chapter7自旋與全同粒子系

§1電子自旋§2電子的自旋算符和自旋波函數(shù)§3簡單塞曼效應(yīng)§4兩個角動量耦合§5光譜精細結(jié)構(gòu)§6全同粒子的特性§7全同粒子體系波函數(shù)Pauli原理§8兩電子自旋波函數(shù)§9氦原子（微擾法）第七章自旋與全同粒子2/1/20231閆友房量子物理一、Stern-Gerlach實驗二、光譜線精細結(jié)構(gòu)三、電子自旋假設(shè)四、回轉(zhuǎn)磁比率§1電子自旋2/1/20232閆友房量子物理1、實驗描述Z處于S態(tài)的氫原子2、結(jié)論I氫原子有磁矩因在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)S態(tài)的氫原子束流，經(jīng)非均勻磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。NS一、Stern-Gerlach實驗II氫原子磁矩只有兩種取向即空間量子化2/1/20233閆友房量子物理原子在Z方向受力為：若原子磁矩可任意取向，則cos可在（-1，+1）之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶。但是實驗結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對應(yīng)cos=-1和+1，處于S態(tài)的氫原子=0，沒有軌道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，即自旋磁矩。3、討論原子磁矩在外磁場方向（z方向）的勢能為：2/1/20234閆友房量子物理3p3s9358?3p3/23p1/23s1/2D1D29658?9058?鈉原子光譜中的一條亮黃線

5893?，用高分辨率的光譜儀觀測，可以看到該譜線其實是由靠的很近的兩條譜線組成。其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細的一些線組成的現(xiàn)象，稱之為光譜線的精細結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才能得到解釋。二、光譜線精細結(jié)構(gòu)2/1/20235閆友房量子物理Uhlenbeck和Goudsmit1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè):（1）每個電子都具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：（2）每個電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動量的關(guān)系：自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：Bohr磁子三、電子自旋假設(shè)2/1/20236閆友房量子物理1、電子回轉(zhuǎn)磁比率軌道角動量與軌道磁矩的關(guān)系是：2、軌道回轉(zhuǎn)磁比率則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：可見電子回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍。四、回轉(zhuǎn)磁比率2/1/20237閆友房量子物理§2電子的自旋算符和自旋波函數(shù)一、自旋算符二、含自旋的狀態(tài)波函數(shù)三、自旋算符的矩陣表示與Pauli矩陣四、含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度五、自旋波函數(shù)六、力學量平均值2/1/20238閆友房量子物理自旋角動量是純量子概念，它不可能用經(jīng)典力學來解釋。自旋角動量也是一個力學量，但是它和其他力學量有著根本的差別。通常的力學量都可以表示為坐標和動量的函數(shù)而自旋角動量則與電子的坐標和動量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個自由度（第四個變量）。與其他力學量一樣，自旋角動量也是用一個算符描寫，記為自旋角動量軌道角動量的異同點與坐標、動量無關(guān)不適用同是角動量滿足同樣的角動量對易關(guān)系一、自旋算符2/1/20239閆友房量子物理由于自旋角動量在空間任意方向上的投影只能取±/2兩個值，所以的本征值都是±/2，其平方為[/2]2算符的本征值是仿照自旋量子數(shù)s

只有一個數(shù)值自旋角動量軌道角動量2/1/202310閆友房量子物理因為自旋是電子內(nèi)部運動自由度，所以描寫電子運動除了用(x,y,z)三個坐標變量外，還需要一個自旋變量(SZ），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：寫成列矩陣若已知電子處于Sz=/2或Sz=-/2的自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為：二、含自旋的狀態(tài)波函數(shù)由于SZ

只取±/2兩個值，所以上式可寫為兩個分量：規(guī)定列矩陣第一行對應(yīng)于Sz=/2，第二行對應(yīng)于Sz=-/2。2/1/202311閆友房量子物理1、SZ的矩陣形式電子自旋算符（如SZ）是作用于電子自旋波函數(shù)上的，既然電子波函數(shù)表示成了2×1的列矩陣，那末，電子自旋算符的矩陣表示應(yīng)該是2×2矩陣。因為Φ1/2

