第8章 不確定性知識的表示與推理

第8章不確定性知識的表示與推理8.1不確定性處理概述

8.2幾種經(jīng)典的不確定性推理模型

8.3基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的概率推理

8.4基于模糊集合與模糊邏輯的模糊推理

8.1不確定性處理概述

由于客觀世界的復(fù)雜、多變性和人類自身認(rèn)識的局限、主觀性，致使我們所獲得、所交流、所處理的信息和知識中，往往含有不肯定、不可靠、不準(zhǔn)確、不精確、不嚴(yán)格、不嚴(yán)密、不完全甚至不一致的成分。習(xí)慣上將這些信息特征統(tǒng)稱為不確定性。按性質(zhì)分類（狹義）不確定性不確切性（模糊性）不完全性不一致性8.1不確定性處理概述

8.1.1不確定性及其類型

1.(狹義)不確定性

不確定性(uncertainty)就是一個命題(亦即所表示的事件)的真實性不能完全肯定,而只能對其為真的可能性給出某種估計。

例如:如果烏云密布并且電閃雷鳴,則很可能要下暴雨。如果頭痛發(fā)燒,則大概是患了感冒。

就是兩個含有不確定性的命題。

當(dāng)然,它們描述的是人們的經(jīng)驗性知識。

2.不確切性(模糊性)

不確切性(imprecision)就是一個命題中所出現(xiàn)的某些言詞其涵義不夠確切,從概念角度講,也就是其代表的概念的內(nèi)涵沒有硬性的標(biāo)準(zhǔn)或條件,其外延沒有硬性的邊界,即邊界是軟的或者說是不明確的。例如,小王是個高個子。張三和李四是好朋友。如果向左轉(zhuǎn),則身體就向左稍傾。

把涵義不確切的言詞所代表的概念稱為軟概念。

3.不完全性

不完全性就是對某事物來說,關(guān)于它的信息或知識還不全面、不完整、不充分。例如,在破案的過程中,警方所掌握的關(guān)于罪犯的有關(guān)信息,往往就是不完全的。但就是在這種情況下,辦案人員仍能通過分析、

推理等手段而最終破案。

4.不一致性

不一致性就是在推理過程中發(fā)生了前后不相容的結(jié)論;或者隨著時間的推移或者范圍的擴(kuò)大,原來一些成立的命題變得不成立、不適合了。例如,牛頓定律對于宏觀世界是正確的,但對于微觀世界和宇觀世界卻是不適合的。

8.1.2不確定性知識的表示及推理對于不確定性知識,表示的關(guān)鍵是如何描述不確定性。一般是把不確定性用量化的方法加以描述,而其余部分的表示模式與前面介紹的(確定性)知識基本相同。對于不同的不確定性,人們提出了不同的描述方法和推理方法。狹義不確定性一般采用概率或信度來刻劃。一個命題的信度是指該命題為真的可信程度,例如,

(這場球賽甲隊取勝,0.9)

一般地,我們將不確定性產(chǎn)生式規(guī)則表示為

A→(B,C(B|A))(8-1)其中C(B|A)表示規(guī)則的結(jié)論B在前提A為真的情況下為真的信度。采用上式,可表示為

如果烏云密布并且電閃雷鳴,則天要下暴雨(0.95)。如果頭痛發(fā)燒,則患了感冒(0.8)。

信度可視為前提與結(jié)論之間的一種關(guān)系強(qiáng)度，是基于概率的一種度量信度可以用概率直接來表示。C（B|A）=P（B|A）在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中直接以概率作為信度。信度也可以是基于概率的某種度量。在著名的專家系統(tǒng)MYCIN中，采用的是CF模型。不確定性推理的一般模式不確定性推理＝符號推演＋信度計算不確定性推理與通常的確定性推理的差別：(1)不確定性推理中規(guī)則的前件能否與證據(jù)事實匹配成功，不但要求兩者的符號模式能夠匹配（合一），而且要求證據(jù)事實所含的信度必須達(dá)“標(biāo)”，即必須達(dá)到一定的限度。這個限度一般稱為“閾值”。(2)不確定性推理中一個規(guī)則的觸發(fā)，不僅要求其前提能匹配成功，而且前提條件的總信度還必須至少達(dá)到閾值。(3)不確定性推理中所推得的結(jié)論是否有效，也取決于其信度是否達(dá)到閾值。(4)不確定性推理還要求有一套關(guān)于信度的計算方法，包括“與”關(guān)系的信度計算、“或”關(guān)系的信度計算、“非”關(guān)系的信度計算和推理結(jié)果信度的計算等等。8.1.3不確切性知識的表示及推理關(guān)于不確切性知識,現(xiàn)在一般用模糊集合與模糊邏輯的理論和方法建模。然而,我們發(fā)現(xiàn),對于有些問題也可用程度化的方法來處理。所謂程度就是一個命題中所描述事物的特征(包括屬性、狀態(tài)或關(guān)系等)的強(qiáng)度。程度化方法就是給相關(guān)語言特征值(簡稱語言值)附一個稱為程度的參數(shù),以確切刻畫對象的特征。例如,用刻畫一個人“胖”的程度。

