次方程的分式方程在遇到這類可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的分式方程時(shí)，通常有兩種轉(zhuǎn)化方法．1．去分母法：在遇到分式方程時(shí)，往往先去分母，即通分然后求解．2．整體換元法：在一個(gè)分式方程中，如果有的式子含有某種特殊的關(guān)系如倒數(shù)、幾倍、差值為常數(shù)、或者和為常數(shù)的時(shí)候可以考慮整體換元法，實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)的目的．注意：在分式方程中，不管用什么方法解出來，最后一定要驗(yàn)根，因?yàn)橐沟梅质椒匠逃幸饬x，分母不為0，在這個(gè)過程中可能產(chǎn)生增根．可化為一元二次方程的絕對(duì)值方程在遇到這種可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的絕對(duì)值方程時(shí)，通常有兩種轉(zhuǎn)化方法．1．分類討論法：遇到絕對(duì)值方程時(shí)，可以先去絕對(duì)值，而去絕對(duì)值，就意味著要分類討論．第一步，找出分段點(diǎn)，考慮當(dāng)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的式子等于0時(shí)，％取值，由此劃分x取值.第二步，根據(jù)％取值討論去絕對(duì)值，得到相應(yīng)轉(zhuǎn)化的一元二次方程.第三步，用合適的方法求解，但是解得的解應(yīng)該在討論的％取值內(nèi).第四步，依次寫出滿足絕對(duì)值方程的所有根.2.整體換元法：在遇到一個(gè)特定的方程時(shí)，如果分類討論，雖然可行但較為繁瑣，可以考慮用整體換元法.【總結(jié)】在絕對(duì)值方程中，要記著考慮絕對(duì)值的非負(fù)性.可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根式方程在遇到這類可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根式方程時(shí)，通常有兩種轉(zhuǎn)化方法..兩邊平方法：等式的兩邊同時(shí)平方，然后化簡(jiǎn)得到相應(yīng)的一元二次方程..整體換元法：在含根式方程的一個(gè)方程中，如果幾個(gè)式子存在特殊的關(guān)系，可以考慮整體換元法.【總結(jié)】在根式中解的時(shí)候，解一定要使得根號(hào)下非負(fù)；在整體換元的時(shí)候要考慮到換的元的取值范圍內(nèi)，在取值范圍內(nèi)的解才有意義，最后也要像分式方程那樣進(jìn)行驗(yàn)根.模塊一一元二次方程的判別式.定義：在一■元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)中，只有當(dāng)系數(shù)a、b、c滿足條件△=b2-4ac三0時(shí)才有實(shí)數(shù)根.這里b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式，記作△..判別式與根的關(guān)系：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一■元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根的情況由△=b2-4ac確定.設(shè)一■元二次方程為ax2+bx+c=0(aw0)，其根的判別式為：△=b2-4ac，貝U①△>0。方程ax2+bx+c=0(aw0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x="&_——.TOC\o"1-5"\h\z1,2 2ab②△=0。方程ax2+bx+c=0(aw0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x=x= .12 2a③△<0。方程ax2+bx+c=0(aw0)沒有實(shí)數(shù)根.特殊的：(1)若a,b,c為有理數(shù)，且△為完全平方式，則方程的解為有理根；(2)若△為完全平方式，同時(shí)-b±也2-4ac是2a的整數(shù)倍，則方程的根為整數(shù)根.模塊二一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系.韋達(dá)定理：如果ax2+bx+c=0(aw0)的兩根是x,x,則x+x=--,xx=c.(使用前提：A，。)1 2 1 2a12a特別地，當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，設(shè)、，％2是方程%2+px+q=0的兩個(gè)根，貝||x+x=-p,xx=q..韋達(dá)定理的逆定理：b c如果有兩個(gè)數(shù)x,x滿足x+x=—,xx=—,那么x,x必定是ax2+bx+c=0(aw0)1 2 1 2a12a 1 2的兩個(gè)根.特別也以兩個(gè)數(shù)『x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2-(xi+x2)x+xix2=0..韋達(dá)定理與根的符號(hào)關(guān)系：在△=b2-4ac三0的條件下，我們有如下結(jié)論：(1)當(dāng)c<0時(shí)，方程的兩根必一正一負(fù).abb①若-b三0，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值；②若-b<0，則此方程的正根小于負(fù)aa根的絕對(duì)值.