描寫的態(tài)，SZ有確定值/2，所以Φ1/2

是SZ

的本征態(tài)，本征值為/2，即有：矩陣形式三、自旋算符的矩陣表示與Pauli矩陣2/1/202312閆友房量子物理同理對Φ–1/2處理，有最后得SZ

的矩陣形式SZ

在自身表象中是對角矩陣，對角矩陣元是其本征為值±/2。2/1/202313閆友房量子物理2、Pauli算符（1）Pauli算符的引進分量形式因為Sx,Sy,Sz的本征值都是±/2，所以σx,σy,σz的本征值都是±1；σx2,σy2,σZ2的本征值都是1。即：令對易關(guān)系：分量形式：2/1/202314閆友房量子物理（2）反對易關(guān)系證：由對易關(guān)系對易關(guān)系式右乘σy左乘σyσy2=1二式相加同理可證又2/1/202315閆友房量子物理（3）Pauli算符矩陣形式根據(jù)定義：求Pauli算符的其他兩個分量令由力學量算符厄密性得得：b=c*

(或c=b*)2/1/202316閆友房量子物理這里有一個相位不定性，習慣上取α=0，得到：從自旋算符與Pauli矩陣的關(guān)系得：令：c=exp[iα](α為實），則2/1/202317閆友房量子物理1、歸一化電子波函數(shù)表示成矩陣形式后，波函數(shù)的歸一化時必須同時對自旋求和和對空間坐標積分，即2、幾率密度表示t時刻在r點附近單位體積內(nèi)找到電子的幾率表示t時刻r點處單位體積內(nèi)找到自旋Sz=/2的電子的幾率表示t時刻r點處單位體積內(nèi)找到自旋Sz=–/2

的電子的幾率在全空間找到Sz=/2的電子的幾率在全空間找到Sz=–/2的電子的幾率四、含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度2/1/202318閆友房量子物理波函數(shù)一般情況下，ψ1≠ψ2

，二者對(x,y,z)的依賴是不一樣的。這是因為，通常自旋和軌道運動之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀態(tài)對軌道運動有影響。但是，當這種相互作用很小時，可以將其忽略，則ψ1,ψ2對(x,y,z)的依賴一樣，即函數(shù)形式是相同的。此時Φ可以寫成如下形式：五、自旋波函數(shù)其中是Sz的本征函數(shù)，稱為自旋波函數(shù)。求：自旋波函數(shù)解：SZ的本征方程2/1/202319閆友房量子物理因為Sz

是2×2矩陣，所以在S2,Sz

為對角矩陣的表象內(nèi)，χ1/2,χ-1/2

都應(yīng)是2×1的列矩陣。代入本征方程得：由歸一化條件確定a1所以二者是屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此應(yīng)該正交同理2/1/202320閆友房量子物理引進自旋后，任一自旋算符的函數(shù)G在Sz表象表示為2×2矩陣算符G在任意態(tài)Φ中對自旋求平均的平均值算符G在Φ態(tài)中對坐標和自旋同時求平均的平均值是：六、力學量平均值2/1/202321閆友房量子物理§3簡單塞曼效應(yīng)一、實驗現(xiàn)象二、氫、類氫原子在外場中的附加能三、求解Schrodinger方程四、簡單塞曼效應(yīng)2/1/202322閆友房量子物理塞曼效應(yīng)：氫原子和類氫原子在外磁場中，其光譜線發(fā)生分裂的現(xiàn)象。該現(xiàn)象在1896年被Zeeman首先觀察到。簡單塞曼效應(yīng)：在強磁場作用下，光譜線的分裂現(xiàn)象。復雜塞曼效應(yīng)：當外磁場較弱，軌道-自旋相互作用不能忽略時，將產(chǎn)生復雜塞曼效應(yīng)。一、實驗現(xiàn)象2/1/202323閆友房量子物理取外磁場方向沿Z向，則磁場引起的附加能（CGS制）為：Schrodinger方程考慮強磁場忽略自旋—軌道相互作用，體系Schrodinger方程：二、氫、類氫原子在外磁場中的附加能2/1/202324閆友房量子物理根據(jù)上節(jié)分析，沒有自旋—軌道相互作用的波函數(shù)可寫成：代入S方程最后得1滿足的方程同理得2滿足的方程或2/1/202325閆友房量子物理1、當B=0時（無外場），是有心力場問題，方程退化為不考慮自旋時的情況。其解為：I.對氫原子情況II.對類氫原子情況如Li，Na，……等堿金屬原子，核外電子對核庫侖場有屏蔽作用，此時能級不僅與n有關(guān)，而且與有關(guān)，記為En則有心力場方程可寫為：三、求解Schrodinger方程2/1/202326閆友房量子物理由于（2）當B0時（有外場）時所以在外磁場下，nm