(胖,0.9)這種附有程度的語言值稱為程度語言值。

其一般形式為

(LV,d)其中,LV為語言值,d為程度,即

(<語言值>,<程度>)程度語言值實際是通常語言值的細(xì)化,其中的<程度>一項是對對象所具有的屬性值的精確刻畫。至于程度如何取值,可因具體屬性和屬性值而定。程度的取值范圍為實數(shù)區(qū)間［α,β］(α≤0,β≥1)。

1.程度元組一般形式如下:

(<對象>,<屬性>,(<語言屬性值>,<程度>))

例8.1

我們用程度元組將命題“這個蘋果比較甜”表示為

(這個蘋果,味道,(甜,0.95))其中的0.95就代替“比較”而刻畫了蘋果“甜”的程度。

2.程度謂詞謂詞也就是語言值。按照前面程度語言值的做法,我們給謂詞也附以程度,即細(xì)化為程度謂詞,以精確刻畫相應(yīng)個體對象的特征。

根據(jù)謂詞的形式特點,我們將程度謂詞書寫為

Pd

或

dP其中,P表示謂詞,d表示程度;Pd為下標(biāo)表示法,dP為乘法表示法。

例8.2

采用程度謂詞,則(1)命題“雪是白的”可表示為

white1.0(雪)或1.0white(雪)(2)命題“張三和李四是好朋友”可表示為

friends1.15(張三,李四)或

1.15friends(張三,李四)

3.程度框架含有程度語言值的框架稱為程度框架。例8.3

下面是一個描述大棗的程度框架?？蚣苊?<大棗>

類屬:(<干果>,0.8)

形狀:(圓,0.7)

顏色:(紅,1.0)

味道:(甘,1.1)

用途:范圍:(食用,藥用)

缺省:食用

4.程度語義網(wǎng)含有程度語言值的語義網(wǎng)稱為程度語義網(wǎng)。例8.4

圖8-1所示是一個描述狗的程度語義網(wǎng)。

圖

8-1程度語義網(wǎng)示例

5.程度規(guī)則含有程度語言值的規(guī)則稱為程度規(guī)則。

其一般形式為

(Oi,Fi,(LVi,xi))→(O,F,(LV,D(x1,x2,…,xn)))(8-2)其中，Oi,O表示對象，F(xiàn)i,F表示特征，LVi,LV表示語言特征值，x,D(x1,x2,…,xn

)表示程度，D(x1,x2,…,xn

)為x1,x2,…,xn

的函數(shù)。我們稱其為規(guī)則的程度函數(shù)。

例8.5

設(shè)有規(guī)則:如果某人鼻塞、頭疼并且發(fā)高燒,則該人患了重感冒。我們用程度規(guī)則描述如下:

(某人,癥狀,(鼻塞,x))∧(某人,癥狀,(頭疼,y))∧(患者,癥狀,(發(fā)燒,z))→

(該人,患病,(感冒,1.2(0.3x+0.2y+0.5z)))程度規(guī)則的關(guān)鍵是程度函數(shù)。一個基本的方法就是采用機(jī)器學(xué)習(xí)(如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí))。這需要事先給出一些含有具體程度值的實例規(guī)則,學(xué)習(xí)作為樣本。

同一般的確切推理相比,多了一個程度計算的手續(xù)。程度推理的一般模式為

程度推理＝符號推演＋程度計算

程度推理也應(yīng)該有程度閾值,在推理過程中,規(guī)則的前件要與證據(jù)事實匹配成功,不但要求兩者的符號模式能夠匹配(合一),而且要求證據(jù)事實所含的程度必須達(dá)到閾值;所推得的結(jié)論是否有效,也取決于其程度是否達(dá)到閾值。

