2019屆江蘇省高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)與策略訓(xùn)練第1部分專(zhuān)題5第16講高考中的圓(含解析)

第16講高考取的圓題型一|直線(xiàn)與圓及圓與圓(2019·江蘇高考)如圖16－1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2,4)．圖16－1(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線(xiàn)x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線(xiàn)l與圓M訂交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線(xiàn)l的方程；→→→＋TP＝TQ，務(wù)實(shí)數(shù)t(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)知足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得TA的取值范圍．圓N與圓M外切0―→寫(xiě)出圓N的方程0――→求出y[解題指導(dǎo)](1)設(shè)圓心N(6，y)圓N與x軸相切l(wèi)∥OA―→設(shè)l的方程―→弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑間的關(guān)系―→求l的方程(3)設(shè)

P，Q的坐標(biāo)

成立

P，Q坐標(biāo)間的關(guān)系

等價(jià)轉(zhuǎn)變――→圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系[解]圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線(xiàn)x＝6上，可設(shè)N(6，y0)．因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，圓N的半徑為y0，進(jìn)而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.3分所以，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1.4分(2)因?yàn)橹本€(xiàn)l∥OA，4－0所以直線(xiàn)l的斜率為＝2.5分2－0設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，則圓心M到直線(xiàn)l的距離d＝|2×6－7＋m||m＋5|＝.7分55因?yàn)锽C＝OA＝22＋42＝25，2BC2而MC＝d＋2，m＋52所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.9分2故直線(xiàn)l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.10分(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．→→→因?yàn)锳(2,4)，T(t,0)，TA＋TP＝TQ，x2＝x1＋2－t，所以①11分y＝y(tǒng)＋4.21因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②12分將①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.13分于是點(diǎn)P(x1，y1)既在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，進(jìn)而圓(x－6)2＋(y－7)2＝25與圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共點(diǎn)，所以5－5≤[t＋4－6]2＋3－72≤5＋5，14分解得2－221≤t≤2＋221.所以，實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2－221，2＋221].16分【名師評(píng)論】此題波及知識(shí)面較廣，既考察了直線(xiàn)與直線(xiàn)的地點(diǎn)關(guān)系，也考查了直線(xiàn)與圓及圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系，求解的重點(diǎn)是充分利用上述關(guān)系成立數(shù)目關(guān)系，注意等價(jià)轉(zhuǎn)變思想的應(yīng)用．1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)．(1)求圓M的方程；→→(2)若直線(xiàn)l：mx－2y－(2m＋1)＝0與圓M交于點(diǎn)P，Q，且MP·MQ＝0，務(wù)實(shí)數(shù)m的值．[解](1)法一：設(shè)圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D＋F＋1＝0，則3D＋F＋9＝0，5分E＋F＋1＝0，D＝－4，解得E＝－4，F(xiàn)＝3.所以圓M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0.8分法二：線(xiàn)段AC的垂直均分線(xiàn)的方程為y＝x，線(xiàn)段AB的垂直均分線(xiàn)的方程為x＝2，y＝x，由解得M(2,2).5分x＝2，所以圓M的半徑r＝AM＝5，所以圓M的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.8分→→π(2)因?yàn)镸P·MQ＝0，所以∠PMQ＝2.10又由(1)得MP＝MQ＝r＝5，所以點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離d＝2.14分|2m－4－2m－1|10由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可知，2＝2，解得m＝±6.16分m＋42．(2019·江蘇高考)如圖16－2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線(xiàn)l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．圖16－2(1)若圓心C也在直線(xiàn)y＝x－1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．[解](1)由題設(shè)，圓心C是直線(xiàn)y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線(xiàn)的斜率必存在．設(shè)過(guò)A(0,3)的圓C的切線(xiàn)方程為y＝kx＋3.3分|3k＋1|＝1，解得k＝0或k＝－3由題意，得24，k＋1故所求切線(xiàn)方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.6分(2)因?yàn)閳A心在直線(xiàn)y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，10分所以x2＋y－32＝2x2＋y2，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則－≤≤＋，即1≤2－32≤3.|21|CD21a＋2a整理，得－8≤5a2－12a≤0.14分由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；212由5a－12a≤0，得0≤a≤5.12所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0，5.16分題型二|與圓相關(guān)的函數(shù)建模問(wèn)題(2019·江蘇高考)如圖16－3，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)建立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的界限為圓心M在線(xiàn)段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩頭O和A到該圓上隨意一點(diǎn)的距離均許多于80m．