第八章-基于動態(tài)數(shù)學模型的異步電動機矢量

第八章-基于動態(tài)數(shù)學模型的異步電動機矢量控制系統(tǒng)交流篇主要內(nèi)容：8.1矢量控制的基本概念8.2異步電動機不同坐標下的數(shù)學模型8.3磁場定向和矢量控制方程式8.4異步電動機矢量控制系統(tǒng)8.1矢量控制的基本概念1.直流電動機和異步電動機的電磁轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速是通過轉(zhuǎn)矩改變的。任何電動機都服從基本動力學方程：GD2——飛輪慣量；同樣轉(zhuǎn)矩和電流有以下關系：

可看出勵磁磁場和電樞磁場是相互垂直的，各自獨立，不相互影響。勵磁繞組是固定的。電樞繞組是旋轉(zhuǎn)的，但產(chǎn)生的磁勢Fd空間上是固定的，通常把這種等效的靜止繞組稱作“偽靜止繞組”。異步電動機

定子磁勢Fs和轉(zhuǎn)子磁勢Fr及氣隙磁勢F?都是以同步角速度ωs在空間旋轉(zhuǎn)的矢量。彼此間夾角不是90度，因此系統(tǒng)較復雜。2.矢量控制的基本思想上圖為矢量控制思路。三相交流轉(zhuǎn)換成兩相交流繞組，再轉(zhuǎn)化成旋轉(zhuǎn)的直流繞組。8.2三相異步電動機的多變量非線性數(shù)學模型

假設條件：

（1）忽略空間諧波，設三相繞組對稱，在空間互差120°電角度，所產(chǎn)生的磁動勢沿氣隙周圍按正弦規(guī)律分布；（2）忽略磁路飽和，各繞組的自感和互感都是恒定的；（3）忽略鐵心損耗；（4）不考慮頻率變化和溫度變化對繞組電阻的影響。物理模型

無論電機轉(zhuǎn)子是繞線型還是籠型的，都將它等效成三相繞線轉(zhuǎn)子，并折算到定子側，折算后的定子和轉(zhuǎn)子繞組匝數(shù)都相等。這樣，實際電機繞組就等效成下圖所示的三相異步電機的物理模型。三相異步電動機的物理模型ABCuAuBuC1uaubucabc圖8-2三相異步電動機的物理模型

圖中，定子三相繞組軸線A、B、C在空間是固定的，以A軸為參考坐標軸；轉(zhuǎn)子繞組軸線a、b、c隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子a軸和定子A軸間的電角度為空間角位移變量。規(guī)定各繞組電壓、電流、磁鏈的正方向符合電動機慣例和右手螺旋定則。這時，異步電機的數(shù)學模型由下述電壓方程、磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩方程和運動方程組成。8.2.1電壓方程三相定子繞組的電壓平衡方程為

電壓方程（續(xù)）

與此相應，三相轉(zhuǎn)子繞組折算到定子側后的電壓方程為

上述各量都已折算到定子側，為了簡單起見，表示折算的上角標“’”均省略，以下同此。

式中Rs,Rr—定子和轉(zhuǎn)子繞組電阻。A,B,C,a,b,c—各相繞組的全磁鏈；iA,iB,iC,ia,ib,ic—定子和轉(zhuǎn)子相電流的瞬時值；uA,uB,uC,ua,ub,uc—定子和轉(zhuǎn)子相電壓的瞬時值；電壓方程的矩陣形式

將電壓方程寫成矩陣形式，并以微分算子p代替微分符號

d/dt（8-1a）

或?qū)懗?/p>

（8-1b）

8.2.2.磁鏈方程

每個繞組的磁鏈是它本身的自感磁鏈和其它繞組對它的互感磁鏈之和，因此，六個繞組的磁鏈可表達為

（8-3a）

或?qū)懗?/p>

（8-68b）

電感矩陣式中，L是6×6電感矩陣，其中對角線元素LAA，LBB，LCC，Laa，Lbb，Lcc是各有關繞組的自感，其余各項則是繞組間的互感。實際上，與電機繞組交鏈的磁通主要只有兩類：一類是穿過氣隙的相間互感磁通，另一類是只與一相繞組交鏈而不穿過氣隙的漏磁通，前者是主要的。

