高一升高二銜接教材高二預(yù)科班數(shù)學(xué)精品課程第一講集合及其運(yùn)算

第一章集合

1.4集合的運(yùn)算1.1集合的含義與常用的數(shù)集1.2集合的表示方法1.3集合之間的關(guān)系1.5充分條件與必要條件創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.1集合的含義和常用數(shù)集1.集合與元素

一般地，某些指定的對(duì)象集中在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱集，通常用大寫字母A、B、C…表示.把具有某種屬性的一些確定的對(duì)象叫做集合中的元素，通常用小寫字母a、b、c…表示；BAab創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.1集合的含義和常用數(shù)集2.集合和元素的關(guān)系

如果a是集合A的元素，記作a∈A，讀作a屬于A；如果b不是集合B的元素，記作bB，讀作b不屬于B；AaBb創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.1集合的含義和常用數(shù)集例：“中國(guó)古代的四大發(fā)明”構(gòu)成一個(gè)集合，該集合的元素就是指南針、造紙術(shù)、活字印刷術(shù)、火藥?！癿ath”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合的元素就是m,a,t,h這4個(gè)字母?！靶∮?的正整數(shù)”構(gòu)成一個(gè)集合，該集合的元素就是1，2，3，4這4個(gè)數(shù)。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.1集合的含義和常用數(shù)集3.集合中元素的性質(zhì)思考：“聰明的學(xué)生”能否構(gòu)成一個(gè)集合？“boss”是由b，o，s，s四個(gè)元素構(gòu)成的嗎？創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.1集合的含義和常用數(shù)集

（1）確定性：集合中元素必須是確定的，不確定的對(duì)象不能構(gòu)成集合，如：“高三（1）班個(gè)子較高的同學(xué)”就不能構(gòu)成集合。（2）互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，如：“boss”中的字母構(gòu)成集合中只有b，o，s這3個(gè)，而不能寫出兩個(gè)s。（3）無序性：同一集合中的元素之間無順序。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.1集合的含義和常用數(shù)集4.常用的數(shù)集一般地，我們約定用一些大寫英文字母，表示常用的一些數(shù)的集合（簡(jiǎn)稱數(shù)集）。自然數(shù)集，記作N；正整數(shù)集，記作N+或N*；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實(shí)數(shù)集，記作R。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.1集合的含義和常用數(shù)集練習(xí)一判斷下列語句能否確定一個(gè)集合（1）小于8的自然數(shù)；（2）本班個(gè)子高的同學(xué)；（3）參加2008年奧運(yùn)會(huì)的中國(guó)代表團(tuán)成員

（4）與1接近的實(shí)數(shù)的全體（5）中國(guó)足球男隊(duì)的隊(duì)員

創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.1集合的含義和常用數(shù)集練習(xí)二判斷下面關(guān)系是否正確（1）0∈Z（2）1/2∈Q（3）0∈N+

（4）-8∈Z創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.1集合的含義和常用數(shù)集練習(xí)三用“屬于”和“不屬于”的符號(hào)填入空格（1）1/5___Z（2）1.4142___Q（3）-19___N（4）___R創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.1復(fù)習(xí)1、集合的含義一般地，某些指定的對(duì)象集中在一起就成為一個(gè)集合。2、集合中元素的特征（1）確定性（2）互異性（3）無序性3、常用數(shù)集自然數(shù)集N，正整數(shù)集N+或N*，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R.創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.2集合的表示方法1.集合的幾種表示方法（1）列舉法：將集合的元素一一列舉出來，并置于“{}”內(nèi)，如{1，2，3，4}。用這種方法表示集合，元素之間需用逗號(hào)分隔，列舉時(shí)與元素順序無關(guān)。（2）描述法：將集合的所有元素都具有的性質(zhì)表示出來，寫成{x|P（x）}的形式（其中x為集合中的代表元素，P（x）為元素x具有的性質(zhì)。如{x|x<5且x∈N}，{x|x是中國(guó)古代四大發(fā)明}）創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.2集合的表示方法（3）圖示法1，2，3，4指南針，活字印刷術(shù)，火藥，造紙術(shù)創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.2集合的表示方法例1：由方程x2-1=0的解的全體構(gòu)成的集合，可表示為（1）列舉法：{1，-1}。（2）描述法：{x|x2-1=0,x∈R}（3）圖示法：如下1，-1創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.2集合的表示方法有限集：含有有限個(gè)元素的集合，叫做有限集。{1，2，3，4}無限集：含有無限個(gè)元素的集合，叫做無限集。{x|x>1，x∈R}創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.2集合的表示方法例2：用列舉法表示下列集合（1）{x|x是大于2小于12的偶數(shù)}（2）{x|x2=4}解：（1）{4，6，8，10}

