結構動力計算

第10章結構的動力計算

§10-2單自由度體系的自由振動§10-3單自由度體系的強迫振動§10-4阻尼對振動的影響§10-5多自由度體系的自由振動§10-6多自由度體系的強迫振動§10-7小結

§10-1動力計算的特點和動力自由度學習內容

結構動力計算概念，動力計算自由度，建立體系的運動方程；單自由度體系的自由振動（頻率、周期和振幅的計算）；單自由度體系在簡諧荷載作用下的的強迫振動（動內力、動位移計算）；阻尼對振動的影響；有限自由度體系的自由振動（頻率、振型及振型正交性）；有限自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動（動內力、動位移計算）；頻率、振型的近似計算方法。人類為了生產、生活的需要，需要采用天然或人工材料建造各種各樣的建筑物和構筑物（結構）。這些建筑物在使用過程中要受到各種外界作用（荷載）。在這些作用下，結構會產生內力、變形等（反應）。為了節(jié)省造價、保證安全、提高壽命并有效地實現(xiàn)使用功能，需要控制結構的反應，這就需要研究結構、作用、反應的關系。結構動力學是研究結構、動荷載、結構反應三者關系的學科。都江堰震害圖片（“都江之春”框架結構住宅樓）：

砼柱破壞，梁端無明顯破壞工業(yè)廠房交叉斜撐，保全了排架柱。一、結構動力計算的特點1.結構動力學的主要特征考慮慣性力的影響是結構動力學的最主要特征。

達朗伯原理動靜法2.結構動力計算的原理和方法§10.1動力計算的特點和動力自由度

靜力荷載是指其大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷載。這類荷載對結構產生的慣性力可以忽略不計，由它所引起的內力和變形都是確定的。

動力荷載是指其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。這類荷載對結構產生的慣性力不能忽略，因動力荷載將使結構產生相當大的加速度，由它所引起的內力和變形都是時間的函數(shù)。1、數(shù)學處理復雜。2、動力問題必須建立與時間有關的一系列解答，靜力問題具有單一解。3、結構動力響應還與結構的剛度分布、質量分布、能量耗散等有關。動力計算與靜力計算的區(qū)別：動荷載確定不確定風荷載地震荷載其他無法確定變化規(guī)律的荷載周期非周期簡諧荷載非簡諧荷載沖擊荷載突加荷載其他確定規(guī)律的動荷載結構振動分析隨機振動分析二、動荷載及其分類偏心質量m,偏心距e,勻角速度θ慣性力:P=mθ2e,其豎向分量和水平分量均為簡諧荷載.θtP(t)tPt簡諧荷載（harmonicload）一般周期荷載(periodicload)1）周期荷載：隨時間作周期性變化。（轉動電機的偏心力）2）沖擊荷載：短時內劇增或劇減。3）隨機荷載：(非確定性荷載)荷載在將來任一時刻的數(shù)值無法事先確定。（如地震荷載、風荷載）

P(t)t隨機荷載(randomload)PttrP突加荷載(Suddenlyappliedconstantload)P(t)ttrP爆炸荷載三、結構動力學的任務(1)提供任意給定結構在任意動荷載作用下進行響應分析的方法；(2)確定結構固有動力特性及結構固有動力特性、動荷載和結構響應三者間的相互關系，即結構在動荷載作用下的響應規(guī)律；(3)為結構動力可靠性設計和健康診斷提供依據。四、動力計算的內容

動力計算的內容：研究結構在動荷載作用下的動力反應的計算原理和方法。涉及到內外兩方面的因素：(1）確定動力荷載；(2）確定結構的動力特性；計算動位移及其幅值；計算動內力及其幅值。本課程的內容—基于桿系結構的動力學基礎研究的問題自由振動強迫振動計算內容確定結構的動力特征計算結構的動力反應與其它課程之間的關系結構動力學以結構力學和數(shù)學為基礎。結構動力學作為結構抗震、抗風設計計算的基礎。五、動力計算中體系的自由度確定運動過程中任意時刻全部質量的位置所需獨立幾何參數(shù)的個數(shù)稱為體系的振動自由度。1）集中質量法(methodoflumpedmess)mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱廠房排架水平振動時的計算簡圖單自由度體系(singledegree-of-freedomsystem)三個自由度體系水平振動時的計算體系多自由度體系構架式基礎頂板簡化成剛性塊θ(t)v(t)u(t)三個自由度三個自由度2）廣義坐標法(generalizedcoordinate)3)有限元法（finiteelement）l

（2）與幾何組成分析中的自由度不同。

M=mlml有關自由度的幾點說明：

（1）基本未知量數(shù)目與自由度數(shù)目是一致的。

（3）一般采用“集中質量法”，將連續(xù)分布的質量集中為幾個質點研究（“廣義位移法”、“有限單元法”）。

（4）并非一個質量集中點一個自由度（5）結構的自由度與是否超靜定無關。（6）可用加鏈桿的方法確定自由度。

（6）可用加鏈桿的方法確定自由度。2個自由度1個自由度2個自由度EIEIEIEIEI質點體系自由度的幾種情況自由度為1a梁式桿（不計軸變）EIEIy1y1y2自由度為2EI=∞y1自由度為1y1y2自由度為2自由度與質體的數(shù)目無關b彈簧支撐自由度為2y1y2EIEI彈簧和桁架桿不影響體系的自由度自由度為2EIEIc考慮軸變的桁架桿EIEIEAy1y21)平面上的一個質點W=22)W=2彈性支座不減少動力自由度3)計軸變時W=2不計軸變時W=1為減少動力自由度，梁與剛架不計軸向變形。4)W=15)W=2自由度數(shù)與質點個數(shù)無關，但不大于質點個數(shù)的2倍。6)W=27)W=1W=18)平面上的一個剛體W=39)彈性地面上的平面剛體W=310)W=211)12)W=13§10.2單自由度體系的自由振動