電感矩陣式中，L是6×6電感矩陣，其中對角線元素LAA，LBB，LCC，Laa，Lbb，Lcc是各有關繞組的自感，其余各項則是繞組間的互感。實際上，與電機繞組交鏈的磁通主要只有兩類：一類是穿過氣隙的相間互感磁通，另一類是只與一相繞組交鏈而不穿過氣隙的漏磁通，前者是主要的。

電感的種類和計算定子漏感Lls

——定子各相漏磁通所對應的電感，由于繞組的對稱性，各相漏感值均相等；轉(zhuǎn)子漏感Llr

——轉(zhuǎn)子各相漏磁通所對應的電感。定子互感Lms——與定子一相繞組交鏈的最大互感磁通；轉(zhuǎn)子互感Lmr——與轉(zhuǎn)子一相繞組交鏈的最大互感磁通。

由于折算后定、轉(zhuǎn)子繞組匝數(shù)相等，且各繞組間互感磁通都通過氣隙，磁阻相同，故可認為

Lms

=Lmr

自感表達式

對于每一相繞組來說，它所交鏈的磁通是互感磁通與漏感磁通之和，因此，定子各相自感為（8-69）

轉(zhuǎn)子各相自感為

（8-70）

互感表達式

兩相繞組之間只有互感?；ジ杏址譃閮深悾海?）定子三相彼此之間和轉(zhuǎn)子三相彼此之間位置都是固定的，故互感為常值；

（2）定子任一相與轉(zhuǎn)子任一相之間的位置是變化的，互感是角位移的函數(shù)。

第一類固定位置繞組的互感

三相繞組軸線彼此在空間的相位差是±120°，在假定氣隙磁通為正弦分布的條件下，互感值應為，

于是

（8-71）

（8-72）

第二類變化位置繞組的互感定、轉(zhuǎn)子繞組間的互感，由于相互間位置的變化（圖8-1），可分別表示為

當定、轉(zhuǎn)子兩相繞組軸線一致時，兩者之間的互感值最大，就是每相最大互感Lms

。（8-73）（8-74）（8-75）

磁鏈方程

將式（8-3）~式（8-9）都代入式（8-2a），即得完整的磁鏈方程，顯然這個矩陣方程是比較復雜的，為了方便起見，可以將它寫成分塊矩陣的形式

（8-76）

式中（8-77）

（8-78）

值得注意的是，和兩個分塊矩陣互為轉(zhuǎn)置，且均與轉(zhuǎn)子位置有關，它們的元素都是變參數(shù)，這是系統(tǒng)非線性的一個根源。為了把變參數(shù)轉(zhuǎn)換成常參數(shù)須利用坐標變換，后面將詳細討論這個問題。