（2）{2，-2}創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.2集合的表示方法例3：用描述法表示下列集合（1）南京市（2）不小于2的全體實(shí)數(shù)的集合解：（1）{x|x是中華人民共和國(guó)江蘇省省會(huì)}；（2）{x|x≥2，x∈R};

創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.2復(fù)習(xí)集合共有三種表示方法（1）列舉法（2）描述法（3）圖示法（文恩圖法）創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3集合之間的關(guān)系1.3.1子集，空集，真子集1.3.2集合的相等創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.1子集，空集，真子集引入觀察A，B集合之間有怎樣的關(guān)系？（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}；（2）A=N，B=R；（3）A={x|x為上海人}，B={x|x為中國(guó)人}。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.1子集，空集，真子集很容易由上面幾個(gè)例子看出集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，集合A，B的關(guān)系可以用子集的概念來表述。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.1子集，空集，真子集1.子集對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合B的子集，記作：AB（或BA），讀作A包含于B（或B包含A）。BA如果集合A不是集合B的子集，記作：

AB，讀作：A不包含于B。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.1子集，空集，真子集2.空集我們把不包含任何元素的集合叫空集，記作：

我們規(guī)定：空集是任何一個(gè)集合的子集，即A創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.1子集，空集，真子集3.真子集對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果A包含于B，且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，則稱集合A是集合B的真子集，記作：AB（或BA），讀作：A真包含于B（或B真包含A）。如：{a，b}{a，b，c}創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.1子集，空集，真子集由子集和真子集的定義可知：對(duì)于集合A，B，C，若AB，BC，則

AC

對(duì)于A，B，C，若AB，BC，則

AC創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.1子集，空集，真子集例1：說出集合A={a，b}的所有子集與真子集。解：集合A的所有子集是：，{a}，，{a，b}

上述集合除了{(lán)a，b}，剩下的都是A的真子集。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.1子集，空集，真子集例2：說出下列各組的三個(gè)集合中，哪兩個(gè)集合之間有包含關(guān)系？（1）S={-2，-1，0，1，2}，A={-1，1}B={-2，2}；（2）S=R，A={x|x<=0，x∈R}，

B={x|x>0，x∈R}。解：在（1）與（2）中，都有AS，BS創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.1復(fù)習(xí)1、子集對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合B的子集，記作：AB（或BA），讀作A包含于B（或B包含A）。2、空集我們把不包含任何元素的集合叫空集，記作：3、真子集對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果A包含于B，且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，則稱集合A是集合B的真子集，記作：AB（或BA），讀作：A真包含于B（或B真包含A）。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.2集合的相等對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果AB，且BA，則稱集合A與B相等，記作A=B。例如：A={x|x2=4}，B={2，-2}A和B就是兩個(gè)相等的集合。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.2集合的相等例1：說出下面兩個(gè)集合的關(guān)系（1）A={1，3，5，7}，B={3，7}；（2）C={x|x2=1}，D={-1，1}；（3）E={偶數(shù)}，F(xiàn)={整數(shù)}。解：（1）BC

（2）C=D

（3）EF創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.3.2復(fù)習(xí)

對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果AB，且BA，則稱集合A與B相等，記作A=B創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4集合的運(yùn)算1.4.1交集1.4.2并集1.4.3補(bǔ)集創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)

1.4.1交集1、引入

觀察下列兩組集合并用圖示法表示出來（1）A={x|x為會(huì)打籃球的同學(xué)}，B={x|x為會(huì)打排球的同學(xué)}，C={x|x為既會(huì)打籃球又會(huì)打排球的同學(xué)}；（2）A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，3}C={-1，-2}。觀察上述組合A,B,C都有怎樣的關(guān)系？創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)

1.4.1交集很容易看出集合C中的元素既在集合A中，又在集合B中。ABC創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)

1.4.1交集2、交集的概念一般的，由所有屬于集合A又屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”。ABA∩B創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.1交集ABA∩B≠ΦA(chǔ)∩B=Φ相交不相交BAA∩B=AA∩A=AA∩B=B∩AA∩Φ=Φ創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)