自由振動：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。自由振動產生原因：體系在初始時刻（t=0）受到外界的干擾。靜平衡位置m獲得初位移ym獲得初速度1振動方程的建立剛度法

體系在慣性力作用下處于動態(tài)平衡。柔度法

質體的動位移等于質體在慣性力作用下的靜位移。2振動方程的解振動微分方程改寫為初始條件通解動位移為由y0引起的由v0引起的總位移將動位移表達式改寫成單項式——初始相位角

——振幅（amplitudeofvibration）3結構的自振周期和圓頻率※※

（naturalperiodandnaturalcircularfrequency）周期頻率圓頻率完成一次振動需要的時間單位時間內完成振動的次數(shù)2π個單位時間內完成振動的次數(shù)ya計算公式的幾種形式自振周期的特性（1）自振周期與且只與結構的質量和結構的剛度有關。（2）自振周期與質量的平方根成正比；自振周期與剛度的平方根成反比。（3）兩個外形相似的結構，如果其自振周期相近，則在動荷載作用下的動力性能基本一致,是結構動力特性的重要數(shù)量標志。4、簡諧自由振動的特性動位移加速度時，其幅值分別為：慣性力例1

求圖示簡支梁的自振周期和圓頻率解對于豎向振動，柔度系數(shù)為例2

求圖示懸臂桿的水平和豎向振動時的自振周期解（1）水平振動當桿頂作用水平力W時，桿頂?shù)乃轿灰茷椋?）豎向振動當桿頂作用豎向力W時，桿頂?shù)呢Q向位移為例3、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質量m，不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2據此可得：ω1?ω2?ω3=1?1.512

?

211l/32l/3ml/2lm1例例1θ例4、求圖示結構的自振圓頻率。解法1：求

kθ=1/hMBA=kh=MBCklhmI→∞EIBAC1h解法2：求

δ例5、求圖示結構的自振頻率。lEImk1k11k11k解：求

k例6.求圖示體系的自振頻率和自振周期。

解：柔度系數(shù)自振頻率

自振周期例7．圖示排架的橫梁為剛性桿，質量為m，柱質量不計,求其自振頻率。

解：自振頻率

求圖示剛架的自振頻率。不計柱的質量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3例單自由度結構體系運動方程的一般形式：

mk水平運動模型mk豎向運動模型mkm§10-3單自由度體系的強迫振動（不計阻尼）強迫振動——結構在動力荷載作用下的振動，也叫受迫振動。一.強迫振動的運動微分方程運動方程或式中結構的自振頻率式（10－11)為單自由度體系強迫振動的運動方程。單自由度體系在動荷載下的振動及相應的振動模型如圖示:y(t)mP(t)P(t)mymkyP(t)..kmEIlP(t)P

——荷載幅值——荷載頻率運動方程二、簡諧荷載作用下的受迫振動1.運動方程的建立及求解荷載幅值作為靜荷載所引起的最大靜位移運動方程的解為：按荷載頻率振動按自振頻率振動二階線性非齊次常微分方程通解：mEIlP(t)P

——荷載幅值——荷載頻率運動方程先求方程特解：

代入方程,可得二、簡諧荷載作用下的受迫振動1.運動方程的建立及求解齊次解：通解為：荷載幅值作為靜荷載所引起的最大靜位移積分常數(shù)由初始條件確定，設在t=0時的初位移和初速度均為零，則得運動方程的解為：（10－12）式（10-12）中第一項為動荷載引起的振動;第二項為初始條件引起的自由振動。實際上，由于阻尼的存在，自由振動部分都很快衰減掉。自由振動消失前的振動階段稱為過渡階段。后來只按荷載頻率進行的振動階段為振動的平穩(wěn)階段，稱為純受迫振動或穩(wěn)態(tài)振動。按荷載頻率振動按自振頻率振動2.穩(wěn)態(tài)振動分析穩(wěn)態(tài)振動階段運動方程的解：最大動位移：動力系數(shù)：(magnificationfactor)當動荷載與慣性力共線時,還有（1）動位移的討論當時，即動位移與干擾力指向一致；當時，即動位移與干擾力指向相反。1）干擾力產生的動力作用不明顯，因此可當作靜荷載處理。當時，為增函數(shù)。極限情況，即或，則。意味著結構為剛體或荷載不隨時間變化，因此不存在振動問題。

2）共振為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結構的自振頻率,使或。隨θ/ω的增大而增大。非齊次特解代入方程，得故分母為零失效令非齊次特解補充：共振時動力位移會突然增大嗎?非齊次通解零初始條件★共振時，位移是隨時間逐漸增大。時間越短，位移越??；對于轉速高的機器，在啟動或停車的過程中，應迅速通過共振區(qū)?！锢霉舱裾穹怀龃蟮奶攸c，不斷改變機器的轉速，可以測定自振頻率。故★三者同時達到最大值?！餅樨摂?shù)時，位移和慣性力與動荷載方向相反。★慣性力與位移總是同向。動荷載、動位移、慣性力三者的關系體系處于靜止狀態(tài)3）為減函數(shù)通過改變頻比可增加或減小振幅。若要使振幅降低,應采取何種措施?應使頻率比減小，增加結構的自振頻率，增大剛度，減小質量；（剛性方案）（2）降低振幅的措施－頻率比應使頻率比增大，減小結構的自振頻率，減小剛度，增大質量。（柔性方案）