(2)當(dāng)c>0時(shí)，方程的兩根同正或同負(fù).abb①若-b>0，則此方程的兩根均為正根；②若-b<0，則此方程的兩根均為負(fù)根.aa注意：(1)若ac<0，則方程ax2+bx+c=0(aw0)必有實(shí)數(shù)根.(2)若ac>0，方程ax2+bx+c=0(aw0)不一■定有實(shí)數(shù)根.模塊一一元二次方程的公共根.一元二次方程公共根問題的一般解法：(1)如果公共根可以根據(jù)其中一個(gè)方程求出，則先求出公共根，代入另外一個(gè)方程，得到某一個(gè)參數(shù)的一個(gè)方程，解得參數(shù).(2)如果公共根不能直接求出，則先設(shè)出公共根，然后代入原方程，通過恒等變形求出參數(shù)的值和所有方程的根.十、模塊二一元二次方程的整數(shù)根.判斷整系數(shù)一元二次方程是否有整數(shù)根的思路：判斷整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0是否有整數(shù)根問題的過程中，整除的性質(zhì)、求根公式、判別式與根系關(guān)系起十分重要的作用..解整系數(shù)一元二次方程整數(shù)根問題的常用方法(1)直接求根法：當(dāng)一元二次方程的根很容易通過分解因式求出時(shí)，我們可以直接利用整除的性質(zhì)討論當(dāng)根為整數(shù)時(shí)參數(shù)的取值(能因式分解優(yōu)先考慮).(2)利用判別式法：在一元二次方程有整數(shù)根的前提下，利用判別式△必須是完全平方式，且^之。，利用這條性質(zhì)可以確定整參數(shù)的值，但需要驗(yàn)證這些值是否使方程的根為整數(shù).(3)利用韋達(dá)定理：由韋達(dá)定理(根系關(guān)系)得到用待定字母表示的兩根和、積式，從中消去待定字母得出不定方程來求解，或利用“和與積必須是整數(shù)”，結(jié)合整除性分析求解.但后者必須進(jìn)行檢驗(yàn)所求的參數(shù)值要滿足判別式^之。.(一般殳用于實(shí)參數(shù))十一、利用根的定義構(gòu)造方程如果m、n分別是一?元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的兩根，那么有am2+bm+c=0,an2+bn+c=0，相反的，如果已知m、n分別滿足am2+bm+c=0,an2+bn+c=0,且aw0,那就可以構(gòu)造一?個(gè)一?元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)使得m、n是它的解.十二、利用根系關(guān)系構(gòu)造方程b如果m、n分別是一■元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的兩根，由韋達(dá)定理，m+n=—,amn=c■，相反的，如果已知m、n分別滿足m+n=——,mn=c,且aw0，那就可以構(gòu)造a aa一個(gè)一元二次方程使得m、n是它的兩根.這里主要提到的是同形構(gòu)造及和積構(gòu)造.例題分析題型一一元二次方程的概念例題1下面關(guān)于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3(x—9)2—(x+1)2=1；③x2+1+5=0；x④x2—2+5x3—6=0:⑤Ix2—3xI—3=0:⑥x2+kx+3=0(k為常數(shù))是一元二次方程(2)若一元二次方程(m—2)x2+3(m2+15)x+m2—4=0的常數(shù)項(xiàng)為零，則m的值為(3)若x2a+b—3xa-b+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，求a、b的值.【解析】(1)②⑥.(2)由題意可知，m2—4=0,m—2w0，故m=—2(3)分以下幾種情況考慮：4 2①2a+b=2,a—b=2，此時(shí)a=-,b=——;3 3②2a+b=2,a—b=1,此時(shí)a=1,b=0;③2a+b=1,a-b=2，此時(shí)a=1,b=-1;【總結(jié)】這三道題主要考察學(xué)生們對(duì)一元二次方程的基本概念的理解，比較簡(jiǎn)單，但是第三個(gè)小題容易犯錯(cuò)誤。主要是考慮不全，或者誤以為2a+b=0，a-b=0的情況可以成立.實(shí)際上，％o有一個(gè)隱含的限制條件，即％。0,%o是一個(gè)分式，表示的意義是x,如果本題Xn中2a+b=0或者是a-b=0成立，原方程就不是一個(gè)整式方程，而是一個(gè)分式方程，既然不是整式方程，就更談不上是一元二次方程了.鞏固1：(1)已知關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0有一個(gè)根是x=0，則m的值為.TOC\o"1-5"\h\z(2)已知a是一元二次方程x2-2x-1=0的根，求下列各式的值：①a-1；②a2+-；a a2a2 a,a2-3^③a2—3a+ +5.2(3)關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1,(a,m,b均為常數(shù)，a豐0),則方程a(x+m+2)2+b=0的解是 .【答案】(1)一元二次方程，???m-1w0，而x=0代回方程得到：m2-1=0.綜上可知m=-1.，八?一.一.一.. 1一1a1 ( 1、2(2)①由a2-2a-1=0知,aw0,故a-2—-=0,即a--=2:②a2+—=a——+2=6;a a a21aJ③由于a2=2a+1,代入所求得，原式=2a+1-3a+2a+1-3+5=5.2(3)x=-4,x=-1.題型二一元二次方程的解法例題2解方程：(1)x2-6x+9=(5-2x)2 (2)4(x-2)2-(3x-1)2=0區(qū)【答案】(1)(x-3)2=(5-2x)2,x-3=±(5-2x),x=2,xn=-.1 23(2)4(x-2)2=(3x-1)2,2(x-2)=±(3x-1),\=-3,x?=1【考點(diǎn)】利用開平方法解一元二次方程.例題3解方程：(1)x2-4x-1=0 (2)2x2-8x-3=0 (3)4x2-6x-4=0【答案】(1)x2-4x-1=0,(x-2)2=5,x=2±V?,x=2+7?,x=2-75;2%2—8%—3=0,22%2—8%—3=0,2(%-2)2=11V22%=2±——2%1222

