(最新)數字信號處理程佩青第4版第1章 離散時間信號與系統

第1章

離散時間信號與系統學習目標掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義,掌握序列的基本運算，并會判斷序列的周期性。掌握線性/移不變/因果/穩(wěn)定的離散時間系統的概念并會判斷，掌握線性移不變系統及其因果性/穩(wěn)定性判斷的充要條件。理解常系數線性差分方程及其用迭代法求解單位抽樣響應。了解對連續(xù)時間信號的時域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復過程。1.1離散時間信號——序列信號是傳遞信息的函數。針對信號的自變量和函數值的取值，可分為三種信號：（1）連續(xù)時間信號 -----自變量取連續(xù)值，而函數值可連續(xù)可離散。當函數值是連續(xù)的，又常稱模擬信號，如語音信號、電視信號等。（2）離散時間信號 -----自變量取離散值，而函數值連續(xù)。（3）數字信號 -----自變量和函數值均取離散值。它是信號幅度離散化了的離散時間信號。離散時間信號是對模擬信號xa(t)進行等間隔采樣獲得的，采樣間隔為T，得到：1.1.1、離散時間信號——序列的概念0txa(t)0xa(nT)tT2T這里

n取整數。對于不同的

n值，xa(nT)

是一個有序的數字序列，該數字序列就是離散時間信號。注意，這里的n取整數，非整數時無定義，另外，在數值上它等于信號的采樣值，即離散時間信號的表示方法：公式表示法、圖形表示法、集合符號表示法，如學習要點：P61.n必須為整數2.模擬信號也可以采用非等間隔時間采樣3.序列的表示法函數法數列表示n=0的值x(0)用下劃線標注。圖形表示法1.1.5、常用序列P191.單位抽樣序列(n)01/t(t)0(1)t(t)1n0(n)n=-5:5;x=impulse_DT(n);stem(n,x),xlabel('n'),gridontitle('單位沖激序列')axis([-55-0.11.1])functiony=impulse_DT(n)y=(n==0);2.單位階躍序列u(n)t0u(t)1…0nu(n)functiony=u_DT(n)y=n>=0;%當參數為非負時輸出1n=-5:5;x=u_DT(n);stem(n,x'),xlabel('n'),gridontitle('單位階躍序列')axis([-55-0.11.1])(n)與u(n)之間的關系令n-k=m，有3.矩形序列RN(n)N為矩形序列的長度0nR4(n)123n=-5:8;x=u_DT(n)-u_DT(n-5);stem(n,x),xlabel('n'),gridontitle('矩形序列R_5(n)')axis([-58-0.11.1])4.實指數序列，a為實數0n0<a<10na>1a<-1或-1<a<0,序列的幅值擺動0n-1<a<00na<-1n=0:15;a1=1.4;a2=-1.4;a3=0.6;a4=-0.6;x1=a1.^n;x2=a2.^n;x3=a3.^n;x4=a4.^n;subplot(221)stem(n,x1,'fill'),gridonxlabel('n'),title('x(n)=1.4^{n}')subplot(222)stem(n,x2,'fill'),gridonxlabel('n'),title('x(n)=(-1.4)^{n}')subplot(223)stem(n,x3,'fill'),gridonxlabel('n'),title('x(n)=0.6^{n}')subplot(224)stem(n,x4,'fill'),gridonxlabel('n'),title('x(n)=(-0.6)^{n}')5.復指數序列（虛指數序列）這里ω0為數字域頻率，單位為弧度。當=0時，上式可表示成上式還可寫成表明復指數序列具有以2為周期的周期性，在以后的研究中，頻率域只考慮一個周期就夠了。6.正弦序列式中，ω為數字域頻率，單位為弧度。如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么Ω為模擬角頻率，單位為弧度/秒。T為信號的采樣周期，fs為信號的采樣頻率。（難點）P21小結P20-21，這些在剛才的解釋中已經說明。至于周期性的判斷見1.1.6節(jié)復習前面學了常用序列和matlab編程！下面繼續(xù)。。。。。。1.1.2、序列的運算1.序列的加法x1(n)n0x2(n)n0x1(n)+x2(n)n0同序號的序列值逐項對應相加補充：不足位補零基于幅度的運算2.序列的乘法x1(n)n0x2(n)n00nx1(n)