3.動位移幅值（振幅）和動內力幅值的計算計算步驟：（1）計算動力系數(shù)；（2）計算動荷載幅值作為靜荷載作用時引起的位移和內力；（3）將位移和內力分別乘以動力系數(shù)得動位移幅值和動內力幅值。例.求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移。解：Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4最大動位移最大動彎矩跨中最大彎矩跨中最大位移例有一簡支梁（I28b），慣性矩I=7480cm4，截面系數(shù)W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中點有電動機重量Q=35kN，轉速n=500r/min。由于具有偏心，轉動時產生離心力P=10kN，P的豎向分量為Psinθt。忽略梁的質量，試求強迫振動的動力系數(shù)和最大撓度和最大正應力。梁長l=4m.解：1）求自振頻率和荷載頻率

2）求動力系數(shù)β175.6MPaI22b3570cm4357039.739.71.3552.3/57.4=0.91325149.2例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1求梁中點的動位移幅值及最大動力彎矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ω2)求β3)求ydmaxMdmax在挑梁上有一電動機，擾力的幅值為P=4.9kg，轉數(shù)為n=1200轉/分，質量為m=123kg。梁截面轉動慣量為I=78cm4，彈性模量為E=2.1×106kg/cm2，長為l=1m。試求梁端最大動位移和動彎矩圖。1m解（1）自振圓頻率（2）頻率比（3）靜位移和動力系數(shù)（4）梁端最大動位移（5）固定端最大動彎矩★動內力是動荷載和慣性力共同作用下產生的.慣性力幅值動荷載幅值靜彎矩圖動彎矩幅值圖最大位移和最大內力的計算振動體系的最大位移為最大動位移與靜位移之和；振幅為動位移的幅值（最大動位移）；最大內力為最大動內力與靜內力之和。最大動位移和最大動內力要考慮動力系數(shù)的影響；動位移和動內力有正負號的變化，在與靜位移和內力疊加時應予以注意。

ty鋼筋混凝土樓板自由振動試驗曲線

振動過程中引起能量損耗的因素稱為阻尼。10-4阻尼(damping)對振動的影響自由振動衰減與構件固有頻率的關系忽略阻尼影響時所得結果能不能反映實際結構的振動規(guī)律。大體上忽略阻尼的振動規(guī)律考慮阻尼的振動規(guī)律結構的自振頻率是結構的固有特性，與外因無關。簡諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。自由振動的振幅永不衰減。自由振動的振幅逐漸衰減。共振時的振幅趨于無窮大。共振時的振幅較大但為有限值。產生阻尼的原因：結構與支承之間的外摩擦；材料之間的內摩擦；周圍介質的阻力。考慮阻尼的振動模型ykykmP(t)P(t)y動平衡方程：1、有阻尼的自由振動(阻尼比dampingratio）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety設解為：特征方程為：(characteristicequation)1)ξ<1（低阻尼）情況.........cae-ξωttyty低阻尼y-t曲線無阻尼y-t曲線①阻尼對自振頻率的影響.②阻尼對振幅的影響.振幅ae-ξωt隨時間衰減。ae-ξωttyty低阻尼y-t曲線無阻尼y-t曲線①阻尼對自振頻率的影響.當ξ<0.2,則0.96<ωr/ω<1在工程結構問題中0.01<ξ<0.1可近似取.②阻尼對振幅的影響.振幅ae-ξωt隨時間衰減.相鄰兩個振幅的比振幅按等比級數(shù)遞減.稱為振幅的對數(shù)遞減率.(logarithmicdecrement)

設yk和yk+n是相隔n個周期的兩個振幅則:經過一個周期后,相鄰兩振幅yk和yk+1的比值的對數(shù)為:2)ξ=1（臨界阻尼）情況)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動性。工程中常用此方法測定阻尼確定體系阻尼比的一種方法體系的阻尼比可以通過測試體系運動的衰減規(guī)律得到：阻尼體系動力反應：體系從任一時刻經幾個周期后的振幅比為：取對數(shù)后：（3-21）阻尼比：體系阻尼的測試：2）計算阻尼比：1）實測體系經過個周期后的位移幅值比：3）計算阻尼系數(shù)：鋼筋混凝土和砌體結構：x=0.02~0.05;鋼結構：x=0.002~0.02;拱壩：x=0.03~0.05;重力壩：x=0.05~0.1;土壩、堆石壩：x=0.1~0.2常用結構的阻尼比臨界阻尼常數(shù)cr是ξ=1時的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點）(criticaldampingcoefficient)阻尼比。反映阻尼情況的基本參數(shù)。3)ξ>1強阻尼：不出現(xiàn)振動，實際問題不常見。1=cr2、有阻尼的強迫振動（簡諧荷載P(t)=Fsinθt）+{Asinθt+Bcosθt}齊次解加特解得到通解：自由振動，因阻尼作用，逐漸衰減、消失。純強迫振動，平穩(wěn)振動，振幅和周期不隨時間而變.結論：在簡諧荷載作用下，無論是否計入阻尼的作用，純強迫振動部分總是穩(wěn)定的周期運動，稱為平穩(wěn)振動。y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－α)振幅:yp...（2）簡諧荷載P(t)=Fsinθt設特解為：y=Asinθt+Bcosθt代入（17-34）得：+{Asinθt+Bcosθt}齊次解加特解得到通解：自由振動，因阻尼作用，逐漸衰減、消失。純強迫振動，平穩(wěn)振動，振幅和周期不隨時間而變.結論：在簡諧荷載作用下，無論是否計入阻尼的作用，純強迫振動部分總是穩(wěn)定的周期運動，稱為平穩(wěn)振動。y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－α)振幅:yp，最大靜力位移yst=F/k=F/mω2...β與頻率比θ/ω和阻尼比ξ有關4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點討論：①隨ξ增大β曲線漸趨平緩，特別是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最為顯著。②當θ接近ω時，β增加的很快，ξ對β的數(shù)值影響也很大。

xb21=共振時③βmax并不發(fā)生在共振θ/ω=1時，而發(fā)生在，

β與頻率比θ/ω和阻尼比ξ有關4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點討論：①隨ξ增大β曲線漸趨平緩，特別是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最為顯著。②當θ接近ω時，β增加的

xb21=共振時很快，ξ對β的數(shù)值影響也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振區(qū))內，阻尼大大地減小了受迫振動的位移，因此,為了研究共振時的動力反應,阻尼的影響是不容忽略。在共振區(qū)之外阻尼對β的影響較小，可按無阻尼計算。③βmax并不發(fā)生在共振θ/ω=1時，而發(fā)生在，④由y=yPsin(θt－α)可見，只要有阻尼位移總滯后荷載