=2+——

2%2=2<224%2-6%-4=0,%-4

k473\22516【考點(diǎn)】利用配方法解一元二次方程例題4解方程：(例題4解方程：(1)%2-5=2(%+1)(2)%(6%+1)+4%-3=22%+2△=22-4x1x(-7)=32,【答案】(1)%2-5=2(%△=22-4x1x(-7)=32,.,.原方程的解為：%=1+2后,%=1-2v2；△=12-4x6x(-4)=97(2)%(6%+1)+4%-3=22%△=12-4x6x(-4)=97故%1,2-1±<97-1±、而故%1,2-1±<97-1±、而2x612,???原方程的解為：%1-1+x9712-1-Y9712【考點(diǎn)】利用公式法解一元二次方程例題5 解方程：(例題5 解方程：(1)2%2-3%-2=0(2)(2%-1)2=3-6%(3)6%2一3。3%=2<2%一<6【答案】(1)2%2-3%-2=0,(2%+1)(%-2)=0,%1%2=-1.n為常數(shù))(2%-1)2=3-6%,(2%-1)2=3(1-2%),2(2%-1)(%2=-1.n為常數(shù))%1【考點(diǎn)】利用因式分解法解一元二次方程例題6解關(guān)于%的方程：(1)%2-3m%+2m2-mn-n2=0(m、m%2-(3m2+2)%+6m=0 (3)(k2-6k+8)%2+(2k2-6k-4)%+k2=4【答案】(1)%2-3m%+(2m+n)(m-n)=0,(%-2m-n)(%-m+n)=0,%=2m+n(2)若m=0,貝-2%=0,%=0;若mw0，貝1m%2-(3m2+2)%+6m=0,(m%-2)(%-3m)=0,故%1(3)①當(dāng)k2-6k+8=0時(shí)，方程二次項(xiàng)系數(shù)為0,此時(shí)k=2，或k=4.當(dāng)k=2時(shí)，方程化為-8%=0,解為%=0;當(dāng)k=4時(shí)，方程化為4%=-12,解為%=-3.②當(dāng)k2-6k+8w0時(shí)，方程可以因式分解為[(k-2)%+k+21kk-4)%+k-2]=0解為%1解為%1 ,%2-k2k-2【考點(diǎn)】含參數(shù)的一元二次方程的分類討論，同時(shí)討論判別式△的正負(fù)性.鞏固2：解關(guān)于％的方程：(1)%2-2mx+m2-n2=0；(2)x2+3a2=4ax-2a+1(a-b+c)x2+2ax+(a+b-c)=0【答案】(1)原式可以因式分解為：(x-m-n)(x-m+n)=0，解為x=m+n,x=m-n.(2)x=3a-1,x=a+1?(3)二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母，所以要加以討論，①若a-b+c=0，則原方程成為2ax+(a+b-c)=0若a=0，則c-b=0，原方程為0x+0=0,x可為一■切實(shí)數(shù).若a。0，貝x=-a-b+c=3=-1.2a 2a②若a-b+cw0,則原方程成為(x+1)[(a-b+c)x+(a+b-c)]=0,得x=-1,x=c~a~.1 2a-b+c鞏固3：解方程：(2x2+x)2-2(2x2+x)=3.【答案】設(shè)2x2+x=m，則原方程化為m2-2m-3=0，即(m-3)(m+1)=0,代回可得：(2x2+x-3)(2x2+x+1)=0,即2x2+x-3=0或2x2+x+1=0.32x2+x-3=0，可化為(2x+3)(x-1)=0，解得\=1,x2=-1;2x2+x+1=0，用公式法解決，△=12-4x2x1=-7<0，故此方程無實(shí)數(shù)根.3綜上方程解為：x=1,x=—.1 2 2題型三可化為一元二次方程的高次方程例題7解方程：(1)6x4-35x3+62x2-35x+6=0；(2)6x5-29x4+27x3+27x2-29x+6=0【答案】(1)顯然xw0，兩邊同除以x2，得：6x2-35x+62-35解得：x=2,解得：x=2,xx2-j 1a r 1)~一、即：6x2+--35x+-+62=0(1),x2J IxJ貝y2=x2+—+2,

x2所以方程(1)可化為：6(y2-2)-35y+62=0,10T即：6y2-35y+50=010T解得：y=—,y=—,即x+—=—,1223 x2

(2)觀察知x=-1為原方程的一個(gè)解，于是％+1必為左邊代數(shù)式的一個(gè)因式.于是有(x+1)(6x4-35x3+62x2-35x+6)=0.得x=-1或6x4-35x3+62x2-35x+6=0,顯然xw0,兩邊同除以x2,c( 1、-35x+-下面來解6x4顯然xw0,兩邊同除以x2,c( 1、-35x+-得：6x2-35x+62-351+—=0，即:xx2令y=x+1，貝y2=x2+—+2,所以方程可化為：6(y2-2)-35y+62=0,即：6y2-35y+50=0.解得：y=2解得：y=210y2=5'x3解得：x=2于是原方程的解為x=2,x2(2)(x2-2x-3)2=2x2-4x-7,所以(2)(x2-2x-3)2=2x2-4x-7,所以x=0或x4+5x2+6=0,(3)(1999-x)3+(x-1998)3=1【答案】(1)由題意得x(x4+5x2+6)=0當(dāng)x4+5x2+6=0時(shí)，得(x2+2)(x2+3)=0,此時(shí)方程無解.