程度語言值中的程度也可以轉(zhuǎn)化為命題的真度。例如,把命題“小明個子比較高”用程度元組表示為

(小明,身高,(高,0.9))這里的0.9是小明高的程度。

但也可以表示為

((小明,身高,高),真實性,(真,0.9))這里的0.9是命題“小明個子高”的真實程度,即真度。8.1.4多值邏輯通常所使用的邏輯是二值邏輯。即對一個命題來說,它必須是非真即假,反之亦然。但現(xiàn)實中一句話的真假卻并非一定如此,而可能是半真半假,或不真不假,或者真假一時還不能確定等等。這樣,僅靠二值邏輯有些事情就無法處理,有些推理就無法進(jìn)行。于是,人們就提出了三值邏輯、四值邏輯、多值邏輯乃至無窮值邏輯。在這種三值邏輯中,命題的真值,除了“真”、“假”外,還可以是“不能判定”。

其邏輯運算定義如下：

∧TFUTFUTFUFFFUFU∨TFUTFUTTTTFUTTUP?PTFUFTU其中的第三個真值U的語義為“不可判定”,即不知道。顯然,遵循這種邏輯,就可在證據(jù)不完全不充分的情況下進(jìn)行推理。

8.1.5非單調(diào)邏輯所謂“單調(diào)”,是指一個邏輯系統(tǒng)中的定理隨著推理的進(jìn)行而總是遞增的。

現(xiàn)實世界卻是非單調(diào)的。例如,人們在對某事物的信息和知識不足的情況下,往往是先按假設(shè)或默認(rèn)的情況進(jìn)行處理,但后來發(fā)現(xiàn)得到了錯誤的或者矛盾的結(jié)果,則就又要撤消原來的假設(shè)以及由此得到的一切結(jié)論。這就說明,人工智能系統(tǒng)中就必須引入非單調(diào)邏輯。

在非單調(diào)邏輯中,若由某假設(shè)出發(fā)進(jìn)行的推理中一旦出現(xiàn)不一致,即出現(xiàn)與假設(shè)矛盾的命題,那么允許撤消原來的假設(shè)及由它推出的全部結(jié)論?；诜菃握{(diào)邏輯的推理稱為非單調(diào)邏輯推理,或非單調(diào)推理。非單調(diào)推理至少在以下場合適用：

(1)在問題求解之前,因信息缺乏先作一些臨時假設(shè),而在問題求解過程中根據(jù)實際情況再對假設(shè)進(jìn)行修正。

(2)非完全知識庫。隨著知識的不斷獲取,知識數(shù)目漸增,則可能出現(xiàn)非單調(diào)現(xiàn)象。例如,設(shè)初始知識庫有規(guī)則：x(bird(x)→fly(x))即“所有的鳥都能飛”。后來得到了事實：bird(ostrich)即“駝鳥是一種鳥”。如果再將這條知識加入知識庫則就出現(xiàn)了矛盾,因為駝鳥不會飛。這就需要對原來的知識進(jìn)行修改。(3)動態(tài)變化的知識庫。常見的非單調(diào)推理有缺省推理和界限推理。8.1.6時序邏輯對于時變性,人們提出了時序邏輯。時序邏輯也稱時態(tài)邏輯,它將時間詞(稱為時態(tài)算子,如“過去”,“將來”,“有時”,“一直”等)或時間參數(shù)引入邏輯表達(dá)式,使其在不同的時間有不同的真值。從而可描述和解決時變性問題。時序邏輯在程序規(guī)范(specifications)、程序驗證以及程序語義形式化方面有重要應(yīng)用,因而它現(xiàn)已成為計算機(jī)和人工智能科學(xué)理論的一個重要研究課題。

8.2幾種經(jīng)典的不確定性推理模型

8.2.1確定性理論確定性理論是肖特里菲(E.H.Shortliffe)等于1975年提出的一種不精確推理模型,它在專家系統(tǒng)MYCIN中得到了應(yīng)用。

1.不確定性度量

CF(CertaintyFactor),稱為確定性因子,(一般亦稱可信度),其定義為

當(dāng)P(H|E)>P(H)當(dāng)P(H|E)=P(H)當(dāng)P(H|E)<P(H)(8-3)其中,E表示規(guī)則的前提,H表示規(guī)則的結(jié)論,P(H)是H的先驗概率,P(H|E)是E為真時H為真的條件概率。