P=Fsinθt一個相位角α，但因ξ很小，可近似地認為：當θ<<ω時,α→0°體系振動得很慢，F(xiàn)I、R較小，動荷主要由

S平衡，(即P與S反向)，S與y反向，y與P基本上同步；荷載可作靜荷載處理。當θ>>ω時,α→180°體系振動得很快，F(xiàn)I很大，S、R相對說來較小，動荷主要由FI平衡，F(xiàn)I與y同向，y與P反向；位移y、彈性力S，慣性力FI，阻尼力R分別為：...tqsinx21mFw2tFqsin-=kmwx22-=tymPqwqxsin2)-=tymFPI90）qqsin(2-=tkySPq),90sin(--=o當θ=ω時,α→90°由此可見：共振時（θ=ω），S與FI剛好互相平衡，βyst有無阻尼均如此。動荷恰與阻尼力平衡，故運動呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)故不會出現(xiàn)位移為無窮大的情況。而在無阻尼受迫振動時，因不存在阻尼力來平衡動荷載，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。k=mω2=mθ2...tycycRPqq90cos(--=-=o.=－P(t)⑤強迫振動時的能量轉換振動荷載Fsinθt在振動一個周期所輸入的能量.在時間段dt內在一個周期內.在時間段dt內在一個周期內.粘滯阻尼力－cy

在振動一個周期所消耗的能量....當體系有阻尼時,振動過程中總有能量的損耗,為使振動不衰減,就必須經常補充以能量.當穩(wěn)態(tài)振動時,UR=UP⑥彈性動內力幅值的計算一般方法:由于結構的彈性內力與位移成正比，所以位移達到幅值，內力也達到幅值。將位移達到幅值時刻的荷載值和慣性力值加在結構上，按一般靜力學方法求解。慣性力與位移同時達到幅值。荷載與位移無阻尼時同時達到幅值。有阻尼時位移總滯后荷載一個相位角α。比例算法:無阻尼單自由度體系且荷載作用在振動質點上(動荷載與慣性力共線)時，產生振幅yd的外力P為:這意味著，在位移達到幅值時，可用βF代替慣性力和荷載的共同作用（有無阻尼均如此）。βF產生的動內力和動位移是F產生的靜內力和靜位移β倍。注意：位移達幅值時，速度為零，故阻尼力為零，計算時不必考慮阻尼力。EI=∞m例題：圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質量均集中在橫梁處共計為m9.8kN，加一水平力P=9.8kN，測得側移A0=0.5cm，然后突然卸載使結構發(fā)生水平自由振動。再測得周期T=1.5s及一個周期后的側移A1=0.4cm。求結構的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。解：==wxk2=wxmc2=wwxm22例題圖示剛架，柱的抗彎剛度EI=4.5×106N·m2，不計質量；橫梁為剛性，質量m=5000kg。為測得該結構的阻尼系數(shù)，先用千斤頂使橫梁產生25mm的側移，然后突然放開，使剛架產生自由振動。經過5個周期后，測得橫梁側移的幅值為7.12mm，試計算結構的等效粘滯阻尼系數(shù)。解：鋼筋混凝土和砌體結構，鋼結構。各種壩體的。例題試求例題中圖示剛架的自振頻率，并與有阻尼自振頻率比較。解：工程中取是有足夠精度的。例題解在橫梁處加F=98kN的水平力，橫梁發(fā)生側移y0=0.5cm。突然釋放。測得周期Tr=1.5s，一個周期后，橫梁的側移為y1=0.4cm。試求：質體的質量、對數(shù)衰減率、阻尼比。例題解已知:機器的轉速為n=800轉/分,擾力幅值F=3T,地基剛度k=134000T/m,機器和基礎的重量為Q=156T,阻尼比為0.2.試求：質體的振幅。例圖示機器與基礎總重量W=60kN，基礎下土壤的抗壓剛度系數(shù)為cz=0.6N/cm3=0.6×103kN/m3，基礎底面積A=20m2。試求機器連同基礎作豎向振動時(1)自振頻率；(2)機器運轉產生P0sinθt，P0=20kN，轉速為400r/min。求振幅及地基最大壓力。(3)如考慮阻尼，阻尼比ξ=0.15，求振幅及地基最大壓力。WP0sinθt解:(1)讓振動質量產生向下單位位移需施加的力為：

k=czA=0.6×103×20

=12×103kN/m解:(2)求荷載頻率求動力系數(shù)豎向振動振幅地基最大壓力解(3)：求動力系數(shù)豎向振動振幅地基最大壓力例題：單層建筑結構計算簡圖做振動試驗。在橫梁處加一水平力FP=98kN，門架發(fā)生側向位移A0=0.5厘米，然后突然釋放，結構開始自由振動。測得周期Td=0.5秒，5周后測得振幅A5=0.164厘米。求阻尼系數(shù)c,并確定幾周后振幅小于0.05厘米。