綜上所述，原方程得解為x=0.(2)令t=x2-2x-3，貝x2-2x=t+3，代入原方程得：12=2(t+3)-7,即得至12-2t+1=0,(t-1)2=0,t=1,將t的表達(dá)式代入得x2-2x-3=1,即x2-2x-4=0'解得x=1±、：5,所以x=1+75,x=1-<5.(3)令t=1999-x,貝x-1998=1-t,貝U13+(1-1)3=1,所以3t2-3t+1=1,得t1=0t=1,將t的代數(shù)式代入得到x=1999x2=1998.題型四得t1=0t=1,將t的代數(shù)式代入得到x=1999x2=1998.題型四可化為一元二次方程的分式方程例題8(1)2+5Ix+1J8(x2+2x)+3(x2-1)=11x2-1 x2+2x,、 32x——+12x=史-5

x【答案】(1)x12T，x32(2)設(shè)y=————,得y=-,y=1,由y=—,得％=--,x=—3,由y=1,得x=——.x2-1 18 2 ,18152 2 2 < 3、2一，一一 一，,一(3)先別忙著把2x--展開.把等號(hào)右邊各式都移到等號(hào)左邊，得Ix)(一3、(一3、22x——+12xIx)更+5=0.x一、一」 3、2可變形為2x--Ix)/一3、+62x——+5=0I x)原方程可化為y+6y+5=0.所以y=-1,y=-5.TOC\o"1-5"\h\z, 3 3由2x——=-1,得2x2+x-3=0，得x=——,x=1.x 1 2 231由2x——=-5，得2x2+5x-3=0.得x=-3,x=.x 3 4231經(jīng)檢驗(yàn)，這四個(gè)根都適合.所以原分式方程的解是x=--,x=1,x=-3,x=L⑵2(x2⑵2(x2+1)+6(x+1)=7

x+1 x2+1鞏固5：解分式方程：(1)，+上匚+—=1x+2x2-42-x【答案】⑴把第三個(gè)分式的分母2-x變形為x-2,得士+苫彳-；!2=1.方程兩邊都乘以(x+2)(x-2),得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2),即x2-3x+2=0，解得x=1,x=2.檢驗(yàn)：把x=1化入最簡(jiǎn)公分母，它不等于0,所以x=1是原方程的根；把x=2代入最簡(jiǎn)公分母，它等于0,所以x=2是增根.因此原方程的根是x=1.(2)設(shè)x2-+1=y，那么立1：1,于是原方程變形為2y+6=7.TOC\o"1-5"\h\zx+1 x2+1y y方程的兩邊都乘以y，約去分母，得2y2-7y+6=0.解這個(gè)方程，得y=2,y=-.22當(dāng)y=2時(shí)，x2-+1=2，去分母，整理得x2-2x-1=0.所以x=注四=1±%：2,

x+1 2當(dāng)y=-時(shí)，x2-+1=-，去分母，整理得2x2-3x-1=0.所以x=3±”17.x+1 2 4檢驗(yàn)：把x=1±22,x=31"7分別代入原方程的分母，各分母都不等于0,所以它們都4是原方程的根.綜上：原方程的根是x=1+\：2,x=1-V2,x=K,x=-———.1 2 3 4 4 4【總結(jié)】(【總結(jié)】(1)這個(gè)分式方程如果用去分母法解，方程兩邊要同乘以(x+1)(x2+1),所得到的將是一個(gè)難題的四次方程.所以，要考慮別的解法.2TOC\o"1-5"\h\z(2)觀察方程的特點(diǎn)，可見含未知數(shù)的兩部分式子——與——互為倒數(shù).X+1 X2+1(3)由于具有倒數(shù)關(guān)系，如果設(shè)y=x2+1,則-X+7=—,原方程就可變形為2y+-=7①，x+1 x2+1y y此方程去分母可化為一元二次方程2x2-7y+6=0.從中解出y，再解出x.因此，原分式方程可用換元法來解.鞏固6： (1)x2+—+2x+2_6x=0；(2)2x4+3x3-16x2+3x+2=0x2 x(3)6x5-41x4+97x3-97x2+41x-6=0【答案】(1)換元的方法x=1,x=-2+V3,x=-2-V3.3 2(2)顯然xw0，兩邊同除以x2，得：2x2+3x-16+-+—=0,xx2一， 1\ 1、 , 1 . 1即2x2H+3x+—-16=0，令t=x+—，則x2H=12-2,x2JIxJ x x2所以方程可化為：2(t2-2)+3t-16=0，即：2t2+3t-20=0，解得t=-4,t=5,1 2 2解得x+—=-4，或x+—=—，?>x=-2+v'3,x=-2-v'3,x=—,x=2.x x2 1 2 32 4(3)觀察知x=1為原方程的一個(gè)解，于是x-1必為左邊代數(shù)式的一個(gè)因式.于是有(x-1)(6x4-35x3+62x2-35x+6)=0.得x=1或6x4-35x3+62x2-35x+6=0,下面來解6x4-35x3+62x2-35x+6=0,顯然xw0，兩邊同除以x2，得：6x2-35x+62-351+—=0,xx2即：+62=0，令y=x+1，貝y2=x2+—+2,即：TOC\o"1-5"\h\zx x2所以方程可化為：6(y2-2)-35y+62=0，即：6y2-35y+50=0.5 10 1 5 1 10解得：y=-,y= ,即x+-=一，x+-=一.12 23 x 2 x 3解得：x=2,x=,x=3,x=.1 2 2 3 4 3于是原方程的解為x=2,x=—,x=3,x=-,x=1.1 22 3 43 5【總結(jié)】與中項(xiàng)距離相等的項(xiàng)的系數(shù)相等，這種方程稱為倒數(shù)方程，倒數(shù)方程有以下性質(zhì):(1)如果m是倒數(shù)方程的根，則-也是方程的根；(2)倒數(shù)方程沒有x=0的根.m