（8-79）

電壓方程的展開形式

如果把磁鏈方程（8-12b）代入電壓方程（8-11b）中，即得展開后的電壓方程

（8-81）

式中，Ldi/dt

項屬于電磁感應電動勢中的脈變電動勢（或稱變壓器電動勢），(dL/d)i

項屬于電磁感應電動勢中與轉(zhuǎn)速成正比的旋轉(zhuǎn)電動勢。8.2.3.轉(zhuǎn)矩方程

根據(jù)機電能量轉(zhuǎn)換原理，在多繞組電機中，在線性電感的條件下，磁場的儲能和磁共能為

（8-82）

（8-82）

而電磁轉(zhuǎn)矩等于機械角位移變化時磁共能的變化率（電流約束為常值），且機械角位移m=/np

，于是

轉(zhuǎn)矩方程的矩陣形式

將式（8-81）代入式（8-82），并考慮到電感的分塊矩陣關系式（8-77）~（8-80），得（8-83）

又由于

代入式（8-83）得（8-84）

轉(zhuǎn)矩方程的三相坐標系形式以式（8-77）代入式（8-84）并展開后，舍去負號，意即電磁轉(zhuǎn)矩的正方向為使

減小的方向，則（8-85）

應該指出，上述公式是在線性磁路、磁動勢在空間按正弦分布的假定條件下得出來的，但對定、轉(zhuǎn)子電流對時間的波形未作任何假定，式中的i都是瞬時值。因此，上述電磁轉(zhuǎn)矩公式完全適用于變壓變頻器供電的含有電流諧波的三相異步電機調(diào)速系統(tǒng)。8.2.4.電力拖動系統(tǒng)運動方程

在一般情況下，電力拖動系統(tǒng)的運動方程式是（8-86）

TL——負載阻轉(zhuǎn)矩；

J——機組的轉(zhuǎn)動慣量；D——與轉(zhuǎn)速成正比的阻轉(zhuǎn)矩阻尼系數(shù)；K——扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

運動方程的簡化形式對于恒轉(zhuǎn)矩負載，D=0，

K=0，則（8-87）

8.2.5.三相異步電機的數(shù)學模型將式（8-76），式（8-78），式（8-79）和式（8-87）綜合起來，再加上（8-88）

便構成在恒轉(zhuǎn)矩負載下三相異步電機的多變量非線性數(shù)學模型，用結構圖表示出來如下圖所示

異步電機的多變量非線性動態(tài)結構圖

(R+Lp)-1L1()2()1eruiTeTL

npJp

它是圖8-43模型結構的具體體現(xiàn)，表明異步電機數(shù)學模型的下列具體性質(zhì)：（1）異步電機可以看作一個雙輸入雙輸出的系統(tǒng)，輸入量是電壓向量和定子輸入角頻率，輸出量是磁鏈向量和轉(zhuǎn)子角速度。電流向量可以看作是狀態(tài)變量，它和磁鏈矢量之間有由式（8-10）確定的關系。

（2）非線性因素存在于Φ1（?）和Φ2（?）中，即存在于產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)電動勢er和電磁轉(zhuǎn)矩Te兩個環(huán)節(jié)上，還包含在電感矩陣L中，旋轉(zhuǎn)電動勢和電磁轉(zhuǎn)矩的非線性關系和直流電機弱磁控制的情況相似，只是關系更復雜一些。（3）多變量之間的耦合關系主要也體現(xiàn)在Φ1（?）和Φ2（?）兩個環(huán)節(jié)上，特別是產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)電動勢的Φ1對系統(tǒng)內(nèi)部的影響最大。

8.3坐標變換和變換矩陣

上節(jié)中雖已推導出異步電機的動態(tài)數(shù)學模型，但是，要分析和求解這組非線性方程顯然是十分困難的。在實際應用中必須設法予以簡化，簡化的基本方法是坐標變換。1.坐標變換的基本思路

從上節(jié)分析異步電機數(shù)學模型的過程中可以看出，這個數(shù)學模型之所以復雜，關鍵是因為有一個復雜的66電感矩陣，它體現(xiàn)了影響磁鏈和受磁鏈影響的復雜關系。因此，要簡化數(shù)學模型，須從簡化磁鏈關系入手。

直流電機的物理模型

直流電機的數(shù)學模型比較簡單，先分析一下直流電機的磁鏈關系。圖8-4中繪出了二極直流電機的物理模型，圖中F為勵磁繞組，A為電樞繞組，C為補償繞組。F和C都在定子上，只有A是在轉(zhuǎn)子上。把F的軸線稱作直軸或d軸（directaxis），主磁通的方向就是沿著d軸的；A和C的軸線則稱為交軸或q軸（quadratureaxis）。圖8-3二極直流電機的物理模型dqFACifiaic勵磁繞組電樞繞組補償繞組