FP(1)由于阻尼對周期影響很小，所以

(2)設經過na周，振幅將降到0.05厘米以下，由

例.對圖示剛架進行自由振動以測動力特性。加力20kN時頂部側移2cm，振動一周T=1.4s后，回擺1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。k2k2W=mg解：由(2)自振頻率(3)阻尼特性假設(1)大梁的重量,(4)6周后的振幅剛性橫梁處加一水平力P=9.8kN，測得側移y0=0.5cm，然后突然卸載使結構物發(fā)生水平自由振動。此時測得周期T=1.5sec及一個周期后剛架的側移為y1=0.4cm，試求剛架振動時參與振動的質量m、阻尼比和阻尼系數(shù)c。例1Pym解：Pym工程中的結構有些可簡化為單自由度體系分析單層工業(yè)廠房水塔有些不能作為單自由度體系分析，需簡化為多自由度體系進行分析多層房屋、高層建筑不等高廠房排架和塊式基礎§10-5多自由度體系的自由振動

按建立運動方程的方法，多自由度體系自由振動的求解方法有兩種：剛度法和柔度法。剛度法通過建立力的平衡方程求解，柔度法通過建立位移協(xié)調方程求解，二者各有其適用范圍。多自由度體系自由振動的問題，主要是確定體系的全部自振頻率及其相應的主振型。1、剛度法：（建立力的平衡方程）兩個自由度的體系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2質點動平衡方程:即:設:............結構位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振型.y1(t)y2(t)r2r1乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2kij表示使j點產生單位位移(其它點位移=0)時,在i點需施加的力(稱為剛度系數(shù)).振型計算公式頻率計算公式頻率方程....振型方程與ω2相應的第二振型：因為D=0，兩個振型方程式線性相關的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求與ω1相應的第一振型：

ω2的兩個根均為實根；矩陣[k]為正定矩陣的充分必要條件是：它的行列式的順序主子式全部大于零。故矩陣[k]為正定矩陣。k11k22-k12k21>0ω2的兩個根均為正根；與ω2相應的第二振型：求與ω1相應的第一振型：多自由度體系能夠按某個主振型自由振動的條件是：初始位移和初始速度應當與此主振型相對應。幾點注意：①ρ1ρ2必具有相反的符號。②多自由度體系自振頻率的個數(shù)=其自由度數(shù)，自振頻率由特征方程求出。③每個自振頻率相應一個主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度體系振動時所具有的特定形式。④自振頻率和主振型是體系本身的固有特性。一般解：

在這種特定的初始條件下出現(xiàn)的振動，在數(shù)學上稱為微分方程組的特解，其線性組合即一般解。<0>0例m2m1k2k1質量集中在樓層上m1、m2，層間側移剛度為k1、k2k21k111解：求剛度系數(shù)：k11=k1+k2,k21=－k2,k22k121k22=k2,k12=－k21)當m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w()()kmkmk02222=---ww

代入頻率方程：+1)當m1=m2=m,k11=2k，k12=－ｋmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w求振型：12k12111mkw--2111YY=ω1→第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型12k12211mkw--2212YY=ω2→第二主振型：Y22=－0.618Y12=1第二主振型

2)當m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=－k2求頻率：求振型：如n=90時當上部質量和剛度很小時，頂部位移很大。（鞭梢效應）第一振型：第二振型：特征方程：+++例試求圖示體系的頻率和振型1k21k116i/l6i/l12i/l12i/l6i/l6i/l1k22k126i/l6i/l3i/l3i/lEI1=∞m1EI1=∞m2ii2i2ill解(1)求剛度系數(shù)(2)求頻率解得將ω=ω1代入振型方程,得第一振型將ω=ω2代入振型方程,得第二振型(3)求振型3.36513.36510.19810.1981例求圖所示兩層剛架的自振頻率和振型。已知橫梁為剛性，各立柱的抗彎剛度，立柱的質量忽略不計，橫梁的質量m1=m2=5000kg，每層的高度5m。解：兩個自由度體系，設m1的位移為y1，m2的位移為y21.28091第二主振型10.7808第一主振型2、柔度法y1(t)y2(t)建立振動微分方程：（建立位移協(xié)調方程）

m1、m2的位移y1(t)、

y2(t)應等于體系在當時慣性力作用下所產生的靜力位移。................柔度法建立的振動微分方程δ11δ21P1=1δ12δ22P2=1頻率方程振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全為零。求得頻率：頻率方程和自振頻率：設各質點按相同頻率和初相角作簡諧振動Y1，Y2是質點位移幅值........振動微分方程體系頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目主振型(normalmodeshape)頻率方程振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全為零。不能有振型方程求出Y1，Y2的解，只能求出它們的比值。第一主振型

第二主振型

頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目主振型是體系由此主振型慣性力幅值所引起的靜力位移。Y11Y21Y12Y22例求簡支梁的自振頻率和主振型。l/3l/3l/3解：1）求柔度系數(shù)P=1P=1求得頻率：求得主振型：mm例求簡支梁的自振頻率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果結構本身和質量分布都是對稱的，則主振型不是對稱就是反對稱。故可取半邊結構計算：1對稱情況：l/91反對稱情況：例求圖a所示體系的自振頻率及主振型。梁EI=常數(shù)。解：將原結構化成正對稱和反對稱半結構分別計算（圖b、c）。，

當ω=ω1時，振型為正對稱，則當ω=ω2時，振型為反對稱，則

例：求圖示體系對稱振動情況下的頻率。mmmEIEIEI3m3m3m3mm/2m1210.5110.8750.2511332111Yij為正時表示質量mi的運動方向與計算柔度系數(shù)時置于其上的單位力方向相同，為負時，表示與單位力方向相反。0.5a例試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）計算頻率1a1（2）振型10.277第一振型13.61第二振型例

試求結構的自振頻率和振型.1l/41l/2圖圖m1=mm2=2ml/2l/2l/2EI=常數(shù)解(1)求柔度系數(shù)(2)求頻率(3)求振型第一振型第二振型10.30511.639例求圖示體系的頻率、振型解:令例求圖示體系的頻率、振型解:令例求圖示體系的頻率、振型解:令y1yiynri動平衡方程：riy1yiynri應滿足剛度方程kij是結構的剛度系數(shù)，使點j產生單位位移（其它點位移為零）時在點i所需施加的力。....多自由度體系......或：設解為：{y}={Y}sin(ωt+α)得振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝得頻率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝0可求出ｎ個頻率與ωｉ相應的主振型向量由([K]－ω2ｉ