倒數(shù)方程的解法：當(dāng)最高項(xiàng)次數(shù)是偶數(shù)時(shí)，方程可變成a(%2+—)+b(%+-)+c=0的形式;%2 %當(dāng)高項(xiàng)次數(shù)是奇數(shù)時(shí)，由系數(shù)特征，則必有％=-1的根，用多項(xiàng)式(%+1)去除方程的兩邊，即可變成最高項(xiàng)次數(shù)是偶數(shù)的情況.題型五可化為一元二次方程的絕對(duì)值方程例題9解方程：%I%1-31%I+2=0【答案】(1)當(dāng)%<0時(shí)，原方程化為%2-3%-2=0,解得%=上衛(wèi)或%=3+^11(舍去);2 2(2)當(dāng)%三0時(shí)，原方程化為%2-3%+2=0，解得%=1或%=2;所述，原方程有3個(gè)解：％產(chǎn)匕上,%=1,%=2.1 2 2 3鞏固7：解方程(2%-1)2-312%-11+2=0.【答案】原方程可寫為12%-112-312%-11+2=0，令t=I2%-11,得12-3t+2=0,即(t-1)(t即(t-1)(t-2)=0，解得t=1t=2.由12%-11=1，得=1.由|2%-1|=2,.??.原方程的根為=0%=1【總結(jié)】這道題也可以用分類討論的方法，【總結(jié)】這道題也可以用分類討論的方法，根據(jù)%和1大小的來去絕對(duì)討論，熟悉將絕對(duì)值2方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程的換元法(2)|(%-2)(%+3)|=3+%鞏固8：解方程：(1)(2)|(%-2)(%+3)|=3+%【答案】(1)令2%-1=0,得%=1，以1為分界點(diǎn)把數(shù)軸劃分為兩個(gè)區(qū)間，分別求解.22①當(dāng)%<—時(shí)，則2%-1<0,原方程化為%2+2%-5=0.；.%=-1-<6或％=-1++6(舍去);2②當(dāng)%三1時(shí)，貝1|2%-1三0，原方程可以化為c2-2%-3=0，所以%=3或%=-1(舍去).2綜上所述，原方程的解為％廣-1-而，％2=3.(2)分情況討論：令(%-2)(%+3)=0得%=2或%=-3，以-3和2把數(shù)軸劃分為四個(gè)區(qū)間①當(dāng)%三2時(shí)，方程化為(%-2)(%+3)=3+%，即%2=9，解得：％=3,%=-3(舍去)；②當(dāng)-3W%<2時(shí)，方程化為-(%-2)(%+3)=3+%,即%2+2%-3=0，解得：％3=1,%4=-3；③當(dāng)%<-3時(shí)，方程化為(%-2)(%+3)=3+%,即%2=9,得%=3(舍去)，%=-3(舍去)，綜上所述，原方程的解為%1=3,%2=1,%3=-3.

題型六可化為一元二次方程的根式方程例題10解方程：(1)43x—2+%-x+3=3 (2)v,l+—+4,.—-——5=0x%x+9【答案】(1)先把一個(gè)根號(hào)移到右邊，然后兩平方，徼=1;(2)換元法，最后得到x=3.5鞏固9：解方程：(1)x++—-55x+20=2(2)22+h+x：工3=2：(3).■x—2—2..—=12x—2【答案】(1)移項(xiàng)得、：7+￥=\：5x+20+2;兩邊平方，得x+8=5x+20+4—5x+20+4,整理，得、：5x+20=-x—4;兩邊平方整理，得x2+3x—4=0,解得xi=—4,x2=1;經(jīng)檢驗(yàn)，x2=1是增根，舍去，xi=-4是原方程的根.(2)2x+1+x-3+2%'(2x+1)(x-3)=4x;x+2=2*：(2x+1)(x—3),—4是增根，舍去；x=4是原方程的根.7 24??x,x=4；經(jīng)檢驗(yàn)，x=x2+4x+4=4(2x2—5x—3)；7x2—24x—16=0—4是增根，舍去；x=4是原方程的根.7 24??x,x=4；經(jīng)檢驗(yàn)，x=2產(chǎn)—y—2=0，解之得y1=2產(chǎn)—y—2=0，解之得y1=2,y「-1;當(dāng)，解得x=10,當(dāng)y=—1時(shí)，手=-1,無實(shí)數(shù)解；經(jīng)檢驗(yàn)x=10是原方程的解.鞏固10： 解方程：＜7x2+9x+13+47x2—5x+13=7x【答案】移項(xiàng)得、7x2+9x+13=7x—77x2—5x+13,兩邊同時(shí)平方得7x2+9x+13=49x2+7x2—5x+13—14x47x2—5x+13,整理得49x2—14x=14x\：7x2—5x+13,兩邊同時(shí)除以7x(xw0),得7x—2=247x2—5x+13,兩邊同時(shí)平方得49x2—28x+4=28x2—20x+52，整理得(3x+4)(7x—12)=0,，一4 12 .... 4 12解得x=-4,x=上，經(jīng)檢驗(yàn)，x=-4是原方程的增根，則原方程的解為：x=上.1327 3 7題型七一元二次方程的判別式例題11(1)若關(guān)于x的一元二次方程(k—1)x2+x—4=0有實(shí)根，則k的取值范圍為(2)關(guān)于x的一元二次方程(1—2k)x2—2、：工71x—1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍.(3)當(dāng)a、b為何值時(shí)，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有實(shí)根？4(k+1)+4(1—2k)>0(2)-1Wk<2且kw1,由題意，得\++1>0 ，解得—1Wk<2且kw1;2 、1-2kw0 2(3)要使關(guān)于%的一■元二次方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有實(shí)根，則必有△，0，即4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)三0,得(a+2b)2+(a-1)2<0?