電樞旋轉(zhuǎn)，通過換向器和電刷作用，電樞磁動勢的軸線始終被電刷限定在q軸位置上，其效果好象一個在q軸上靜止的繞組一樣。但它實際上是旋轉(zhuǎn)的通常把這種等效的靜止繞組稱作“偽靜止繞組”。

分析結果

電樞磁動勢的作用可以用補償繞組磁動勢抵消，或者由于其作用方向與d軸垂直而對主磁通影響甚微，所以直流電機的主磁通基本上唯一地由勵磁繞組的勵磁電流決定，這是直流電機的數(shù)學模型及其控制系統(tǒng)比較簡單的根本原因。

交流電機的物理模型

如果能將交流電機的物理模型（見下圖）等效地變換成類似直流電機的模式，分析和控制就可以大大簡化。坐標變換正是按照這條思路進行的。在這里，不同電機模型彼此等效的原則是：在不同坐標下所產(chǎn)生的磁動勢完全一致。

眾所周知，交流電機三相對稱的靜止繞組A、B、C，通以三相平衡的正弦電流時，所產(chǎn)生的合成磁動勢是旋轉(zhuǎn)磁動勢F，它在空間呈正弦分布，以同步轉(zhuǎn)速1（即電流的角頻率）順著A-B-C的相序旋轉(zhuǎn)。這樣的物理模型繪于下圖a中。

（1）交流電機繞組的等效物理模型ABCABCiAiBiCFω1a）三相交流繞組

旋轉(zhuǎn)磁動勢的產(chǎn)生

然而，旋轉(zhuǎn)磁動勢并不一定非要三相不可，除單相以外，二相、三相、四相、……等任意對稱的多相繞組，通以平衡的多相電流，都能產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動勢，當然以兩相最為簡單。

（2）等效的兩相交流電機繞組Fiiω1b）兩相交流繞組

圖b中繪出了兩相靜止繞組和，它們在空間互差90°，通以時間上互差90°的兩相平衡交流電流，也產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動勢F。當圖a和b的兩個旋轉(zhuǎn)磁動勢大小和轉(zhuǎn)速都相等時，即認為圖b的兩相繞組與圖a的三相繞組等效。（3）旋轉(zhuǎn)的直流繞組與等效直流電機模型1FMTimitMTc）旋轉(zhuǎn)的直流繞組

再看圖c中的兩個匝數(shù)相等且互相垂直的繞組M和T，其中分別通以直流電流im和it，產(chǎn)生合成磁動勢F，其位置相對于繞組來說是固定的。如果讓包含兩個繞組在內(nèi)的整個鐵心以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，則磁動勢F自然也隨之旋轉(zhuǎn)起來，成為旋轉(zhuǎn)磁動勢。

那么這套旋轉(zhuǎn)的直流繞組也就和前面兩套固定的交流繞組都等效了。當觀察者也站到鐵心上和繞組一起旋轉(zhuǎn)時，在他看來，M

和T是兩個通以直流而相互垂直的靜止繞組。如果控制磁通的位置在M軸上，就和直流電機物理模型沒有本質(zhì)上的區(qū)別了。這時，繞組M相當于勵磁繞組，T相當于偽靜止的電樞繞組。

等效的概念

由此可見，以產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁動勢為準則，圖a的三相交流繞組、圖b的兩相交流繞組和圖c中整體旋轉(zhuǎn)的直流繞組彼此等效?；蛘哒f，在三相坐標系下的iA、iB

、iC，在兩相坐標系下的i、i和在旋轉(zhuǎn)兩相坐標系下的直流im、it是等效的，它們能產(chǎn)生相同的旋轉(zhuǎn)磁動勢。

就圖c的M、T兩個繞組而言，當觀察者站在地面看上去，它們是與三相交流繞組等效的旋轉(zhuǎn)直流繞組；如果跳到旋轉(zhuǎn)著的鐵心上看，它們就的的確確是一個直流電機模型了。這樣，通過坐標系的變換，可以找到與交流三相繞組等效的直流電機模型。