[M]){Y（ｉ）}=｛0｝不過只能確定主振型的形狀，而不能唯一地確定它的振幅。標準化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。............例：質量集中在樓層上，層間側移剛度如圖。求自振頻率k11=4k/3解：1）求剛度系數(shù)：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5

剛度矩陣[K]和質量矩陣[M]：11展開得：2η3－42η2＋225η－225＝0解得：η1=1.293，η2=6.680，η3=13.0272）求頻率：代入頻率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝03）求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0的后兩式：（令Y3i=1）（a）10.5690.16311.2270.92413.3422.76

Yij為正時表示質量mi的運動方向與單位位移方向相同，為負時，表示與單位位移方向相反。利用剛度法的方程間接導出柔度法方程：由剛度法振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝前乘[K]－1=[δ]后得：([I]－ω2[δ]

[M]){Y}=｛0｝令λ=1/ω2([δ]

[M]－λ[I]){Y}=｛0｝得頻率方程：┃[δ]

[M]－λ[I]┃=0其展開式:是關于λ的n次代數(shù)方程,先求出λi再求出頻率ωi將λi代入([δ]

[M]－λi[I]){Y(i)}=｛0｝可求出n個主振型.可見剛度法、柔度法實質上是相同的，可以互相導出。當計算體系的柔度系數(shù)方便時用柔度法（如梁）；當計算體系的剛度系數(shù)方便時用剛度法（如橫梁剛度為無窮大的多層剛架）。例：質量集中在樓層上，層間側移剛度如圖。δ=1/kδ11=δ解：1）求柔度系數(shù)：m2mmk

柔度矩陣[δ]和質量矩陣[M]：P=1δ21δ31P=1δ32=4δδ22=4δP=1δ13=δδ23=4δδ33=9δδ12=δ展開得:解之:ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151三個頻率為：3）求主振型：（令Y3i=1）將λ1代入振型方程：（[δ][M]－λ1[I]）{Y}＝0的前兩式：

2）求頻率：解得：同理可得第二、第三振型例試求結構的自振頻率和振型.EI=常數(shù)mml/4l/4l/4l/4m13l/161l/4圖圖13l/16圖解(1)求柔度系數(shù)(2)求頻率(3)求振型令每個振型的第一個元素為1，得11.4141第三振型(正對稱)第二振型(反對稱)11第一振型(正對稱)11.4141幾點說明：1)按振型作自由振動時，各質點的速度的比值也為常數(shù)，且與位移比值相同。2)發(fā)生按振型的自由振動是有條件的.4)N自由度體系有N個頻率和N個振型頻率方程解頻率方程得,從小到大排列依次稱作第一頻率,第二頻率...第一頻率稱作基本頻率,其它為高階頻率.將頻率代入振型方程得N個振型N個振型是線性無關的.3)振型與頻率是體系本身固有的屬性,與外界因素無關.多自由度體系自由振動的計算步驟：建立體系自身的質量矩陣M：

根據頻率方程計算結構的各階自振頻率i

計算體系自身的剛度矩陣K或柔度矩陣δ

：

計算結構的主振型向量Yi1、柔度法（忽略阻尼）

tPqsintPqsiny1y2....P（2）動位移的解答及討論§10-7兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動（1）建立振動微分方程各簡諧荷載頻率相同,相位相同，否則用其他方法設純強迫振動解答為：n各自由度體系，存在n個可能的共振點設純強迫振動解答為：代入：（3）動內力幅值的計算....荷載、位移、慣性力同頻、同相、同時達到最大。位移達到最大時，內力也達到最大。求內力時可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結構，用靜力法求出內力，即為動內力幅值?；蛴茂B加公式求：由Y1，Y2值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：代入位移幅值方程可得求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）tPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例：圖示簡支梁EI=常數(shù),θ=0.75ω1求動位移幅值和動彎矩幅值。解：1)求柔度系數(shù)P2)作MP圖，求Δ1PΔ2PP1=1P2=1P5)計算動內力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd圖1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd圖6)比較動力系數(shù)因此，多自由度體系沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)。例已知圖a剛架受簡諧荷載作用，θ=0.6ω,繪出動力彎矩圖Md，并求柱頂最大位移

ymax。解：利用對稱性取半邊結構如圖所示。柱頂位移

，代入方程，得慣性力：

（注意：質量應減半）由于

，代入上式，則方程變?yōu)?/p>

只考慮穩(wěn)態(tài)振動，設方程的特解

代入方程解得，

所以M圖如圖所示。2、剛度法y1(t)y2(t)在平穩(wěn)階段,各質點也作簡諧振動:Y1=D1/D0Y2=D2/D0求得位移幅值Y1、Y2,計算慣性力幅值I1=m1θ2Y1I2=m2θ2Y2。將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力計算方法求得動內力幅值。

....P1(t)P2(t)若則★n個自由度體系有n個共振區(qū)頻率方程（1）共振問題在兩個自由度的振動中，當外界干擾力的頻率等于體系的任意一階自振頻率時，都會出現(xiàn)共振，即體系存在兩個共振點。求圖示剛架樓面處的側移幅值，慣性力幅值和柱底截面彎矩幅值。hPsinθtmEI=∞mEI=∞EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求剛度系數(shù)2)求位移幅值3)求慣性力幅值0.10.075位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA例：m2m1k2k1質量集中在樓層上m1、m2，層間側移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2當m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0兩個質點的位移動力系數(shù)不同。當趨于無窮大?？梢娫趦蓚€自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況。kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產生的靜位移和靜內力yst1=yst2=P/k層間剪力:Qst1=P動荷載產生的位移幅值和內力幅值θ2mY2θ2mY1由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。層間動剪力:例：m2m1k2k1質量集中在樓層上m1、m2，層間側移剛度為k1、k2k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2m1k1m2k2這說明在圖a結構上，適當加以m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動（動力吸振器原理）。吸振器不能盲目設置，必須在干擾力使體系產生較大振動時才有必要設置。吸振原理表明：