這個可信度的表達(dá)式是什么意思呢？原來,CF是由稱為信任增長度MB和不信任增長度MD相減而來的。

即

CF(H,E)＝MB(H,E)-MD(H,E)而

當(dāng)P(H)=1否則

當(dāng)P(H)=0否則當(dāng)MB(H,E)>0,表示由于證據(jù)E的出現(xiàn)增加了對H的信任程度。當(dāng)MD(H,E)>0,表示由于證據(jù)E的出現(xiàn)增加了對H的不信任程度。由于對同一個證據(jù)E,它不可能既增加對H的信任程度又增加對H的不信任程度,因此,MB(H,E)與MD(H,E)是互斥的,即當(dāng)MB(H,E)>0時,MD(H,E)＝0；當(dāng)MD(H,E)>0時,MB(H,E)＝0。下面是MYCIN中的一條規(guī)則：

如果細(xì)菌的染色斑呈革蘭氏陽性,且形狀為球狀,且生長結(jié)構(gòu)為鏈形,則

該細(xì)菌是鏈球菌(0.7)。

這里的0.7就是規(guī)則結(jié)論的CF值。最后需說明的是,一個命題的信度可由有關(guān)統(tǒng)計規(guī)律、概率計算或由專家憑經(jīng)驗主觀給出。

2.前提證據(jù)事實總CF值計算

CF(E1∧E2∧…∧En)＝min{CF(E1)，CF(E2)，…，CF(En)}CF(E1∨E2∨…∨En)＝max{CF(E1)，CF(E2)，…，CF(En)}其中E1，E2，…，En是與規(guī)則前提各條件匹配的事實。

3.推理結(jié)論CF值計算

CF(H)＝CF(H，E)·max{0，CF(E)}

其中E是與規(guī)則前提對應(yīng)的各事實，CF(H，E)是規(guī)則中結(jié)論的可信度，即規(guī)則強(qiáng)度。

4.重復(fù)結(jié)論的CF值計算若同一結(jié)論H分別被不同的兩條規(guī)則推出,而得到兩個可信度CF(H)1和CF(H)2,則最終的CF(H)為

CF(H)1＋CF(H)2－CF(H)1·CF(H)2

當(dāng)CF(H)1≥0，且CF(H)2≥0CF(H)=CF(H)1＋CF(H)2＋CF(H)1·CF(H)2

當(dāng)CF(H)1＜0，且CF(H)2＜0CF(H)1＋CF(H)2

否則（8-7）

例8.6設(shè)有如下一組產(chǎn)生式規(guī)則和證據(jù)事實，試用確定性理論求出由每一個規(guī)則推出的結(jié)論及其可信度。規(guī)則:①ifAthenB(0.9)②ifBandCthenD(0.8)③ifAandCthenD(0.7)④ifBorDthenE(0.6)事實:A，CF(A)=0.8;C，CF(C)=0.9解規(guī)則①得:CF(B)＝0.9×0.8＝0.72

由規(guī)則②得:CF(D)1＝0.8×min{0.72，0.9)＝0.8×0.72＝0.576

由規(guī)則③得:CF(D)2＝0.7×min{0.8，0.9)＝0.7×0.8＝0.56

從而CF(D)＝CF(D)1＋CF(D)2－CF(D)1×CF(D)2

＝0.576＋0.56－0.576×0.56＝0.32256

由規(guī)則④得:

CF(E)＝0.6×max{0.72，0.32256}＝0.6×0.72＝0.432課堂練習(xí)：P180：習(xí)題八-7題設(shè)有如下一組規(guī)則：R1:ifE1thenE2(0.6)R2:ifE2andE3thenE4(0.8)R3:ifE4thenH(0.7)R4:ifE5thenH(0.9)且已知 CF(E1)=0.5,CF(E3)=0.6,CF(E5)=0.4用確定性理論求CF(H).8.2.2主觀貝葉斯方法

主觀貝葉斯方法是R.O.Duda等人于1976年提出的一種不確定性推理模型,并成功地應(yīng)用于地質(zhì)勘探專家系統(tǒng)PROSPECTOR。主觀貝葉斯方法是以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ),將貝葉斯(Bayesian)公式與專家及用戶的主觀經(jīng)驗相結(jié)合而建立的一種不確定性推理模型。其核心思想是：

Ⅰ.根據(jù)證據(jù)的概率P(E);Ⅱ.利用規(guī)則的（LS，LN）；LS：E的出現(xiàn)對H的支持程度，LN：E的出現(xiàn)對H的不支持程度。Ⅲ.把結(jié)論H的先驗概率更新為后驗概率P(H|E)；Ⅳ.循環(huán)