經(jīng)丈量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C4位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝3.圖16－3(1)求新橋BC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？[解題指導(dǎo)](1)成立平面直角坐標(biāo)系―→求AB，BC的斜率―→求點(diǎn)B及BC的長(zhǎng)設(shè)OM＝d，圓的半徑為r―→用d表示r―→成立對(duì)于d的不等式組―→求d的范圍[解]法一：(1)如圖(1)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線(xiàn)為x軸，成立平面直角坐標(biāo)系xOy.(1)由條件知A(0,60)，C(170,0)，4直線(xiàn)BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－3.3又因?yàn)锳B⊥BC，所以直線(xiàn)AB的斜率kAB＝4.4分設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a，b)，則kBC＝b－0＝－4，①a－1703b－603kAB＝＝.②a－04聯(lián)立①②解得a＝80，b＝120.6分所以BC＝170－802＋0－1202＝150.所以新橋BC的長(zhǎng)是150m．8分(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的界限圓M的半徑為rm，OM＝dm(0≤d≤60)．4由條件知，直線(xiàn)BC的方程為y＝－3(x－170)，即4x＋3y－680＝0.10分|3d－680|因?yàn)閳AM與直線(xiàn)BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線(xiàn)BC的距離是r，即r＝42＋32680－3d＝.12分5因?yàn)镺和A到圓M上隨意一點(diǎn)的距離均許多于80m，680－3dr－d≥80，5－d≥80，所以即r－60－d≥80，680－3d5－60－d≥80.解得10≤d≤35.14分680－3d故當(dāng)d＝10時(shí)，r＝最大，即圓面積最大．5所以當(dāng)OM＝10m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.16分法二：(2)(1)如圖(2)，延伸OA，CB交于點(diǎn)F.因?yàn)閠an∠FCO＝4，3所以sin∠FCO＝4，53cos∠FCO＝5.2分因?yàn)镺A＝60，OC＝170，680OC850500所以O(shè)F＝OCtan∠FCO＝3，CF＝cos∠FCO＝3，進(jìn)而AF＝OF－OA＝3.分4因?yàn)镺A⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝5.又因?yàn)锳B⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝4003，進(jìn)而B(niǎo)C＝CF－BF＝150.所以新橋BC的長(zhǎng)是150m．8分(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的界限圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD＝rm，OM＝dm(0≤d≤60)．因?yàn)镺A⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO＝MD＝MD＝r＝3，MFOF－OM68053－d所以r＝680－3d5.12分因?yàn)镺和A到圓M上隨意一點(diǎn)的距離均許多于80m，r－d≥80，680－3d－d≥80，5所以即r－60－d≥80，680－3d－60－d≥80，5解得10≤d≤35.14分故當(dāng)d＝10時(shí)，r＝680－3d5最大，即圓面積最大．所以當(dāng)OM＝10m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.16分【名師評(píng)論】此題以直線(xiàn)、圓的知識(shí)為載體，與實(shí)質(zhì)生活問(wèn)題相聯(lián)合，重在考察成立數(shù)學(xué)模型及運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)質(zhì)問(wèn)題的能力，求解的重點(diǎn)是如何把實(shí)質(zhì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型化．1．一條形如斜L型的鐵路線(xiàn)MON在經(jīng)過(guò)某城市O時(shí)轉(zhuǎn)彎而改變方向，測(cè)得tan∠MON＝－3，因市內(nèi)禁止建站，故考慮在郊區(qū)A，B處罰別建設(shè)東車(chē)站與北車(chē)站，此中東車(chē)站A建于鐵路OM上，且OA＝6km，北車(chē)站B建于鐵路ON上，同時(shí)在兩站之間建設(shè)一條貨運(yùn)公路，使直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)貨物中轉(zhuǎn)站Q，已知Q站與鐵路線(xiàn)OM，ON的垂直距離分別為2km，710km.5現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)OM為x軸的正半軸，成立如圖16－4所示的直角坐標(biāo)系．圖16－4(1)若一貨運(yùn)汽車(chē)以362km/h的速度從車(chē)站A開(kāi)往車(chē)站B，不計(jì)途中裝卸貨物時(shí)間，則需多長(zhǎng)時(shí)間？(2)若在中轉(zhuǎn)站Q的正北方向6km有一個(gè)工廠(chǎng)P，為了節(jié)儉開(kāi)銷(xiāo)，產(chǎn)品不經(jīng)中轉(zhuǎn)站而運(yùn)至公路上C處，讓貨車(chē)直接運(yùn)走，試確立點(diǎn)C的最正確地點(diǎn)．[解](1)由已知得A(6,0)，直線(xiàn)ON的方程為y＝－3x，|3x0＋2|710設(shè)Q(x0,2)(x0>0)，由10＝5及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2).5分∴直線(xiàn)AQ的方程為y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0，y＝－3x，x＝－3，即B(－3,9)，由得x＋y－6＝0，y＝9，∴AB＝－3－62＋92＝92，進(jìn)而t＝92＝1h.3624即貨運(yùn)汽車(chē)需要15分鐘時(shí)間.8分(2)點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的垂直距離近來(lái)，則垂足為C.由(1)知直線(xiàn)AB的方程為x＋y－6＝0，12分∵P(4,8)，則直線(xiàn)PC的方程為x－y＋4＝0，x＝1，聯(lián)立上述兩式得即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,5).16分y＝5，2．(2019·南京鹽城二模)如圖16－5，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀(guān)，圓心為C，有兩條與圓形景觀(guān)相切且相互垂直的道路．最先規(guī)劃在拐角處(圖中暗影部分)只有一塊綠化地，以后有眾多市民建議在綠化地上建一條小道，便于市民快捷地來(lái)回兩條道路．規(guī)劃部門(mén)采用了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.圖16－5問(wèn)：A，B兩點(diǎn)應(yīng)選在哪處可使得小道AB最短？[解]如圖，分別由兩條道路所在直線(xiàn)成立直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)，xy則直線(xiàn)AB的方程為a＋b＝1，即bx＋ay－ab＝0.因?yàn)?/p>

AB與圓

C相切，所以

|b＋a－ab|＝1.b2＋a2化簡(jiǎn)得

ab－2(a＋b)＋2＝0，即

ab＝2(a＋b)－2.

5分所以

AB＝

a2＋b2＝

a＋b

2－2ab＝a