·x2(n)同序號的序列值逐項對應相乘3.累加（等效積分）4.序列絕對和有啥用？P7以后會學5.序列能量能量有限或能量信號一般而言，值有限的有限長序列或絕對可和的無限長序列都是能量信號比如說。。。6.序列平均功率若P=C<無窮大，則功率有限或功率信號，一般，周期信號和隨機信號都是功率信號1.序列的移位*****當n0>0時，序列右移 ——延遲x(n)n0n0x(n-2)基于序號n的運算x(n)n0n0x(n+2)當n0<0時，序列左移 ——超前2.序列的翻轉n0x(-n)x(-n)是x(n)的翻轉序列。x(-n)是以縱軸（n=0）為對稱軸將序列x(n)加以翻轉。Fliplr()x(n)n02.序列的翻轉與移位P83.尺度變換x(n)n0n0x(2n)是序列每隔m點取一點形成的，相當于時間軸n壓縮了m倍。下采樣

——抽取序列是序列相鄰抽樣點間補（m－1)個零值點，表示零值插值。上采樣

——插值序列（1）.差分運算

前向差分 后向差分即對序號n又對幅度的運算有了這神器，上知天文下知地理（2）.卷積和運算，詳見1.1.3即對序號n又對幅度的運算（3）.相關運算，詳見1.1.4（4）.共軛對稱分量和共軛反對稱分量，詳見后續(xù)分析1.1.3.卷積和*****1.卷積和步驟：等效為翻褶、移位、相乘和相加四個步驟。請看教材P9-10重點講解，板書?。。?！2.3種方法計算卷積和，必需重點掌握的內容，P9-15方法步驟：見教材9-10作為公式記住卷積神器來也---對位相乘相加法！復習卷積的計算！以下來一個！2015-10-16一定注意卷積的實質啊？例：求：解：1.翻褶.以m=0為對稱軸，折疊h(m)

得到h(-m)，對應序號相乘，相加得y(0)；2.位移一個單元，對應序號相乘，相加得y(1)；3.重復步驟2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

x(m)01231/213/2m012m1h(m)在啞巴變量坐標m上作出x(m),h(m)01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)得y(1)x(m)翻褶位移1對應相乘，逐個相加。-1012345y(n)n1/23/235/23/23.卷積和序列的長度重點是H的行數和列數??！課堂練習：已知x(n)={1,2,4,3,6},h(n)={2,1,5,7},試求y(n)=x(n)*h(n)。采用列表法、對位相乘相加法、及matlab編程方法求解序列的相關性作用：P161.互相關P16（1）定義說明3個步驟不滿足交換律1.互相關（2）性質偶對稱不是偶函數絕對可和時，1.互相關（4）相關與卷積之關系1.互相關（3）m的取值范圍(看書，真累)由于得到啰啰嗦嗦的用雞蛋砸你2.自相關（1）定義（2）性質偶對稱m=0最大絕對可和時，3.功率信號(周期信號)相關（1）定義4.例題1.71.81.9課堂習題設周期N=2pi/w,求自相關函數。作業(yè)課后習題P581.181.1.6.周期序列如果對所有n存在一個最小的正整數N，使下面等式成立：例：則稱x(n)為周期序列，最小周期為N。一般正弦序列的周期性設那么如果則N，k均取整數式中，A為幅度，ω0為數字域頻率，為初相。正弦序列的周期性討論：整數時，則正弦序列有周期，當k=1時，周期為有理數時，設=P/Q，要使N=(2/0)k=(P/Q)k為最小正整數，只有k=Q，即N=P時，所以正弦序列的周期為P無理數時，則正弦序列無周期。例如，練習：P561.4（8）1.1.7用單位采樣序列來表示任意序列作業(yè)1.31.4，1.161.171.2線性移不變系統離散時間系統T[?]x(n)y(n)在時域離散系統中，最重要、最常用的是線性時不變系統。系統可定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一變換或運算，并用T[]表示，即1.2.1離散時間線性系統若系統滿足可加性與比例性,則稱此系統為離散時間線性系統。*****其中a、b為任意常數。設注意教材P24

怎么證明一個系統是線性系統？

怎么證明一個系統不是線性系統？怎么使壞

[例1.10][補例]是線性系統。證：所以，此系統是線性系統。[例]所代表的系統不是線性系統。證：但是所以，此系統不是線性系統。1.2.2時不變系統（移不變系統）時不變系統T[?]x(n)y(n)若則n0為任意整數。輸入移動任意位（如n0位），其輸出也移動這么多位，而幅值卻保持不變。[例1.11]證：所以，此系統是時不變系統。[例1.13]證：所以，此系統不是時不變系統。同理，可證明所代表的系統不是時不變系統。1.2.3線性時不變系統輸入與輸出

之間的關系T[?](n)h(n)一個既滿足疊加原理，又滿足時不變條件的系統，被稱為線性時不變系統(linearshiftinvariant,LTI)。線性時不變系統可用它的單位抽樣響應來表征。

單位取樣響應，也稱單位沖激響應，是指輸入為單位沖激序列時系統的輸出，一般用h(n)來表示：根據線性系統的疊加性質又根據時不變性質設系統的輸入用x(n)表示，而因此，系統輸出為通常把上式稱為離散卷積或線性卷積。這一關系常用符號“*”表示：

