浙江省湖州三校2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集定義求解.【詳解】選B.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集，考查基本求解能力，屬基本題.2.雙曲線的一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是（）A.1B.2C.4D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛軸長一半，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛軸長一半，所以雙曲線的一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是1,選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的焦點(diǎn)與漸近線，考查基本分析求解能力，屬基本題.3.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求解.【詳解】因?yàn)?所以其共軛復(fù)數(shù)是，選C.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基本題.4.若變量，滿足約束條件，則的最大值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】先作可行域，再求范圍，最后可得的最大值.【詳解】作可行域，如圖，則直線過點(diǎn)A(-1,-1)時取最小值-4，過點(diǎn)時取最大值2，因此的最大值是4,選D.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最值，考查基本分析求解能力，屬基本題.5.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)奇偶性，舍去B,D，再根據(jù)函數(shù)值正負(fù)確定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以舍去B,D，因?yàn)閘n3>0,所以選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象識別，考查基本分析判斷能力，屬基本題.6.設(shè)平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理可證得充分性成立，舉反例說明必要性不成立.【詳解】因?yàn)?，平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，且，所以，因?yàn)橹本€在平面內(nèi)，所以，即充分性成立，若，，但時，與不一定垂直，即不一定垂直，即必要性不成立.選A.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直性質(zhì)定理與充要關(guān)系，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.7.已知袋子中裝有若干個大小形狀相同且標(biāo)有數(shù)字1，2，3的小球，每個小球上有一個數(shù)字，它們的個數(shù)依次成等差數(shù)列，從中隨機(jī)抽取一個小球，若取出小球上的數(shù)字的數(shù)學(xué)期望是2，則的方差是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可假設(shè)標(biāo)有數(shù)字1，2，3的小球各有1個，再根據(jù)方差定義求結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿〕鲂∏蛏系臄?shù)字的數(shù)學(xué)期望是2，且個數(shù)依次成等差數(shù)列，所以不妨設(shè)標(biāo)有數(shù)字1，2，3的小球各有1個，從而隨機(jī)抽取一個小球概率皆為，方差為，選B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)期望與方差，考查基本分析與求解能力，屬中檔題.8.已知三棱錐中，為正三角形，，且在底面內(nèi)的射影在的內(nèi)部（不包括邊界），二面角，二面角，二面角的大小分別為，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出三個二面角，再根據(jù)，確定二面角大小.【詳解】設(shè)在底面內(nèi)的射影為O，過O分別作AB,BC,CA垂線，垂足分別為D,E,F,則，，，從而，，，因?yàn)?，所?,即,即，選C.【點(diǎn)睛】本題考查二面角，考查基本分析與判斷能力，屬中檔題.9.已知向量，的夾角為，且，則的最小值為（）A.B.C.5D.【答案】B【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，將轉(zhuǎn)化為直線上一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和，再根據(jù)對稱求最小值.【詳解】由題意可設(shè),，因此表示直線上一動點(diǎn)到定點(diǎn)距離的和,因?yàn)殛P(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)表示與直線對稱，考查等價轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想方法，考查基本求解能力，屬難題.10.已知數(shù)列滿足，，則使的正整數(shù)的最小值是（）A.2023B.2023C.2023D.2023【答案】C【解析】【分析】令,利用裂項(xiàng)相消法得，再根據(jù)范圍求正整數(shù)的最小值.【詳解】令,則,所以，從而，因?yàn)?所以數(shù)列單調(diào)遞增，設(shè)當(dāng)時,當(dāng)時,所以當(dāng)時，，，從而,因此,選C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系與裂項(xiàng)相消法，考查等價轉(zhuǎn)化與構(gòu)造法，考查綜合分析與求解能力，屬難題.二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.我國古代某數(shù)學(xué)著作中記載了一個折竹抵地問題：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，問折者高幾何？”意思是：有一根竹子（與地面垂直），原高二丈（1丈=10尺），現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離為六尺，則折斷處離地面的高為__________尺．【答案】9.1尺【解析】【分析】根據(jù)題意列方程，解得結(jié)果.【詳解】設(shè)折斷處離地面的高為尺．則【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化與應(yīng)用，考查基本分析與求解能力，屬基礎(chǔ)題.12.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）等于_______，表面積（單位：）等于__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】先還原幾何體，再根據(jù)柱體與錐體性質(zhì)求體積與表面積.【詳解】幾何體一個邊長為2的正方體挖去一個正四棱錐（頂點(diǎn)在正方體下底面中心，底面為正方體上底面），因此幾何體的體積為，表面積為【點(diǎn)睛】本題考查三視圖與柱體與錐體性質(zhì)，考查空間想象能力與基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.13.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知，則的值為__________，若，，則的面積等于_________.【答案】(1).(2).16【解析】【分析】第一空根據(jù)兩角和正切公式得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得的值，第二空先根據(jù)正弦定理得，再根據(jù)兩角和正弦公式得,最后根據(jù)面積公式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，因此因?yàn)?，所以因?yàn)?)=,所以的面積等于【點(diǎn)睛】本題考查兩角和正切公式、兩角和正弦公式與正弦定理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14.若，則_________，_________.【答案】(1).-27(2).-940【解析】【分析】利用賦值法求系數(shù).