仍為方程的解，此時同理2/1/202327閆友房量子物理1、分析能級公式可知：在外磁場下，能級與n,l,m有關(guān)。原來m不同、能量相同的簡并現(xiàn)象被外磁場消除了。2、外磁場存在時，能量與自旋狀態(tài)有關(guān)。當原子處于S態(tài)時，l=0,m=0的原能級Enl

分裂為二。這正是Stern—Gerlach實驗所觀察到的現(xiàn)象。四、簡單塞曼效應(yīng)2/1/202328閆友房量子物理3、光譜線分裂2p1sSz=/2Sz=-/2m+10-1m+10-100(a)無外磁場(b)有外磁場2/1/202329閆友房量子物理I.B=0無外磁場時電子從En到En’’

的躍遷的譜線頻率為：II.B0有外磁場時根據(jù)上一章選擇定則可知：所以譜線角頻率可取三個值：Sz=/2時，取+；Sz=/2時，取

。無磁場時的一條譜線被分裂成三條譜線2/1/202330閆友房量子物理一、總角動量二、耦合表象和無耦合表象§4兩個角動量的耦合2/1/202331閆友房量子物理設(shè)有J1,J2

兩個角動量，分別滿足如下角動量對易關(guān)系：二者是相互獨立的角動量，所以相互對易，即其分量對易關(guān)系可寫為：證：同理，對其他分量成立。1、二角動量之和構(gòu)成總角動量一、總角動量2/1/202332閆友房量子物理證：同理，對其他分量亦滿足。凡是滿足角動量定義的力學量都滿足對易關(guān)系：2、2/1/202333閆友房量子物理證：同理可證由上面證明過程可以看出，若對易括號將J12用J1代替，顯然有如下關(guān)系：3、這是因為2/1/202334閆友房量子物理證：同理可證4、兩兩對易兩兩對易討論：2/1/202335閆友房量子物理這四個角動量算符有共同的正交歸一完備的本征函數(shù)系，記為：兩兩對易1、本征函數(shù)二、耦合表象和無耦合表象耦合表象基矢兩兩對易這四個角動量算符也有共同的完備的本征函數(shù)系，記為：無耦合表象基矢2/1/202336閆友房量子物理由于這兩組基矢都是正交歸一完備的，所以可以相互表示，即：稱為矢量耦合系數(shù)或Clebsch-Gorldon系數(shù)因為所以于是上式求和只需對m2

進行即可?？紤]到m1=m-m2，則：或：共軛式2/1/202337閆友房量子物理將上式左乘<j1j2j'm'|，并考慮正交歸一關(guān)系：對m’=m,m’m=1,于是：兩個表象之間的幺正變換有一個相位不定性，如果取適當?shù)南辔灰?guī)定，就可以使C-G系數(shù)為實數(shù)。2、C-G系數(shù)的幺正性2/1/202338閆友房量子物理將|j1,m1,j2,m2>用耦合表象基矢|j1,j2,j,m>展開：C-G系數(shù)實數(shù)性共軛式左乘上式，并注意無耦合表象基矢的正交歸一性：2/1/202339閆友房量子物理對m2’=m2

情況，得：考慮到上式兩個C-G系數(shù)中總磁量子數(shù)與分量子數(shù)之間的關(guān)系：m2’=m-m’1

和m2=m-m1

最后得：上式與下式一起反映了C-G系數(shù)的幺正性和實數(shù)性。2/1/202340閆友房量子物理3、j的取值范圍（j與j1,j2

的關(guān)系）（1）對給定j1、j2

，求jmaxm=j,j-1,...,-j+1,-j→mmax=j；m1=j1,j1-1,...,-j1+1,-j1→(m1)max=j1；m2=j2,j2-1,...,-j2+1,-j2→(m2)max=j2；再考慮到m=m1+m2，則有：mmax=(m1)max+(m2)max=j=jmax