現(xiàn)在的問題是，如何求出iA、iB、iC與i、i和im、it之間準確的等效關系，這就是坐標變換的任務。2.三相--兩相變換（3/2變換）

現(xiàn)在先考慮上述的第一種坐標變換——在三相靜止繞組A、B、C和兩相靜止繞組、

之間的變換，或稱三相靜止坐標系和兩相靜止坐標系間的變換，簡稱3/2變換。

下圖中繪出了A、B、C和、兩個坐標系，取A軸和軸重合。設三相繞組每相有效匝數(shù)為N3，兩相繞組每相有效匝數(shù)為N2，各相磁動勢為有效匝數(shù)與電流的乘積，其空間矢量均位于有關相的坐標軸上。

三相和兩相坐標系與繞組磁動勢的空間矢量

AN2iN3iAN3iCN3iBN2iβ60o60oCB

設磁動勢波形是正弦分布的，當三相總磁動勢與二相總磁動勢相等時，兩套繞組瞬時磁動勢在、

軸上的投影都應相等，

寫成矩陣形式，得（8-89）

考慮變換前后總功率不變，在此前提下，可以證明（見附錄2），匝數(shù)比應為（8-90）

代入式（8-89），得（8-91）

令C3/2

表示從三相坐標系變換到兩相坐標系的變換矩陣，則（8-92）

三相—兩相坐標系的變換矩陣

如果三相繞組是Y形聯(lián)結不帶零線，則有iA+iB+iC=0，或iC=iAiB

。代入式（8-92）和（8-93）并整理后得（8-94）

（8-95）

按照所采用的條件，電流變換陣也就是電壓變換陣，同時還可證明，它們也是磁鏈的變換陣。8.3.3.兩相—兩相旋轉(zhuǎn)變換（2s/2r變換）

從上圖等效的交流電機繞組和直流電機繞組物理模型的圖b和圖c中從兩相靜止坐標系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標系M、T

變換稱作兩相—兩相旋轉(zhuǎn)變換，簡稱2s/2r變換，其中s表示靜止，r表示旋轉(zhuǎn)。把兩個坐標系畫在一起，即得下圖。

兩相靜止和旋轉(zhuǎn)坐標系與磁動勢（電流）空間矢量

itsiniFs1imcosimimsinitcosiβitMT

圖中，兩相交流電流i、i和兩個直流電流im、it產(chǎn)生同樣的以同步轉(zhuǎn)速1旋轉(zhuǎn)的合成磁動勢Fs。由于各繞組匝數(shù)都相等，可以消去磁動勢中的匝數(shù)，直接用電流表示，例如Fs可以直接標成is。但必須注意，這里的電流都是空間矢量，而不是時間相量。

M，T軸和矢量Fs（is）都以轉(zhuǎn)速1旋轉(zhuǎn)，分量im、it的長短不變，相當于M，T繞組的直流磁動勢。但、軸是靜止的，軸與M軸的夾角

隨時間而變化，因此is在、軸上的分量的長短也隨時間變化，相當于繞組交流磁動勢的瞬時值。由圖可見，i、i和im、it之間存在下列關系

2s/2r變換公式寫成矩陣形式，得

（8-96）

（8-97）

是兩相旋轉(zhuǎn)坐標系變換到兩相靜止坐標系的變換陣。

式中

兩相旋轉(zhuǎn)—兩相靜止坐標系的變換矩陣

對式（8-96）兩邊都左乘以變換陣的逆矩陣，即得

(8-98)(8-99)則兩相靜止坐標系變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標系的變換陣是