又因?yàn)?a+2b)2+(a-1)2>0，所以(a+2b)2+(a-1)2=0，得a=1,b=——?2【點(diǎn)評(píng)】這道題(1)(2)主要是結(jié)合一元二次方程的定義和判別式與根的關(guān)系的考察，(3)把判別式和平方的非負(fù)性結(jié)合起來考查.鞏固11： 在等腰△ABC中，ZA、/B、/C的對(duì)邊分別為a、b、如已知a=3，b和c是關(guān)于x的方程x2+mx+2-1m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長.2一，1、當(dāng)b=c時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△=m2-42--m=0,I2J/.m=-4,m=2.若m=-4，原方程化為x2-4x+4=0，則x=x=2，即b=c=2,/.△ABC的周長為2+2+3=7.若m=2，原方程化為x2+2x+1=0，則x=x=-1,舍去TOC\o"1-5"\h\z1 - 22當(dāng)a=b或a=c時(shí)，x=3是方程的一■個(gè)根，貝U9+3m+2-m=0，貝Um=—-,5一一一. 22 21 .一 7 7 37原方程化為x2-二x+4=0，解得x=3,x=',???^ABC的周長為3+3+7=37.5 5 1 25 5 5綜上所述，△ABC的周長為7或衛(wèi).5【總結(jié)】這道題主要考察學(xué)生們的分類討論能力，應(yīng)對(duì)多種情況是要理清思路.題型八一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例題12(1)一元二次方程ax2+2ax+c=0的一根\=2，則方程的另一根x廣(2)已知x1,x2是方程x2-3x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則：①x12+x22:②(x1-2).(x「2)；TOC\o"1-5"\h\zZ-X 小xx4 公 z-x1 1③x2+x-x+x2:④r+r:⑤x-x:⑥x2-x2;⑦ .122xx1 2 1 2xx1 2 1 2-4；x2+x2=(x+x)2-2x-x=32-2x1=7,(x1-2)?(x2-2)=x/x2-2(x1+x2)+4=1-2x3+4=-1,x2+x?x+x2=(x+x)2-x?x=9-1=8,

(%一%)2=(%+%)2-4%,%=32—4x1=5，?二x一x=±\5,11 %11 %-%—— =-2 T%% %%/.%2-%2=(%+%)(%-%)=3x(±45)=±3而,鞏固12： (1)若m,n是方程%2+%-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+2m+n-1的值為(2)已知a,b是方程%2+2%-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2-ab+3a+b的值為(3)已知m、n是方程%2+2016%+7=0兩個(gè)根，貝U(m2+2015m+6)(n2+2017n+8)=(1)Vm,n是方程%2+%-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，；.m+n=-1,m2+m-1=0,貝1」原式=(m2+m-1)+(m+n)=-1=-1,(2)Va是方程%2+2%-5=0的實(shí)數(shù)根，；.a2+2a-5=0，,a2=5-2a,；.a2-ab+3a+b=5-2a-ab+3a+b=a+b-ab+5,:a,b是方程%2+2%-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，???a+b=-2,ab=-5,Aaz-ab+3a+b=-2+5+5=8(3)Vm、n是方程%2+2016%+7=0的兩個(gè)根，；.m+n=-2016,mn=7;???m2+2016m+7=0,n2+2016n+7=0,(m2+2015m+6)(n2+2017n+8)=(m2+2016m+7-m-1)(n2+2016n+7+n+1)=-(m+1)(n+1)=-(mn+m+n+1)=-(7-2016+1)=2008鞏固13： (1)已知關(guān)于%的方程%2+(2k-3)%+k2-3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%1,%-且%+%=—I，求k值.1 2 % %(2)已知%1,%2是方程4a%2-4a%+a+4=0的兩實(shí)根，是否能適當(dāng)選取a的值，使得(%-2%)(%-2%)的值等于—.1 2 2 1 4(1)二?方程%2+(2k-3)%+k2-3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%1,%2,7???△=(2k-3)2-4(k2-3)=21-12k三0得：kW—?4由韋達(dá)定理得,%1+%2=-(2k-3)由韋達(dá)定理得,%-%=k2-312?， 1,1.?， 1,1.%+%=—+ ,1 2%1 %2. %+%..%+%= 21 2 %%12,%+%=0或%%=1,.. 3一一37一一3一當(dāng)%+%=0時(shí)，3-2k=0,k=3，:k=巳＜7,所以k=3符合題意.12 2 24 2當(dāng)XX=1時(shí)，k2-3=1,k=±2，,:k<-，,k=2舍去????k的值為-或—2.TOC\o"1-5"\h\z12 4 2(2)顯然awO由△="a2-16a(a+4)>0得a<0,由韋達(dá)定理知x+x=1,xx=a4~~,所以(x-2x)(x-2x)=5xx-2(x2+x2)=9xx-2(x+x)2="a+：)-2=a+兆12 2 1 12 1 2 12 1 2 4a 4a若有(x-2x)(x-2x)=—,貝1@+兆=2,1 22 14 4a4/.a=9，這與a<0矛盾，故不存在a,使(x-2x)?