，于是：jmax=j1+j2因為mm1m2

取值范圍分別是：2/1/202341閆友房量子物理另一方面，對于一個j值，|j1,j2,j,m>基矢有2j+1個，那末j從jmin

到j(luò)max

的所有基矢數(shù)則由下式給出：等差級數(shù)求和公式j(luò)max=j1+j2由于無耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互獨立的，等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等，所以耦合表象基矢|j1,j2,j,m>的數(shù)亦應(yīng)等于(2j1+1)(2j2+1)個。從無耦合表象到耦合表象的變換由下式給出：由于基矢|j1m1>,|j2m2>對給定的j1j2分別有2j1+1和2j2+1個，所以無耦合表象的基矢|j1,m1,j2,m2>=|j1,m1>|j2,m2>的數(shù)目為(2j1+1)(2j2+1)個。（2）求jmin2/1/202342閆友房量子物理（3）j的取值范圍由于j只取≥0的數(shù)，所以當j1j2

給定后，j的可能取值由下式給出：j=j1+j2,j1+j2-1,j1+j2-2,......,|j1-j2|.該結(jié)論與舊量子論中角動量求和規(guī)則相符合。j1,j2

和j所滿足的上述關(guān)系稱為三角形關(guān)系，表示為Δ(j1,j2,j)。求得j,m后，J2,Jz

的本征值問題就得到了解決。本征矢為：2/1/202343閆友房量子物理作為一個例子下面列出了電子自旋角動量j2=1/2情況下幾個C-G系數(shù)公式。將這些系數(shù)代入本征矢表達式可得：2/1/202344閆友房量子物理一、復習類氫原子能譜（無自旋軌道作用）二、有自旋軌道相互作用的情況§5光譜精細結(jié)構(gòu)2/1/202345閆友房量子物理1、無耦合表象類氫原子Hamilton量對類氫原子在不考慮核外電子對核電得屏蔽效應(yīng)情況下，勢場可寫為：因為H0，L2，Lz

和Sz

兩兩對易，所以它們有共同完備的本征函數(shù)（無耦合表象基矢）：可見電子狀態(tài)由n，l，ml，ms

四個量子數(shù)確定，能級公式不計電子自旋時，能級是n2

度簡并，考慮電子自旋后，因ms

有二值，故En

是2n2

度簡并。一、復習類氫原子能譜（無自旋軌道作用）2/1/202346閆友房量子物理2、耦合表象電子總角動量因為L2，S2，J2，Jz

兩兩對易且與H0

對易，故體系定態(tài)也可寫成它們的共同本征函數(shù)：耦合表象基矢電子狀態(tài)由n，l，j，m

四個量子數(shù)確定，通過一幺正變換相聯(lián)。2/1/202347閆友房量子物理1、Hamilton量基于相對論量子力學和實驗依據(jù)，L-S自旋軌道作用可以表示為：稱為自旋軌道耦合項二、有自旋軌道相互作用的情況于是體系Hamilton量2/1/202348閆友房量子物理由于H中包含有自旋--軌道耦合項，所以Lz，Sz與H不再對易。二者不再是守恒量，相應(yīng)的量子數(shù)ml，ms都不是好量子數(shù)了，不能用以描寫電子狀態(tài)。現(xiàn)在好量子數(shù)是l,j,m，這是因為其相應(yīng)的力學量算符L2,J2,Jz