線性時不變系統的一個重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關系：用單位取樣響應h(n)來描述系統h(n)x(n)y(n)[例]設有一線性時不變系統，其單位取樣響應為解：分段考慮如下：(1)對于n<0；(2)對于0≤n≤N－1；(3)對于nN。(2)在0n<N區(qū)間上(3)在nN區(qū)間上(1)(2)(3)y(n)例設有一線性時不變系統，其3142x(m)m01234215h(m)m10234解：m0-2-3-4-11h(-m)-3-1120mh(1-m)-23-1120mh(2-m)-2ny(n)-1120-2345665241322103142x(m)m01234對有限長序列相卷，可用豎乘法注：1.各點要分別乘、分別加且不跨點進位；2.卷和結果的起始序號等于兩序列的其實序號之和。由上面幾個例子的討論可見，h(n)x(n)y(n)設x(n)和h(n)兩序列的長度分別是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M-1)。線性卷積滿足以下運算規(guī)律：交換律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)結合律分配律h1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+h2(n)x(n)y(n)序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：如果序列與一個移位的單位取樣序列(n-n0)進行線性卷積，就相當于將序列本身移位n0：[例]h1(n)x(n)y(n)h2(n)求系統的輸出y(n)。m(n)解：設級聯的第一個系統輸出m(n)1.2.4系統的因果性在系統中，若輸出y(n)只取決于n時刻，以及n時刻以前的輸入，即稱該系統是因果系統。對于線性時不變系統，具有因果性的充要條件是系統的單位取樣響應滿足：如因果系統是指輸出的變化不領先于輸入的變化的系統。系統的因果性判斷P29說明1.一般情況下，若y(n0)只與n0及以前時刻的輸入x(n)有關，則為因果系統2.對于線性時不變系統，具有因果性的充要條件是系統的單位取樣響應滿足：練習P571.7（3）1.2.5穩(wěn)定系統對一個線性時不變系統來說，系統穩(wěn)定的充要條件是單位取樣響應絕對可和，即穩(wěn)定系統是指對于每個有界輸入x(n)，都產生有界輸出y(n)的系統。對于通用系統，如果|x(n)|≤M<∞(M為正常數)，有|y(n)|≤P<+∞，則該系統被稱為穩(wěn)定系統。[例]設某線性時不變系統，其單位取樣響應為式中a是實常數，試分析該系統的因果穩(wěn)定性。解：由于n<0時，h(n)=0，故此系統是因果系統。所以時，此系統是穩(wěn)定系統。[例]設某線性時不變系統，其單位取樣響應為式中a是實常數，試分析該系統的因果穩(wěn)定性。解：(1)討論因果性由于n<0時，h(n)0，故此系統是非因果系統。

(2)討論穩(wěn)定性所以時，此系統是穩(wěn)定系統。復習1.上次學了線性、移不變、因果、穩(wěn)定性的判斷前提是直接給了系統函數1.3常系數線性差分方程一個N階線性常系數差分方程用下式表示：連續(xù)時間線性時不變系統常系數線性微分方程離散時間線性時不變系統常系數線性差分方程求解差分方程的基本方法有三種：經典法求齊次解、特解、全解遞推法求解時需用初始條件啟動計算變換域法將差分方程變換到Z域進行求解例1.15*******課堂練習，當初始條件為，證明線性，移不變，因果性？？[例]設差分方程為求輸出序列設系統參數設輸入為初始條件為解：依次類推但初始條件為時延時延時a0x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0x(n-1)a1-b1y(n)差分方程表示法的另一優(yōu)點是可以直接得到系統的結構

例題1.16

例題1.171.4連續(xù)時間信號的抽樣連續(xù)時間信號離散時間信號采樣內插信號經過采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例如，信號頻譜將發(fā)生怎樣變化；經過采樣后信號內容會不會有丟失；如果信號沒有被丟失，其反變換應該怎樣進行，即由數字信號恢復成模擬信號應該具備那些條件等。1.4.1采樣S0tT2T0tP(t)T0txa(t)最高頻率為fc

定義預備知識補充：

單位沖擊函數t0(t)(1)單位沖擊函數有一個重要的性質：采樣性若f(t)為連續(xù)函數，則有將上式推廣，可得t0(t-t0)理想采樣1、理想采樣xa(t)P(t)0txa(t)^0t0tT1T2、理想抽樣信號的頻譜：頻譜的周期延拓即即由于是周期函數可用傅立葉級數表示，即采樣角頻率系數對稱性移頻特性根據信號與系統預備知識補充：

傅立葉變換的性質：0(S)S2