電壓和磁鏈的旋轉(zhuǎn)變換陣也與電流（磁動勢）旋轉(zhuǎn)變換陣相同。

兩相靜止—兩相旋轉(zhuǎn)坐標系的變換矩陣

令矢量is

和M軸的夾角為s

，已知im、it

，求is

和s

，就是直角坐標/極坐標變換，簡稱K/P變換。4.直角坐標/極坐標變換（K/P變換）

顯然，其變換式應為

（8-100）（8-101）

當s在0°~90°之間變化時，tans的變化范圍是0~∞，這個變化幅度太大，很難在實際變換器中實現(xiàn)，因此常改用下列方式來表示s值

（8-102）

式（8-102）可用來代替式（8-101），作為s的變換式。這樣8.4三相異步電動機在兩相坐標系上的

數(shù)學模型

前已指出，異步電機的數(shù)學模型比較復雜，坐標變換的目的就是要簡化數(shù)學模型。第8.2節(jié)的異步電機數(shù)學模型是建立在三相靜止的ABC坐標系上的，如果把它變換到兩相坐標系上，由于兩相坐標軸互相垂直，兩相繞組之間沒有磁的耦合，僅此一點，就會使數(shù)學模型簡單了許多。

異步電機在兩相任意旋轉(zhuǎn)坐標系（dq坐

標系）上的數(shù)學模型

兩相坐標系可以是靜止的，也可以是旋轉(zhuǎn)的，其中以任意轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的坐標系為最一般的情況，有了這種情況下的數(shù)學模型，要求出某一具體兩相坐標系上的模型就比較容易了。

變換關系

設兩相坐標d軸與三相坐標A軸的夾角為s，而ps=dqs為dq坐標系相對于定子的角轉(zhuǎn)速，dqr為dq坐標系相對于轉(zhuǎn)子的角轉(zhuǎn)速。ABCFsdqssdq

要把三相靜止坐標系上的電壓方程（8-67a）、磁鏈方程（8-68a）和轉(zhuǎn)矩方程（8-85）都變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標系上來，可以先利用3/2變換將方程式中定子和轉(zhuǎn)子的電壓、電流、磁鏈和轉(zhuǎn)矩都變換到兩相靜止坐標系、

上，然后再用旋轉(zhuǎn)變換陣C2s/2r

將這些變量變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標系dq上。

變換過程

具體的變換運算比較復雜，此處從略，需要時可參看附錄3。ABC坐標系坐標系dq坐標系3/2變換C2s/2r（1）磁鏈方程

dq坐標系磁鏈方程[式（附3-8）]為

或?qū)懗?/p>

（8-103a）

（8-103b）

——dq坐標系轉(zhuǎn)子等效兩相繞組的自感。

式中——dq坐標系定子與轉(zhuǎn)子同軸等效繞組間的互感；——dq坐標系定子等效兩相繞組的自感；注意：

兩相繞組互感是原三相繞組中任意兩相間最大互感（當軸線重合時）的3/2倍，這是因為用兩相繞組等效地取代了三相繞組的緣故。dq坐標系上,定子和轉(zhuǎn)子的等效繞組都落在同樣的兩根軸d和q上，而且兩軸互相垂直，它們之間沒有耦合關系，電感矩陣比ABC坐標系的66矩陣簡單多了。

異步電機在兩相旋轉(zhuǎn)坐標系dq上的物理模型

dqsdqdrirdisdirqusddsqrqsurdurqusqisq圖8-7異步電動機在兩相旋轉(zhuǎn)坐標系dq上的物理模型

異步電機在兩相旋轉(zhuǎn)坐標系dq上的物理模型

dqsdqdrirdisdirqusddsqrqsurdurqusqisq圖8-7異步電動機在兩相旋轉(zhuǎn)坐標系dq上的物理模型（2）電壓方程

在附錄3-2中得到的dq坐標系電壓方程式[式（附3-3）和式（附3-4）]，略去零軸分量后，可寫成（8-104）

將磁鏈方程式（8-103b）代入式（8-104）中，得到dq坐標系上的電壓—電流方程式如下（8-105）

對比式（8-105）和式（8-67a）可知，兩相坐標系上的電壓方程是4維的，它比三相坐標系上的6維電壓方程降低了2維。在電壓方程式（8-105）等號右側的系數(shù)矩陣中，含R項表示電阻壓降，含Lp項表示電感壓降，即脈變電動勢，含項表示旋轉(zhuǎn)電動勢。為了使物理概念更清楚，可以把它們分開寫即得