都與H對易的緣故。證：所以L2,J2,Jz

都與H’對易從而也與H對易。因為所以顯然有2/1/202349閆友房量子物理2、微擾法求解因為H0

的本征值是簡并的，因此需要使用簡并微擾法求解。

H0

的波函數(shù)有兩套：耦合表象波函數(shù)和無耦合表象波函數(shù)。為方便計，我們選取耦合表象波函數(shù)作為零級近似波函數(shù)。之所以方便，是因為微擾H’在耦合表象中矩陣是對角化的，而簡并微擾法解久期方程的本質(zhì)就是尋找正確的零級波函數(shù)使得H’對角化。這樣就可以省去求解久期方程的步驟。令：展開系數(shù)滿足如下方程：矩陣元下面我們計算此矩陣元本證方程2/1/202350閆友房量子物理其中：2/1/202351閆友房量子物理所以能量一級修正為：代入關(guān)于Cljm的方程得：為書寫簡捷將l’j’m’用ljm代替由于Cljm≠0，于是2/1/202352閆友房量子物理（2）精細結(jié)構(gòu)對給定的n,值，j=±1/2有二值（=0除外）具有相同n,的能級有二個由于ξ(r)通常很小，所以這二個能級間距很小，這就是產(chǎn)生精細結(jié)構(gòu)的原因。5890?5896?鈉原子2P項的精細結(jié)構(gòu)由上式給出的能量一級修正可知，L-S耦合使原來的簡并能級發(fā)生分裂，簡并部分消除。這是因為Enlj(1)

仍與m無關(guān)，同一j值，m可取2j+1個值，還有2j+1度簡并。（1）簡并性3、光譜精細結(jié)構(gòu)2/1/202353閆友房量子物理原能級分裂為：n,j=+1/2j=–1/2例:鈉原子2p項精細結(jié)構(gòu)，求<ξ(r)>解：2/1/202354閆友房量子物理4、零級近似波函數(shù)波函數(shù)的零級近似取為Ψnljm

對不同m的線性組合，也可以就直接取為Ψnljm

因為微擾Hamilton量H’在該態(tài)的矩陣元已是對角化的了。上述波函數(shù)是耦合表象基矢，表示成相應(yīng)的Dirac符號后并用非耦合表象基矢表示出來。上述討論適用于>0的情況，當=0時，沒有自旋軌道耦合作用，因而能級不發(fā)生移動。2/1/202355閆友房量子物理一、全同粒子和全同性原理二、波函數(shù)的對稱性質(zhì)三、波函數(shù)對稱性的不隨時間變化四、Fermi子和Bose子§6全同粒子的特性2/1/202356閆友房量子物理1、全同粒子質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。2、經(jīng)典粒子的可區(qū)分性經(jīng)典力學中，固有性質(zhì)完全相同的兩個粒子，是可以區(qū)分的。因為二粒子在運動中，有各自確定的軌道，在任意時刻都有確定的位置和速度?？膳袛嗄膫€是第一個粒子哪個是第二個粒子。1212一、全同粒子和全同性原理2/1/202357閆友房量子物理3、微觀粒子的不可區(qū)分性微觀粒子運動服從量子力學用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)分的。4、全同性原理全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變。全同性原理是量子力學的基本原理之一。2/1/202358閆友房量子物理1、Hamilton算符的對稱性N個全同粒子組成的體系，其Hamilton量為：表明，N個全同粒子組成的體系的Hamilton量具有交換對稱性，交換任意兩個粒子坐標（qi

,qj

)后不變。二、波函數(shù)的對稱性質(zhì)調(diào)換第i和第j個粒子，體系Hamilton量不變。即：2/1/202359閆友房量子物理2、對稱和反對稱波函數(shù)將方程中（qi,qj

)調(diào)換，得：表明：qi,qj

調(diào)換前后的波函數(shù)都是Shrodinger方程的解。根據(jù)全同性原理：描寫同一狀態(tài)。因此，二者相差一常數(shù)因子。考慮全同粒子體系的含時Shrodinger方程2/1/202360閆友房量子物理再做一次（qi,qj

)調(diào)換引入粒子坐標交換算符：二粒子交換后波函數(shù)不變，稱為對稱波函數(shù)。二粒子交換后波函數(shù)變號，稱為反對稱波函數(shù)。交換算符的本征值對應(yīng)于對稱波函數(shù)，本征值對應(yīng)于反對稱波函數(shù)。2/1/202361閆友房量子物理全同粒子體系波函數(shù)的這種對稱性不隨時間變化，即初始時刻是對稱的，以后時刻永遠是對稱的；初始時刻是反對稱的，以后時刻永遠是反對稱的。證：方法I設(shè)全同粒子體系波函數(shù)s在t時刻是對稱的，由體系哈密頓量是對稱的，所以Hs在t時刻也是對稱的。在t+dt時刻，波函數(shù)變化為對稱對稱二對稱波函數(shù)之和仍是對稱的。依次類推，在以后任何時刻，波函數(shù)都是對稱的。同理可證：t時刻是反對稱的波函數(shù)a，在t以后任何時刻都是反對稱的。三、波函數(shù)對稱性的不隨時間變化因為等式兩邊對稱性是一樣的，所以Shrodinger方程2/1/202362閆友房量子物理方法II