1.4.1交集3、交集的性質(zhì)對(duì)于任意兩個(gè)集合都有（1）A∩B=B∩A（2）A∩A=A（3）A∩=∩A=（4）如果AB，則A∩B=A創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)

1.4.1交集例1：已知A={1，2，3，4},B={3，4，5},求A∩B。解：A∩B={1，2，3，4}∩{3，4，5}={3，4}1，253，4創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)練習(xí)1：設(shè)A={12的正約數(shù)}，B={18的正約數(shù)}，用列舉法寫出12與18的正公約數(shù)集。

解：A={1,2，3,4，6,12}

B={1,2，3,6，9,18}12與18的正公約數(shù)集是A∩B={1,2，3,4，6,12}{1,2,3,6,9,18}={1,2,3,6}練習(xí)2

A＝｛－4，－3，－2，－1，0,1，2｝

B＝｛4,3，2,1，0，－1，－2｝，求A∩B∩創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)

1.4.1交集例2：已知A={菱形}，B={矩形}，求A∩B。解：A∩B={菱形}∩{矩形}={正方形}菱形矩形正方形創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)

1.4.1交集例3：已知A={（x,y）|2x+3y=1}，B={（x,y）|3x-2y=3},求A∩B。解：A∩B={（x,y）|2x+3y=1}∩{（x,y）|3x-2y=3}={（x,y）|2x+3y=1}3x-2y=3={（11/13,-3/13）}創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)

1.4.1交集練習(xí)31、已知A={1，3，4}，B={3，4，5，6}，求A∩B。解：A∩B={1，3，4}∩{3，4，5，6}={3，4}創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.1交集練習(xí)42、已知A={a，b，c，d}，B={b，d，m，n}，求A∩B。解：A∩B={a，b，c，d}∩{b，d，m，n}={b，d}創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.1交集復(fù)習(xí)1、交集的概念和表示方法2、交集的性質(zhì)創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.2并集引入

觀察下列集合A，B，C有怎樣的關(guān)系？

A={2，4，6}，B={4，8，12}，

C={2，4，6，8，12}

容易看出來，集合C中的元素是由集合A和集合B中的元素合并在一起構(gòu)成的創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.2并集定義：一般的，對(duì)于兩個(gè)給定集合A，B，把它們所有的元素合并在一起構(gòu)成的集合，叫做A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”。ABAB創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.2并集對(duì)于任何兩個(gè)集合都有（1）A∪B=B∪A；（2）A∪A=A；（3）A∪=∪A=A。若AB，則A∪B=B；若AB，則A∪B=A創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.2并集例1：已知：A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7}，求A∪B。解：A∪B={1，2，3，4}∪{3，4，5，6，7}={1，2，3，4，5，6，7}創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.2并集例2：

已知N={自然數(shù)}，Z={整數(shù)}，求N∪Z。解：N∪Z={自然數(shù)}∪{整數(shù)}={整數(shù)}創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.3補(bǔ)集引入觀察下列各組中的三個(gè)集合，它們之間有什么關(guān)系？（1）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，

B={-2，2}；（2）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，

B={x|x>0，x∈R}。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.3補(bǔ)集設(shè)有兩個(gè)集合A，S，由S中不屬于A的所有元素組成的集合，成為S的子集A的補(bǔ)集，記作CsA（讀作“A在S中的補(bǔ)集”）即

CsA={x|x∈S且xA}。如圖：深色部分為A在S中的補(bǔ)集。AS創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.3補(bǔ)集如果集合S中包含我們所要研究的各個(gè)集合，這時(shí)S可以看做一個(gè)全集，通常記作U。例如，在研究實(shí)數(shù)時(shí)，常把實(shí)數(shù)集R作為全集。由補(bǔ)集的定義可知，對(duì)于任意集合A，有：

A∪CuA=UA∩CuA=Cu(CuA)=A創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.3補(bǔ)集例1

已知U={1，2，3，4，5，6}，

A={1，2，5}，求CuA，A∩CuA，

A∪CuA。解：CuA={3，4，6}，A∩CuA

=，

A∪CuA=U。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.3補(bǔ)集例2

已知U={實(shí)數(shù)}，Q={有理數(shù)}，求CuQ。解：CuQ={無理數(shù)}。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.4.3補(bǔ)集例3

