第30講 解直角三角形

解直角三角形

第30講考點1.銳角三角函數(shù)的概念正弦：把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作

余弦：把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作

正切：把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作

銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).對這些關(guān)系式要學會靈活變式運用其中0＜sinA＜1,0＜cosA＜1,tanA＞0,cotA＞0BAC斜邊c鄰邊b對邊a余切：把銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作

增大

減小

同一銳角的正弦值和余弦值之間的關(guān)系是：正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值.即sinA＝cos（90°一A）＝cosBcosA＝sin（90°一A）＝sinB思考：同一個銳角的正弦值和余弦值之間有何關(guān)系？ABC2．三角函數(shù)的關(guān)系式：(1)同角關(guān)系：sin2A＋cos2A＝________；tanA＝________；(2)互余關(guān)系：sinA＝cos(90°－A)；cosA＝sin(90°－A)．1ABC300600ABC450sin300=_____sin450=_____sin600=_____cos300=_____cos450=_____cos600=_____tan300=_____tan450=_____tan600=_____cot300=_____cot450=_____cot600=_____1

1

考點2特殊角的三角函數(shù)值考點3.解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形.1.什么叫解直角三角形？2.直角三角形中的邊角關(guān)系：∠A十∠B＝90°歸納：只要知道其中的2個元素（至少有一個是邊），就可以求出其余3個未知元素.（1）三邊關(guān)系：（勾股定理）（2）兩銳角的關(guān)系：（3）邊角的關(guān)系：

sin2A+cos2A=1

tanA·cotA=13．解直角三角形的一般方法：(1)已知兩邊，先用勾股定理求第三邊，再利用三角函數(shù)求兩個銳角的度數(shù)；(2)已知一個銳角和一邊，先用互余關(guān)系求另一個銳角，再利用三角函數(shù)求出另兩邊．注意：(1)當已知條件或待求量中有斜邊時用正弦或余弦，無斜邊時用正切；(2)當原始數(shù)據(jù)和中間數(shù)據(jù)均可參與運算時，用原始數(shù)據(jù)．這樣可以避免“累積誤差”；(3)如果已知直角三角形的中線、高、角平分線、周長、面積等時，一般可將這些元素轉(zhuǎn)化為三角形中的元素或元素間的關(guān)系式，通過解直角三角形來進行求解．考點4.解直角三角形的應(yīng)用1.仰角和俯角在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.鉛直線水平線視線視線仰角俯角坡度（坡比）：坡面的鉛直高度h和水平距離l的比叫做坡度，用字母i表示，則2.坡度、坡角坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母α表示.hl坡度通常寫成的形式.3．方向角：如圖7－32－4，點A位于點O的北偏西30°方向；點B位于點O的南偏東60°方向．圖7－32－4·華師大版解：原式=2×+1×=1+(1).計算2sin30°+tan45°×cos60°=步驟：一“代”二“算”(2).若，則銳角α=30°點撥：本題是由特殊角的三角函數(shù)值求角度，首先將原式變形為tanα=，從而求得α的度數(shù).練習·華師大版C·華師大版·華師大版變式題

[2014?濟寧]如圖7－32－12，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，則AB的長為________．圖7－32－128．如圖7－32－9，一堤壩的坡角∠ABC＝62°，坡面長度AB＝25米(圖為橫截面)，為了使堤壩更加牢固，一施工隊欲改變堤壩的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，則此時應(yīng)將壩底向外拓寬多少米？(結(jié)果保留到0.01米，參考數(shù)據(jù)：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20)圖7－32－9第32課時解直角三角形及其應(yīng)用?類型之三直角三角形中仰角與俯角的應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用圖7－32－14第32課時解直角三角形及其應(yīng)用變式題5

[2014·襄陽]

如圖7－32－15，在建筑平臺CD的頂部C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45°，測得大樹AB的底部B的俯角為30°，已知平臺CD的高度為5m，則大樹的高度為________m(結(jié)果保留根號)．圖7－32－15?類型之三直角三角形中仰角與俯角的應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用?類型之四直角三角形中坡度與坡角的應(yīng)用[考點]

直角三角形中坡度與坡角的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)．[分析]可用不同方法解決．法一，由坡比可知∠A＝30°，則AB＝2BC；法二，利用坡比先求出AC的長，再利用勾股定理求出AB.[點評]坡比就是坡角的正切值，可靈活運用解直角三角形的方法解決實際問題．[答案]B3．如圖7－32－6，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，則壩底AD的長度為(

)A．26米B．28米C．30米D．46米圖7－32－6圖7－32－6D?類型之五直角三角形中方位角的應(yīng)用海中有一個小島P，它的周圍18海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點A測得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達B點，這時測得小島P在北偏東45°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁危險？請說明理由．D分析：作PD⊥BC，設(shè)PD=x,則BD=x,AD=x+12,根據(jù)AD=PD,得x+12=x,求出x的值,再比較PD與18的大小關(guān)系.練習解：有觸礁危險.理由：過點P作PD⊥AC于D.設(shè)PD為x，在Rt△PBD中，∠PBD=90°－45°＝45°．∴BD＝PD＝x,AD=12+x.在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有觸礁危險．D第32課時解直角三角形及其應(yīng)用易錯題探究例1如圖7－32－20，我國甲、乙兩艘海監(jiān)執(zhí)法船某天在某小島D處附近海域巡航，某一時刻這兩艘船分別位于該島正西方向的A處和正東方向的B處，這時兩船同時接到立即趕往C處海域巡查的任務(wù)，并測得C處位于A處北偏東59°方向、位于B處北偏西44°方向．若甲、乙兩船分別沿AC，BC方向航行，其平均速度分別是20海里/時，18海里/時，試估算哪艘船先趕到C處．(參考數(shù)據(jù)：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72)

第32課時解直角三角形及其應(yīng)用圖7－32－20第32課時解直角三角形及其應(yīng)用[分析]運用解直角三角形知識解決實際問題的關(guān)鍵是正確地把實際問題抽象成幾何圖形，建立數(shù)學模型，構(gòu)造直角三角形，通過解直角三角形來解決問題．第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用[易錯分析]

不能正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，混淆特殊角的三角函數(shù)值．第32課時解直角三角形及其應(yīng)用┃考題回歸教材┃熱氣球測樓高教材母題——人教版九下P75例4熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高(結(jié)果取整數(shù))?第32課時解直角三角形及其應(yīng)用[點析]通過作垂線將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，然后利用解直角三角形的知識來解決，這是解此類問題的常規(guī)思路．第32課時解直角三角形及其應(yīng)用[解析]我們知道，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角．因此，α＝30°，β＝60°.在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知識求出BD；類似地可以求出CD，進而求出BC.第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用┃聚焦廣西中考┃C第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用第32課時解直角三角形及其應(yīng)用6．如圖7－32－27，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有