全同粒子體系哈密頓量是對稱的結(jié)論：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，其對稱性不隨時間改變。如果體系在某一時刻處于對稱（或反對稱）態(tài)上，則它將永遠處于對稱（或反對稱）態(tài)上。是守恒量，即交換對稱性不隨時間改變。2/1/202363閆友房量子物理實驗表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。1、Bose子凡自旋為整數(shù)倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換2個粒子總是對稱的，遵從Bose統(tǒng)計，故稱為Bose子。如：光子（s=1）；介子（s=0）。四、Fermi子和Bose子2、Fermi子凡自旋為半奇數(shù)倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換2個粒子總是反對稱的，遵從Fermi統(tǒng)計，故稱為Fermi子。如：電子、質(zhì)子、中子（s=1/2）等粒子。2/1/202364閆友房量子物理3、由“基本粒子”組成的復雜粒子如：粒子（氦核）或其他原子核。如果在所討論的過程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類全同粒子來處理。偶數(shù)個Fermi子組成Bose子組成奇數(shù)個Fermi子組成奇數(shù)個Fermi子組成2/1/202365閆友房量子物理一、2個全同粒子波函數(shù)二、N個全同粒子體系波函數(shù)三、Pauli原理§7全同粒子體系波函數(shù)與Pauli原理2/1/202366閆友房量子物理1、對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成（1）2個全同粒子Hamilton量（2）單粒子波函數(shù)一、2個全同粒子波函數(shù)2/1/202367閆友房量子物理（3）交換簡并粒子1在i態(tài)，粒子2在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：驗證：粒子2在i態(tài)，粒子1在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：狀態(tài)(q1,q2)和(q2,q1)能量是簡并的，由于兩種狀態(tài)是通過交換得到的，故稱為交換簡并。2/1/202368閆友房量子物理（4）滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成全同粒子體系要滿足對稱性條件，而(q1,q2)和(q2,q1)僅當i=j二態(tài)相同時，才是一個對稱波函數(shù)；當ij二態(tài)不相同，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。所以(q1,q2)和(q2,q1)不能用來描寫全同粒子體系。構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù)顯然S(q1,q2)和A(q1,q2)都是H的本征函數(shù)，本征值皆為：c為歸一化系數(shù)2/1/202369閆友房量子物理(5)S和A

的歸一化首先證明若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的，則(q1,q2)和(q2,q1)也是正交歸一化的。證：同理：而同理：2/1/202370閆友房量子物理考慮S和A

歸一化則歸一化的S同理對A

有：2/1/202371閆友房量子物理上述討論是適用于二粒子間無相互作用的情況，當粒子間有互作用時，但下式仍然成立歸一化的SA

依舊因H的對稱性成立2/1/202372閆友房量子物理1、Shrodinger方程的解上述對2個全同粒子的討論可以推廣到N個全同粒子體系，設(shè)粒子間無互作用，單粒子H0不顯含時間，則體系單粒子本征方程：二、N個全同粒子體系波函數(shù)體系Shrodinger方程方程的解2/1/202373閆友房量子物理2、Bose子體系和波函數(shù)對稱化2個Bose子體系，其對稱化波函數(shù)是：N個Bose子體系，其對稱化波函數(shù)可類推是：對各種可能排列p求和nk

是單粒子態(tài)k上的粒子數(shù)表示1，2粒子在i，j態(tài)中的一種排列表示N個粒子在i，j…k態(tài)中的一種排列歸一化系數(shù)2/1/202374閆友房量子物理例：N=3