【詳解】令得，所以，令得，令得，兩式相加得【點(diǎn)睛】本題考查利用賦值法求二項(xiàng)展開式系數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)，則__________，若實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍是__________．【答案】(1).4(2).【解析】【分析】第一空直接代入對應(yīng)解析式求解即可，第二空先根據(jù)函數(shù)圖象確定關(guān)系及取值范圍，再求的取值范圍.【詳解】),因?yàn)椋?，所?,因此.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值以及函數(shù)圖像，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.16.現(xiàn)有排成一排的7個不同的盒子，將紅、黃、藍(lán)、白顏色的4個小球全部放入這7個盒子中，若每個盒子最多放一個小球，則恰有兩個空盒相鄰且紅球與黃球不相鄰的不同放法共有_______種.（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】336【解析】【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法進(jìn)行求解.【詳解】先不考慮紅球與黃球不相鄰，則4個小球有種排法，再安排空盒，有種方法，再考慮紅球與黃球相鄰，則4個小球有種排法，再安排空盒，有種方法，因此所求放法為【點(diǎn)睛】本題考查排列組合應(yīng)用，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.17.已知橢圓的兩個頂點(diǎn)，，過，分別作的垂線交該橢圓于不同于的，兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是__________．【答案】【解析】【分析】先求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)弦長公式化簡，解得離心率.【詳解】過作的垂線的方程為，與聯(lián)立方程組解得，過作的垂線的方程為，與聯(lián)立方程組解得，因?yàn)椋浴军c(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)根之和.【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先根據(jù)二倍角公式、輔助角公式化基本三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求減區(qū)間，（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)求簡單三角方程的根.【詳解】（Ⅰ），由單調(diào)遞減可知，遞增，故，，即.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.（Ⅱ）由，得.由在上遞增，在上遞減，且，得，方程在上有兩不等實(shí)根，，且滿足.∴.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式、輔助角公式以及正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，平面平面，二面角為.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）見解析（2）【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，即得即為二面角的平面角，利用余弦定理解得，根據(jù)勾股定理得.最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（Ⅱ）先利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)解三角形得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）證明：平面平面，交線為，且，∴平面，從而，，∴即為二面角的平面角，即.又，，由余弦定理得，∴，即.又，∴平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，從而，，又，，故.由已知，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面的距離也為，由得：，.∴與平面所成角的正弦值.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直性質(zhì)定理、二面角、線面垂直判定定理、等體積法求點(diǎn)到平面的距離以及線面角，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.20.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，公差，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為.（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，試比較與的大小.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）見解析【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)待定系數(shù)法求得公差，再利用和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得的通項(xiàng)公式，（Ⅱ）先利用裂項(xiàng)相消法求，利用等比數(shù)列求和公式得，最后作差，利用二項(xiàng)展開式比較大小.【詳解】（Ⅰ）由已知得，即，又，∴，∴，.由得.時，.∴，顯然也滿足，∴.（Ⅱ），，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，∴.綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時.【點(diǎn)睛】本題考查利用和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和以及二項(xiàng)展開式應(yīng)用，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.21.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線交拋物線于另一點(diǎn)，的最小值為4.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）記、的面積分別為，，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)拋物線性質(zhì)可得，即得結(jié)果，（Ⅱ）設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長公式求，再利用基本不等式求最值.【詳解】（Ⅰ）由已知及拋物線的幾何性質(zhì)可得，∴，∴拋物線的方程為.（Ⅱ）設(shè)直線：，：，，，，由，，同理可得，從而，點(diǎn)到的距離，，∴.又，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時有最小值.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義與性質(zhì)以及基本不等式求最值，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.22.已知函數(shù)，，曲線與有且僅有一個公共點(diǎn).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，，使得關(guān)于的不等式對任意正實(shí)數(shù)恒成立，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象確定有且僅有一個公共點(diǎn)的條件，解得結(jié)果，（Ⅱ）先根據(jù)特殊值縮小的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定成立的條件，利用導(dǎo)數(shù)確定成立的條件，結(jié)合兩個條件消得關(guān)于滿足的條件，最后利用導(dǎo)數(shù)分析取值范圍，即得最小值.【詳解】（Ⅰ）由題意知，即，令，則.∵在上遞增，在上增減，∴，∴.（Ⅱ）解法一：由題意知必有，即，當(dāng)時，，，不符合題意；當(dāng)時，有，此時，，不符合題意，因此有，因此①令，則，在遞增，在遞減，故②由①②兩式知，構(gòu)造函數(shù)，則，在遞減