在PROSPECTOR中,規(guī)則一般表示為

ifE

then(LS,LN)H(P(H))或者為

其中,E為前提(稱為證據(jù));H為結(jié)論(稱為假設(shè));P(H)為H為真的先驗概率;LS,LN分別為充分似然性因子和必要似然性因子,其定義為(8-8)1.不確定性度量

主觀貝葉斯方法的不確定性度量為概率P(x),有三個輔助度量:

LS,LN和O(x),分別稱充分似然性因子、必要似然性因子和幾率函數(shù)。(8-9)前者刻畫E為真時對H的影響程度,后者刻畫E為假時對H的影響程度。另外,幾率函數(shù)O(x)的定義為(8-10)它反映了一個命題為真的概率(或假設(shè)的似然性(likelihood))與其否定命題為真的概率之比,其取值范圍為［0,+∞］。

在主觀Bayes方法的知識表示中，P(H)是專家對結(jié)論H給出的先驗概率，它是在沒有考慮任何證據(jù)的情況下根據(jù)經(jīng)驗給出的。隨著新證據(jù)的獲得，對H的信任程度應(yīng)該有所改變。主觀Bayes方法推理的任務(wù)就是根據(jù)證據(jù)E的概率P(E)及LS,LN的值，把H的先驗概率P(H)，更新為后驗概率P(H/E)或P(H/E)。

即：

P(H)P(H/E)或P(H/E)

P(E)LS,LN(1)證據(jù)肯定存在的情況證據(jù)肯定存在時，P(E)=P(E/S)=1

由Bayes公式得：

P(H/E)=P(E/H)P(H)/P(E)①

同理有：

P(H/E)=P(E/H)P(H)/P(E)②

①除以②，得：

P(H/E)P(E/H)P(H)

P(H/E)P(E/H)P(H)

③

LS=O(H)O(H/E)其中O(H)為引入的幾率函數(shù)，它與概率的關(guān)系為O(x)與P(x)的單調(diào)性相同。由③式可得：

O(H/E)=LS×O(H)由③式及“非”運算P(H/E)=1–P(H/E),得：O(x)=P(x)1－P(x)P(H/E)=

LSP(H)(LS–1)P(H)+1由O(H/E)=LS×O(H)不難看出：

LS>1當(dāng)且僅當(dāng)O(H|E)>O(H),說明E以某種程度支持H;LS<1當(dāng)且僅當(dāng)O(H|E)<O(H),說明E以某種程度不支持H;

LS=1當(dāng)且僅當(dāng)O(H|E)=O(H),說明E對H無影響。

(2)

證據(jù)肯定不存在的情況

證據(jù)肯定不存在時，P(E)=P(E/S)=0，P(E)=1。由Bayes公式得：

P(H/E)=P(E/H)P(H)/P(E)①

同理有：

P(H/E)=P(E/H)P(H)/P(E)②

①除以②，得：P(H/E)P(E/H)P(H)

P(H/E)P(E/H)P(H)③=LNO(H)O(H/E)由③式可得：

O(H/E)=LN×O(H)由③式及“非”運算P(H/E)=1–P(H/E),得：P(H/E)=LNP(H)(LN–1)P(H)+1由O(H/E)=LN×O(H)不難看出：

LN>1當(dāng)且僅當(dāng)O(H|E)>O(H),說明E以某種程度支持H;

LN<1當(dāng)且僅當(dāng)O(H|E)<O(H),說明E以某種程度不支持H;

LN=1當(dāng)且僅當(dāng)O(H|E)=O(H),說明E對H無影響。

5.

推理舉例例8.7

設(shè)有規(guī)則ifE1then(100,0.01)H1(P(H1)=0.6)，并已知證據(jù)E1肯定存在，求H1的后驗概率P(H1|E1)。解

由于證據(jù)E1肯定存在，因此可用公式（4）計算P(H1|E1)。于是有

例8.8

設(shè)有規(guī)則ifE1then(100,0.01)H1(P(H1)=0.6)，并已知證據(jù)E1肯定不存在，求H1的后驗概率P(H1|﹃E1)。解