(x-2x)=—.12214【總結(jié)】這道題主要鍛煉孩子們的過程，以及有兩個(gè)實(shí)根，解出來別忘了限制條件，這種類型的題比較常見，一定不要忽視A的限定條件以及用韋達(dá)定理可得到的限定條件.題型九一元二次方程的公共根例題13一元二次方程x2-2x-5=0的某個(gè)根，也是一元二次方程x2-(k+2)x+9=0的44根，則k的值為【答案】由題意x2-2X-5=0，解得x=5,x=-LTOC\o"1-5"\h\z12229 7當(dāng)x=5是方程X2-(k+2)X+=0的根時(shí)，解得k=7,4 51 “ ?9c當(dāng)X=-1是方程X2-(k+2)X+=0的根時(shí)，解得k=-7,24綜上，k=7或-75鞏固14： 已知m為非負(fù)實(shí)數(shù)，當(dāng)m=時(shí)，關(guān)于x的方程x2+mx-1=0與X2+x+m-2=0僅有一個(gè)相同的實(shí)根.【答案】設(shè)相同的根為a，則由題意我們有f2+ma-1=0 .a2+a+m-2=0所以a2+ma-1=a2+a+m-2.即(m-1)a=m-1.(1)當(dāng)mw1時(shí)，a=1,代入原方程求為=0,方程為X2-1=0與X2+X-2=0，滿足題意；(2)m=1時(shí)，代入原方程，兩方程均為x2+x-1=0，解得x=-1±K,2即它們的兩根都相同，不合題意，舍去，故只有當(dāng)m=0時(shí)，兩方程僅有一個(gè)相同的實(shí)根.鞏固15： (1)求k的值，使得關(guān)于％的一元二次方程12+kx-1=0,X2+X+(k-2)=0有相同的根，并求兩個(gè)方程的根.(2)已知X1為方程X2+kx-2=0的根，X2為方程2X2+7kx+3=0的根，且q=2x/求k的值.【答案】(1)不妨設(shè)。是這兩個(gè)方程相同的根，由方程根的定義有a2+ka-1=0 ①， a2+a+(k-2)=0②.①-②有，ka-1-a-(k-2)=0,即(k-1)(a-1)=0，,k=1,或a=1.當(dāng)k=1時(shí)，兩個(gè)方程都變?yōu)閄2+X-1=0,/-??.兩個(gè)方程有兩個(gè)相同的根X=-1±"5，沒有相異的根;1，2 2當(dāng)a=1時(shí)，代入①或②都有k=0，此時(shí)兩個(gè)方程變?yōu)閤2-1=0,x2+x-2=0.解這兩個(gè)方程，x2-1=0的根為x1=1,x2=-1;x2+x-2=0的根為x1=1,X2=-2.X=1為兩個(gè)方程的相同的根，綜上X2-1=0的根為X=1,X=-1；x2+x-2=0的根為x=1,x=-2.(2)由已知可知xj+kx1-2=0和2x22+7kx2+3=0.又q=2x2，貝ij4xj+2kx2-2=0,即2xj+kx2-1=0,5TOC\o"1-5"\h\z消去二次項(xiàng)可解得kx=——.代入2x2+7kx+3=0，整理得x2=—,2 3 2 2 2 6.. 2-30此時(shí)k=± ，考慮兩個(gè)方程的判別式：A=k2+8>0,A=49k2-24>0,15 1.?.k2三竺，k=±也滿足k2三"，k=±也.49 15 49 15【點(diǎn)評(píng)】在這個(gè)公共解中，對(duì)于這種兩個(gè)方程均含有參數(shù)值k，通常情況下可以分三步：1設(shè)2代3消.這種問題考察起來通常較難。題型十一元二次方程的整數(shù)根例題14已知關(guān)于x的方程(4-k)(8-k)x2-(80-12k)x+32=0的解都是整數(shù)，求整數(shù)k值【答案】①當(dāng)k=4時(shí)，原方程化為-32x+32=0，解得x=1,故當(dāng)k=4時(shí)，解都是整數(shù).②當(dāng)k=8時(shí)，原方程化為16x+32=0，解得x=-2，故當(dāng)k=2時(shí)，原方程的解都是整數(shù).③當(dāng)k。4或k。8時(shí)，原方程可化為[(4-k)x-8][(8-k)x-4]=0,8-kk為整數(shù)，且x「x之均為整數(shù)，.?.4-k=±1,±2,±4,±8,得k=3,5,2,6,0,8,-4,12,8-k=±1,±2,±4，得k=7,9,6,10,12,4.故當(dāng)k的值為4,6,8,12時(shí)，原方程的根都為整數(shù).【總結(jié)】這個(gè)題由于含有參數(shù)，因此運(yùn)用了因式分解的方法，并且都進(jìn)行了討論，如果含參方程沒有告訴是什么類型方程，一定要記得分類討論.鞏固16： 當(dāng)m是何整數(shù)時(shí)，關(guān)于％的一元二次方程mx2-4x+4=0與x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整數(shù).【答案】由題意可知，方程mx2-4x+4=0的判別式A=(-4)2-16m=16(1-m)>0nm<1,1方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的判別式為A=(4m)2-4(4m2-4m-5)=4(4m+5)>0,故m>--，又m為整數(shù)，mw0，故m=-1或m=1,4當(dāng)m=1時(shí)，題干中的兩個(gè)方程分別為x2-4x+4=0、x2-4x-5=0，滿足題意；當(dāng)m=-1時(shí)，題干中的兩個(gè)方程分別為x2+4x-4=0、x2+4x+3=0，不合題意.故m=1.