為減少單自由度主體結構的振動，可適當?shù)馗郊淤|量－彈簧子系統(tǒng)，只要合理設計就可以消除主體結構的振動。該原理已被應用于工程的調頻質量阻尼系統(tǒng)和調頻液體阻尼系統(tǒng)等結構控制技術中。第七節(jié)多自由度體系受迫振動1、簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動吸振器設計步驟（1）根據m2的許可振幅，選定k2。（2）根據m2=k2/2,確定m2的值?！镌诮Y構上附加子系統(tǒng)，可以消除主結構的振動例：如圖示梁中點放一電動機。重2500N，電動機使梁中點產生的靜位移為1cm，轉速為300r/min，產生的動荷載幅值P=1kN問：1）應加動力吸振器嗎？2）設計吸振器。(許可位移為1cm)Psinθt解：1）頻率比在共振區(qū)之內應設置吸振器。2）k2m2l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如圖示對稱結構在對稱荷載作用下。與ω2相應的振型是12k2211mkw--2212YY==－1當θ=ω2，D0=0，也有：不會趨于無窮大，不發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個。

對稱體系在對稱荷載作用下時，只有當荷載頻率與對稱主振型的自振頻率相等時才發(fā)生共振；當荷載頻率與反對稱主振型的自振頻率相等時不會發(fā)生共振。同理可知：對稱體系在反對稱荷載作用下時，只有當荷載頻率與反對稱主振型的自振頻率相等時才發(fā)生共振。

對于n個自由度體系強迫振動方程Pn(t)Pi(t)P1(t)y1yiyn如果荷載時簡諧荷載則在平穩(wěn)階段,各質點作簡諧振動.振幅方程:如系數(shù)矩陣的行列式可解得振幅{Y}如系數(shù)矩陣的行列式D0=0(θ=ωi)解得振幅{Y}=無窮大對于具有n個自由度的體系,在n種情況下都可能出現(xiàn)共振.........例:質量集中在樓層上，層間側移剛度如圖。F(t)=100sin20.96t解：1、求剛度系數(shù)：

剛度矩陣[K]和質量矩陣[M]：m2=270tm1=315tm3=180tk1=245MN/mk2=196MN/mk2=98MN/mF(t)負號表示干擾力向右達到幅值時，位移向左達到幅值.2、各層柱的剪力幅值1003、各層柱的剪力幅值各樓層的慣性力幅值：負號表示干擾力向右達到幅值時，位移向左達到幅值.89.18726.04519.751Q3=－89.187kNQ2=－89.187－26.045+100=－15.232kNQ1=－89.187－26.045－19.751+100=－34.983kN另外,剪力也可又側移剛度來求:kN/mm慣性力與位移同時達到幅值。荷載與位移無阻尼時同時達到幅值。由于結構的彈性內力與位移成正比，所以位移達到幅值，內力也達到幅值。將位移達到幅值時刻的荷載值和慣性力值加在結構上，按一般靜力學方法求解。

靜力荷載是指其大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷載。這類荷載對結構產生的慣性力可以忽略不計，由它所引起的內力和變形都是確定的。

動力荷載是指其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。這類荷載對結構產生的慣性力不能忽略，因動力荷載將使結構產生相當大的加速度，由它所引起的內力和變形都是時間的函數(shù)。若荷載對結構所產生的影響與靜荷載相比相差甚微——按靜荷載考慮；若荷載對結構所產生的影響與靜荷載相比相差甚大——按動荷載考慮.小結動荷載確定不確定風荷載地震荷載其他無法確定變化規(guī)律的荷載周期非周期簡諧荷載非簡諧荷載沖擊荷載突加荷載其他確定規(guī)律的動荷載結構振動分析隨機振動分析(1)動力自由度數(shù)是確定質量空間位置的獨立坐標（參數(shù)）個數(shù)，它和結構超靜定次數(shù)或獨立位移個數(shù)沒有關系。列運動方程時的剛度系數(shù)和柔度系數(shù)和解超靜定問題時的對應系數(shù)之間也沒有關系。(2)直接平衡法有兩種建立方程的方法：剛度法和柔度法。但都是根據達朗伯爾原理和所采用的阻尼假設在體系上加慣性力和阻尼力。剛度法是考慮質量各自由度方向的平衡；柔度法是建立各自由度方向位移的協(xié)調條件。(3)集中質量多自由度體系的質量矩陣是對角矩陣，其元素為各自由度方向的總質量。剛度矩陣元素為“僅j自由度發(fā)生單位位移時，i自由度方向所需施加的（附加）約束反力”，根據反力互等定理剛度矩陣是對稱的。動力計算中體系的自由度確定運動過程中任意時刻全部質量的位置所需獨立幾何參數(shù)的個數(shù)稱為體系的振動自由度。（1）基本未知量數(shù)目與自由度數(shù)目是一致的。前者強調獨立位移數(shù)目，后者強調獨立坐標數(shù)目。（2）自由度數(shù)與質點個數(shù)無關，但不大于質點個數(shù)的2倍。（3）結構的自由度與是否超靜定無關。（4）可用加鏈桿的方法確定自由度。（5）彈簧和桁架桿不影響體系的自由度。(4)單自由度體系的頻率、周期的計算公式；振幅、相位的算式和各種力的平衡關系；簡諧荷載下純受迫振動的動力放大系數(shù)與頻率比、阻尼比間的關系等等。這些基本概念必須深刻理解、熟練掌握。(5)由于阻尼比一般很小，它對頻率、周期的影響一般可忽略。(6)在共振區(qū)，阻尼的作用是不可忽略的。從能量角度看，阻尼使能量耗散，當不希望有能量耗散時應減少阻尼，而當希望盡可能使輸入結構的能量減少時，應增大阻尼。單自由度體系的自由振動