Bose子體系,設(shè)有三個單粒子態(tài)分別記為1、2、3，求：該體系對稱化的波函數(shù)。In1=n2=n3=1IIn1=3，n2=n3=0n2=3，n1=n3=0n3=3，n2=n1=0IIIn1=2，n2=1，n3=02/1/202375閆友房量子物理n1=1，n2=0，n3=2n1=0，n2=1，n3=2n1=0，n2=2，n3=1n1=1，n2=2，n3=0n1=2，n2=0，n3=1另外還有5種可能的狀態(tài)，分別是：2/1/202376閆友房量子物理附注：關(guān)于重復組合問題從m個不同元素中每次取n個元素（元素可重復選?。┎还芘帕许樞驑?gòu)成一組稱為重復組合，記為：（m可大于、等于或小于n）重復組合計算公式為：通常組合計算公式：應(yīng)用重復組合，計算全同Bose子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的。如上例，求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問題實質(zhì)上就是一個從3個狀態(tài)中每次取3個狀態(tài)的重復組合問題。重復組合計算公式表明：從m個不同元素中每次取n個元素的重復組合的種數(shù)等于從（m+n-1）個不同元素中每次取n個元素的普通組合的種數(shù)。2/1/202377閆友房量子物理3、Fermi子體系和波函數(shù)反對稱化2個Fermi子體系，其反對稱化波函數(shù)是：行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對稱化推廣到N個Fermi子體系：兩點討論：（1）行列式展開后，每一項都是單粒子波函數(shù)乘積形式，因而A

是本征方程H

=E的解.（2）交換任意兩個粒子，等價于行列式中相應(yīng)兩列對調(diào)，由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號，故是反對稱化波函數(shù)。此行列式稱為Slater行列式。2/1/202378閆友房量子物理1、二Fermi子體系其反對稱化波函數(shù)為：若二粒子處于相同態(tài)，例如都處于i態(tài)，則寫成Slater行列式兩行相同，行列式為0三、Pauli原理2/1/202379閆友房量子物理如果N個單粒子態(tài)

i

j……k中有兩個相同，則行列式中有兩行相同，于是行列式為0，即上述討論表明，NFermi子體系中，不能有2個或2個以上Fermi子處于同一狀態(tài)，這一結(jié)論稱為Pauli不相容原理。波函數(shù)的反對稱化保證了全同F(xiàn)ermi子體系的這一重要性質(zhì)。2、NFermi子體系2/1/202380閆友房量子物理3、無自旋—軌道相互作用情況在無自旋—軌道相互作用情況，或該作用很弱，從而可略時，體系總波函數(shù)可寫成空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)乘積形式：若是Fermi子體系，則應(yīng)是反對稱化的。對2粒子情況，反對稱化可分別由和

的對稱性保證。（1）對稱，

反對稱；（2）反對稱，對稱。2/1/202381閆友房量子物理一、二電子波函數(shù)的構(gòu)成二、總自旋S2，SZ算符的本征函數(shù)§8兩電子自旋波函數(shù)2/1/202382閆友房量子物理當體系Hamilton量不含二電子自旋相互作用項時，可構(gòu)成4種相互獨立二電子自旋波函數(shù)：由此又可構(gòu)成4組具有一定對稱性的二電子自旋波函數(shù)，它們是是S2SZ

的共同本征函數(shù)：一、二電子波函數(shù)的構(gòu)成即二電子自旋波函數(shù)等于單電子自旋波函數(shù)的乘積對稱波函數(shù)反對稱波函數(shù)2/1/202383閆友房量子物理1、總自旋算符二、總自旋S2，SZ算符的本征函數(shù)2/1/202384閆友房量子物理每個算符只對自己的自旋波函數(shù)作用成立2/1/202385閆友房量子物理2、SA

是S2SZ

的本征函數(shù)計算表明，sI是S2

和SZ

的本征函數(shù)，其本征值分別為22和.相應(yīng)的自旋角動量量子數(shù)S=1，磁量子數(shù)ms=12/1/202386閆友房量子物理同理可求得：上述結(jié)果表明：三重態(tài)單態(tài)2/1/202387閆友房量子物理一、氦原子Hamilton量二、微擾法下氦原子的能級和波函數(shù)三、討論§9氦原子（微擾法）2/1/202388閆友房量子物理由于H中不含自旋變量，所以氦原子定態(tài)波函數(shù)可寫成空間坐標波函數(shù)和自旋波函數(shù)