（8-106a）

令旋轉(zhuǎn)電動勢向量

則式（8-106a）變成（8-106b）

這就是異步電機非線性動態(tài)電壓方程式。與第8.2節(jié)中ABC坐標系方程不同的是：此處電感矩陣L變成44常參數(shù)線性矩陣，而整個電壓方程也降低為4維方程。其中——電機轉(zhuǎn)子角速度。

（3）轉(zhuǎn)矩和運動方程

dq坐標系上的轉(zhuǎn)矩方程為

（8-107）

運動方程與坐標變換無關，仍為

（8-87）

式（8-103a）、式（8-104）或式（8-105），式（8-107）和式（8-87）構成異步電機在兩相以任意轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的dq坐標系上的數(shù)學模型。它比ABC坐標系上的數(shù)學模型簡單得多，階次也降低了，但其非線性、多變量、強耦合的性質(zhì)并未改變。

將式（8-104）或（8-105）的dq軸電壓方程繪成動態(tài)等效電路，如圖8-51所示，其中，圖8-51a是d軸電路，圖8-51b是q軸電路，它們之間靠4個旋轉(zhuǎn)電動勢互相耦合。圖中所有表示電壓或電動勢的箭頭都是按電壓降的方向畫的。

異步電機在dq坐標系上的動態(tài)等效電路a）d軸電路b）q軸電路

dqssqisdusdRsirdLlsLlrLmurdpsdprddqrrqRrdqssdisqusqRsirqLlsLlrLmurqpsqprqdqrrdRr2.異步電機在坐標系上的數(shù)學模型

在靜止坐標系、上的數(shù)學模型是任意旋轉(zhuǎn)坐標系數(shù)學模型當坐標轉(zhuǎn)速等于零時的特例。當dqs=0時，dqr=-，即轉(zhuǎn)子角轉(zhuǎn)速的負值，并將下角標d，q改成、，則式（8-105）的電壓矩陣方程變成（8-108）

（8-109）

而式（8-103a）的磁鏈方程改為

利用兩相旋轉(zhuǎn)變換陣C2s/2r

，可得

式（8-108）~式（8-110）再加上運動方程式便成為、

坐標系上的異步電機數(shù)學模型。這種在兩相靜止坐標系上的數(shù)學模型又稱作Kron的異步電機方程式或雙軸原型電機基本方程式。（8-110）

代入式（8-107）并整理后，即得到、

坐標上的電磁轉(zhuǎn)矩3.異步電機在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標系上的數(shù)學模型

另一種很有用的坐標系是兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標系，其坐標軸仍用d，q表示，只是坐標軸的旋轉(zhuǎn)速度dqs等于定子頻率的同步角轉(zhuǎn)速1。而轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為，因此dq軸相對于轉(zhuǎn)子的角轉(zhuǎn)速dqr=1-=s，即轉(zhuǎn)差。代入式（8-105），即得同步旋轉(zhuǎn)坐標系上的電壓方程

在二相同步旋轉(zhuǎn)坐標系上的電壓方程

（8-111）

磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩方程和運動方程均不變。

兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標系的突出特點是，當三相ABC坐標系中的電壓和電流是交流正弦波時，變換到dq坐標系上就成為直流。8.5三相異步電動機在兩相坐標系上的

狀態(tài)方程

作為異步電機控制系統(tǒng)研究和分析基礎的數(shù)學模型，過去經(jīng)常使用矩陣方程，近來越來越多地采用狀態(tài)方程的形式，因此有必要再介紹一下狀態(tài)方程。為了簡單起見，這里只討論兩相同步旋轉(zhuǎn)dq坐標系上的狀態(tài)方程，如果需要其它類型的兩相坐標，只須稍加變換，就可以得到。

第8.4節(jié)的分析結果告訴我們，在兩相坐標系上的電壓源型變頻器—異步電機具