已知U=R，A={x|x<5}，求CuA。解：CuA={x|x≥5}。創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)1.5充分條件與必要條件引入“如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等”。這是我們初中幾何中用到的性質(zhì)。而形如這種：“如果p，則q”的命題也非常多。我們經(jīng)常由“如果”這部分經(jīng)過推理論證，得出“則…”這部分是正確的，我們就說p可以推出q，記作：

pq

讀作：p推出q，p是q的充分條件，q是p的必要條件創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)基礎(chǔ)自測(cè)1.（2008·四川理）設(shè)集合U={1，2，3，4，5},

A={1，2，3}，B={2，3，4},則U(A∩B)等于（）

A.{2，3}B.{1，4，5}C.{4，5}D.{1，5}

解析

∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，

∴A∩B={2，3}.

又U={1，2，3，4，5}，

∴U(A∩B)={1，4，5}.B創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)2.已知三個(gè)集合U,A，B及元素間的關(guān)系如圖所示，則(UA)∩B等于（）

A.{5，6}B.{3，5，6}C.{3}D.{0，4，5，6，7，8}

解析由Venn圖知(UA)∩B={5,6}.A創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)3.（2009·廣東理，1）已知全集U=R，集合M={x|-2≤x-1≤2}和

N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的關(guān)系的韋恩(Venn)圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）

A.3個(gè)B.2個(gè)

C.1個(gè)D.無窮多個(gè)

解析

M={x|-1≤x≤3},M∩N={1,3}，有2個(gè).B創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)4.(2009·浙江，1)設(shè)U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},

則A∩（UB）等于（）

A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}

解析

∵B={x|x>1},∴UB={x|x≤1}.

又A={x|x>0},∴A∩（UB）={x|0<x≤1}.B創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)5.設(shè)集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}.若AB，則a的取值范圍是()A.a<1B.a≤1C.a<2D.a≤2

解析由圖象得a≤1,故選B.B創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)

題型一集合的基本概念【例1】(2009·山東,1)集合A={0,2,a},B={1,a2},

若A∪B={0，1，2，4，16}，則a的值為（）

A.0B.1C.2D.4

思維啟迪

根據(jù)集合元素特性，列出關(guān)于a的方程組，求出a并檢驗(yàn).題型分類深度剖析創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)解析

∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},∴

∴a=4.答案

D

掌握集合元素的特征是解決本題的關(guān)鍵.解題中體現(xiàn)了方程的思想和分類討論的思想.探究提高創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)知能遷移1

設(shè)a,b∈R，集合{1,a+b,a}=則

b-a等于()A.1B.-1C.2D.-2

解析

∵a≠0,∴a+b=0

又{1,a+b,a}=∴b=1,a=-1.∴b-a=2.C創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)知能遷移2已知A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},

若BA，求實(shí)數(shù)a.

解

A={3，5}，當(dāng)a=0時(shí)，

當(dāng)a≠0時(shí)，B=

要使BA，創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)題型三集合的基本運(yùn)算【例3】已知全集U={1，2，3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A},求集合U(A∪B)中元素的個(gè)數(shù).

（1）先求出集合A和集合B中的元素.

（2）利用集合的并集求出A∪B.

解

∵A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，

∴B={x|x=2a，a∈A}={2，4}，

∴A∪B={1，2，4},∴U(A∪B)={3，5}，共有兩個(gè)元素.

集合的基本運(yùn)算包括交集、并集和補(bǔ)集.

在解題時(shí)要注意運(yùn)用Venn圖以及補(bǔ)集的思想方法.思維啟迪探究提高創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)一、選擇題1.（2009·海南，寧夏理,1）已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，則A∩NB等于（）

A.{1,5,7}B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3}

解析

∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴NB={1,2,4,5,7,8,…}.∴A∩NB={1,5,7}.A定時(shí)檢測(cè)創(chuàng)新教育工作室皇家數(shù)學(xué)2.（2009·福建理，2）已知全集U=R,集合A={x|x2-2x>0},則UA等于（）

A.{x|0≤x≤2}B.{x|0<x<2}C.{x|x<0或x>2}D.{x|x≤0或x≥2}

解析

∵x2-2x>0,∴x(x-2)>0,∴x>2或x<0,∴A={x|x>2或x<0},

UA={x|0≤x≤2}.A創(chuàng)新教育工作室