鞏固17: (1)當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程x2-(m-1)x+m+1=0兩根都是整數(shù)?(2)已知關(guān)于x的方程x2+(a-6)x+a=0的兩根都是整數(shù)，求a的值.Ix+x=m-1【答案】(1)設(shè)方程的兩整數(shù)根分別是x,x。，由韋達(dá)定理得：411 2 Ixx=m+1v12從上面兩式中消去m,可得xx-x-x=2,(x-1)(x-1)=3=1x3=-1x(-3)Ix-1=1 Ix-1=-1 I x=2 Ix=0則有\(zhòng)1或\1 ，解得：\1或\1Ix-1=3 Ix-1=-3 I x=4 Ix=-2v2 v 2 v 2 v2由此x-x=8或0,所以m=xx-1=-1或7.(2)設(shè)兩個(gè)根為x>x，由韋達(dá)定理得［x1+x2=6-1 2 Ixx=a112從上面兩式中消去a得xx+x+x=6，所以(x+1)(x+1)=7,?Ix+1=7 Ix+1=-1 Ix=6 Ix=-2所以J1或J1.即s1或s1 .所以a=xx=0或16.Ix+1=1Ix+1=-7Ix=0Ix=-8 12v2 v2 v2v2【總結(jié)】這道題主要用韋達(dá)定理去解決整數(shù)根問題，本質(zhì)是得到關(guān)于兩根的不定方程.這道題也可利用判別式的方法去解，但是在用判別式的方法解之前，需要先說明a、m為整數(shù).在此處老師們可以引入：ab+a+b+1=(a+1)(b+1),ab—a—b+1=(a-1)(b-1)；對(duì)于實(shí)數(shù)參問題可以考慮使用韋達(dá)定理去消參進(jìn)行求解.鞏固18： 當(dāng)m為何整數(shù)時(shí)，方程2%2-5mx+2m2=5有整數(shù)解.【答案】解法1:將方程2x2-5mx+2m2=5左邊因式分解可得(2x-m)(x-2m)=5,,[2x-m=5f2x-m=1 f2x-m=-5 f2x-m=-1故〈 ，或〈 ，或〈 ，或〈 ，[x-2m=1 1x-2m=5 1x-2m=-1 1x-2m=-5x=3 [x=-1 [ x =-3m=1Im=-3'Im=-1解得x=1m=3故m=±1或m=±3.解法2:將方程2x2-5mx+2m2=5整理成標(biāo)準(zhǔn)形式：2x2-5mx+2m2-5=0,由原方程有整數(shù)解，首先必須滿足A=(5m)2-4x2x(2m2-5)=9m2+40為一個(gè)完全平方數(shù)，不妨設(shè)A=n2(n>0),則有9m2+40=n2n(3m-n)(3m+n)=-40,又3m-n、3m+n的奇偶性相同，且3m-n<3m+n(由于n>0).3m-n=-2 13m-n=-4 13m-n=-103m+n=20’[3m+n=10'[3m+n=4 'm=3 1m=-1 ]m=1 1m=-3n=11，[n=7，[n=7，[n=11則有解得3m-n=-203m+n=2代入5m>"'△=網(wǎng)生中檢驗(yàn)可知，均滿足題意.2x2 4故m=±1或m=±3.【點(diǎn)評(píng)】這道題首先可以使用因式分解來做，但是這里主要提出用判別式法去求整數(shù)解問題，讓孩子們感受下不同方法間的不同技巧.題型十一 利用根的定義構(gòu)造方程例題15若ab手1,且5a2+2001a+9=0,9b2+2001b+5=0，貝Ua+a+1b.(填小數(shù)形式）由9b2+2001b+5=0得，5—+20011+9=0，又5a2+2001a+9=0,

b2 b所以a,1可以看作是方程5x2+2001x+9=0的兩個(gè)根.b由韋達(dá)定理，得：a-1ba92001ab+a+1故 1992——=-398.4.鞏固19：(1)a,b是不相等的實(shí)數(shù)，且a2+a-1=0,b2+b-1=0，求a2b+ab鞏固19：(2)如果實(shí)數(shù)a,b分別滿足a2+2a=2,b2+2b=2，求1+1的值.ab(1)由根的定義，知a,b為一元二次方程12+%-1=0的兩個(gè)根.由韋達(dá)定理知a+b=-1,ab=-1，于是a2b+ab2=ab(a+b)=1.(2)由題意知：a,b為方程12+2%-2=0的兩個(gè)根，且aw0,bw0,解方程12+21-2=0，得：1=-1+出,i=-1一出,①當(dāng)a豐b時(shí)，有a+b=-2,ab=-2，?>—+—=a+==—=1;abab-2②當(dāng)a=b時(shí)，方程的根為1=-1+^3,1=-1-43.當(dāng)a=b=-1+<3時(shí)，.\—+—=—=—=--=<3+1;aba<3-1當(dāng)a=b=-1-'-'3時(shí)，.\—+-=—=—-=—=1-<3.aba—33—1綜上所述，1+1=1或<3+1或1-丫3.ab【點(diǎn)評(píng)】通過這道題，讓孩子們深刻理解如何利用根的定義去構(gòu)造方程，而且要理解這兩道?？碱}型的區(qū)別，抓住題目給出的條件，根據(jù)條件去決定這道題需不需要討論.通過這道題，也加深孩子們對(duì)于分類討論思想的理解.鞏固20： (1)已知p2-p-1=0，1-q-q2=0，且pq。1，求p+1的值.q(2)實(shí)數(shù)s,t滿足19s2+99s+1=0,12+99t+19=0且stw1,求‘s”s+1的值.t(3)實(shí)數(shù)p,q滿足p2-2p-5=0,5q2+2q-1=0且pq。1,求p2+—的值.q2qW0，又pqW1⑴由p2-p-1=0,1-q-q2=0qW0，又pqW1… 一一…門121 , 一一1TOC\o"1-5"\h\z則1-q—q2=0可變形為———-1=0.由p2-p-1=0及pw—,IqJq q可知p與,是方程12-1-1=0的根，因此p+—=1.qq.、.一 一. 一門V 1(2)由12+991+19=0可知，tW0，故19一+