由于證據(jù)E1肯定不存在，因此可用公式（5）計算P(H1|E1)。于是有

8.3基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的概率推理

8.3.1什么是貝葉斯網(wǎng)絡(luò)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是一種以隨機(jī)變量為節(jié)點，以條件概率為節(jié)點間關(guān)系強(qiáng)度的有向無環(huán)圖（DirectedAcyclicGraph，DAG）BADCEF節(jié)點表示隨機(jī)變量邊表示相關(guān)節(jié)點或變量之間某種依賴關(guān)系每個節(jié)點有一個條件概率表（CPT）因節(jié)點果節(jié)點圖

8-3貝葉斯網(wǎng)絡(luò)示意圖

P(A)0.1P(B)0.2ABP(C|A,B)

tt1tf0.85ft0.60ff0CP(E|C)t0.99f0.01BP(D|B)t0.95f0CP(F|C)t1f0條件概率表CPT貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點一般代表事件、對象、屬性或狀態(tài)；有向邊一般表示節(jié)點間的因果關(guān)系。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)也稱因果網(wǎng)絡(luò)、信念網(wǎng)絡(luò)、概率網(wǎng)絡(luò)、知識圖等，是描述事物之間因果關(guān)系或依賴關(guān)系的一種直觀圖形。

8.3.2用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)表示不確定性知識

舉例說明如何用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)表示不確定性知識。醫(yī)學(xué)告訴我們:吸煙可能會患?xì)夤苎?感冒也會引起氣管發(fā)炎,并還有發(fā)燒、頭痛等癥狀;氣管炎又會有咳嗽或氣喘等癥狀。我們把這些知識表示為一個貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(如圖8－4所示)。感冒吸煙頭痛氣管炎咳嗽氣喘發(fā)燒肺炎將吸煙、感冒、氣管炎、咳嗽、氣喘分別記為:S,C,T,O,A。并將這幾個變量的條件概率表用下面的概率表達(dá)式表示:P(S)=0.4，P(?S)=0.6；P(C)=0.8，P(?C)=0.2；P(T|S,C)=0.35，P(T|

?S,C)=0.25，P(T|S,?C)=0.011，P(T|

?S,?C)=0.002；P(O|T)=0.85，P(O|

?T)=0.15；

P(A|T)=0.50，P(A|

?T)=0.10。

感冒C吸煙S頭痛氣管炎T咳嗽O(shè)氣喘A發(fā)燒肺炎8.3.3基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的概率推理根據(jù)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征和語義特征,對于網(wǎng)絡(luò)中的一些已知節(jié)點(稱為證據(jù)變量),利用這種概率網(wǎng)絡(luò)就可以推算出網(wǎng)絡(luò)中另外一些節(jié)點(稱為查詢變量)的概率,即實現(xiàn)概率推理。具體來講,基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)可以進(jìn)行因果推理、診斷推理、辯解和混合推理。

聯(lián)合概率：設(shè)一個貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中全體變量的集合為X={x1,x2,…,xn},則這些變量的聯(lián)合概率為P(x1,x2,…,xn)=P(x1)P(x2｜x1)P(x3｜x1,x2)…P(xn｜x1,x2,…,xn-1)(8-21)

條件獨立:貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中任一節(jié)點與它的非祖先節(jié)點和非后代節(jié)點都是條件獨立的。

1.因果推理因果推理就是由原因到結(jié)果的推理,即已知網(wǎng)絡(luò)中的祖先節(jié)點而計算后代節(jié)點的條件概率。這種推理是一種自上而下的推理。假設(shè)已知某人吸煙(S),計算他患?xì)夤苎?T)的概率P(T|S)。首先,由于T還有另一個因節(jié)點──感冒(C),因此我們可以對概率P(T|S)進(jìn)行擴(kuò)展,得

P(T|S)=P(T,C|S)+P(T,?C|S)(8-22)這是兩個聯(lián)合概率的和。意思是因吸煙而得氣管炎的概率P(T|S)等于因吸煙而得氣管炎且患感冒的概率P(T,C|S)與因吸煙而得氣管炎且未患感冒的概率P(T,?C|S)之和。

接著，對(8-22)式中的第一項P(T,C|S)作如下變形：

P(T,C|S)=P(T,C,S)/P(S)(對P(T,C|S)逆向使用概率的乘法公式)=P(T|C,S)P(C,S)/P(S)(對P(T,C,S)使用乘法公式)=P(T|C,S)P(C|S)(對P(C,S)/P(S)使用乘法公式)=P(T|C,S)P(C)(因為C與S條件獨立)同理可得(8-22)式中的第二項

P(T,?C|S)=P(T|?C,S)P(?C)于是

P(T|S)=P(T|C,S)P(C)+P(T|?C,S)P(?