自由振動：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。自由振動產生原因：體系在初始時刻（t=0）受到外界的干擾。剛度法

體系在慣性力作用下處于動態(tài)平衡。振動方程柔度法

質體的動位移等于質體在慣性力作用下的靜位移。結構的自振周期和圓頻率※※

（naturalperiodandnaturalcircularfrequency）周期頻率圓頻率完成一次振動需要的時間單位時間內完成振動的次數(shù)2π個單位時間內完成振動的次數(shù)幾個定義ya計算公式的幾種形式單自由度體系的強迫振動（不計阻尼）強迫振動——結構在動力荷載作用下的振動，也叫受迫振動。運動方程或荷載幅值作為靜荷載所引起的最大靜位移最大動位移：動力系數(shù)：1）干擾力產生的動力作用不明顯，因此可當作靜荷載處理。當時，為增函數(shù)。2）共振為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結構的自振頻率,使或。隨θ/ω的增大而增大。體系處于靜止狀態(tài)3）為減函數(shù)應使頻率比減小，增加結構的自振頻率，增大剛度，減小質量；（剛性方案）（2）降低振幅的措施－頻率比應使頻率比增大，減小結構的自振頻率，減小剛度，增大質量。（柔性方案）

有阻尼的自由振動(阻尼比dampingratio）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety設解為：特征方程為：(characteristicequation)1)ξ<1（低阻尼）情況...2)ξ=1（臨界阻尼）情況)1(2-±-=xxwl=-wl3)ξ>1強阻尼：不出現(xiàn)振動，實際問題不常見。有阻尼的強迫振動（間諧荷載）（低阻尼體系，ξ<1）振幅:yp，最大靜力位移yst=F/k=F/mω2...β與頻率比θ/ω和阻尼比ξ有關4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點討論：①隨ξ增大β曲線漸趨平緩，特別是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最為顯著。②當θ接近ω時，β增加的

xb21=共振時很快，ξ對β的數(shù)值影響也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振區(qū))內，阻尼大大地減小了受迫振動的位移，因此,為了研究共振時的動力反映,阻尼的影響是不容忽略。在共振區(qū)之外阻尼對β的影響較小，可按無阻尼計算。③βmax并不發(fā)生在共振θ/ω=1時，而發(fā)生在，④由y=yPsin(θt－α)可見，只要有阻尼位移總滯后荷載

P=Fsinθt一個相位角α，但因ξ很小，可近似地認為：當θ<<ω時,α→0°體系振動得很慢，F(xiàn)I、R較小，動荷主要由

S平衡，(即P與S反向)，S與y反向，y與P基本上同步；荷載可作靜荷載處理。當θ>>ω時,α→180°體系振動得很快，F(xiàn)I很大，S、R相對說來較小，動荷主要由FI平衡，F(xiàn)I與y同向，y與P反向；位移y、彈性力S，慣性力FI，阻尼力R分別為：...（3-21）阻尼比：體系阻尼的測試：2）計算阻尼比：1）實測體系經過個周期后的位移幅值比：3）計算阻尼系數(shù)：（7）兩個自由度體系自由振動主要問題是確定體系的全部自振頻率及其相應的主振型。（8）兩個(多個)自由度體系自振頻率個數(shù)與自由度的個數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。（9）每個自振頻率有自己相應的主振型.主振型就是兩個自由度體系能夠按單自由度振動時所具有的特定形式。（10）兩個自由度體系的自振頻率和主振型是體系本身的固有性質。自振頻率只與體系本身的剛度系數(shù)及其質量的分布情形有關，而與外部荷載無關。振型計算公式頻率計算公式頻率方程....振型方程與ω2相應的第二振型：因為D=0，兩個振型方程式線性相關的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求與ω1相應的第一振型：

頻率方程振型方程求得頻率：體系頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目第一主振型

第二主振型

n各自由度體系，存在n個可能的共振點兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動Y1=D1/D0Y2=D2/D0....求得位移幅值Y1、Y2,計算慣性力幅值I1=m1θ2Y1I2=m2θ2Y2。將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力計算方法求得動內力幅值。

(11)不管運動方程用那種方法建立，多自由度體系自由振動最終歸結為求解頻率和振型方程，從數(shù)學上說屬矩陣特征值問題。(12)多自由度體系的自振頻率取決于結構的剛度矩陣（或柔度矩陣）和質量矩陣，頻率方程為：

......或：設解為：{y}={Y}sin(ωt+α)得振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝得頻率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝0可求出ｎ個頻率與ωｉ相應的主振型向量由([K]－ω2ｉ

[M]){Y（ｉ）}=｛0｝不過只能確定主振型的形狀，而不能唯一地確定它的振幅。標準化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。............利用剛度法的方程間接導出柔度法方程：由剛度法振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝前乘[K]－1=[δ]后得：([I]－ω2[δ]

[M]){Y}=｛0｝令λ=1/ω2([δ]

[M]－λ[I]){Y}=｛0｝得頻率方程：┃[δ]

[M]－λ[I]┃=0其展開式:是關于λ的n次代數(shù)方程,先求出λi再求出頻率ωi將λi代入([δ]

[M]－λi[I]){Y(i)}=｛0｝可求出n個主振型.可見剛度法、柔度法實質上是相同的，可以互相導出。當計算體系的柔度系數(shù)方便時用柔度法（如梁）；當計算體系的剛度系數(shù)方便時用剛度法（如橫梁剛度為無窮大的多層剛架）。一般地同理★振型