《高考調(diào)研》高三數(shù)學第一輪復習 第十二章《概率和統(tǒng)計》課件125 選修2

1．期望的概念及性質(zhì)(1)若離散型隨機變量ξ的概率分布為P(ξ＝xi)＝pi，i＝1,2，…，ξ的數(shù)學期望Eξ＝

(2)若η＝aξ＋b，其中a、b是常數(shù)E(aξ＋b)＝

.(3)若ξ～B(n，p)，則Eξ＝

.x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋….aEξ＋bnp2．方差的概念(1)方差：把Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做隨機變量ξ的

；標準差是σξ＝.(2)若ξ～B(n，p)，那么Dξ＝ ．3．方差的性質(zhì)(1)c為常數(shù)，D(c)＝

(2)a、b為常數(shù)，則D(aξ＋b)＝

.(3)Eξ2－(Eξ)2＝

.方差np(1－p)0.a2DξDξ1．(2010·新課標全國卷)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為(

)A．100

B．200C．300 D．400答案

B解析記“不發(fā)芽的種子數(shù)為ξ”，則ξ～B(1000,0.1)，所以Eξ＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200，故選B.2．(2010·濟南)已知5件產(chǎn)品中有3件正品、2件次品，從中隨機抽取2件進行檢驗，設其中有ξ件正品，則隨機變量ξ的期望為(

)A．1.2

B．2

C．1

D．1.4答案

A3．(2011·東北四市聯(lián)考)在相同條件下對自行車運動員甲、乙兩人進行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：試問：選________(填甲或乙)參加某項重大比賽更合適．答案乙甲273830373531乙332938342836點評

均值、方差是統(tǒng)計學的兩個基本概念，高考常以小題形式出現(xiàn)．牢記并熟練運用公式是解題的關鍵．

4．(2010··湖北卷，已知ξ的期望Eξ＝8.9，則y的值為________．答案

0.4ξ78910Px0.10.3y5．(09·廣東)已知離散型型隨機變量量X的分布列如如下表．若若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________.題型一一期望、、方差差例1(2010·重慶卷卷，理理)在甲、、乙等等6個單位位參加加的一一次““唱讀讀講傳傳”演演出活活動中中，每每個單單位的的節(jié)目目集中中安排排在一一起，，若采采用抽抽簽的的方式式隨機機確定定各單單位的的演出出順序序(序號為(1)甲、乙兩單位的演出序號至少有一個為奇數(shù)的概率；(2)甲、乙兩單位之間的演出單位個數(shù)ξ的分布列與期望．探究1求離散散型隨隨機變變量的的期望望，一一般分分為兩兩個步步驟：(1)列出離散型隨機變量的分布列；(2)利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…，求出期望．思考題題1(2011·鄭州)從某批批產(chǎn)品品中，，有放放回地地抽取取產(chǎn)品品2次，每每次隨隨機抽抽取1件，假假設事事件A：“取取出的的2件產(chǎn)品品中至至多有有1件是二二等品品”的的概率率P(A)＝0.96.①求從該該批產(chǎn)產(chǎn)品中中任取取1件是二二等品品的概概率p；②若該批批產(chǎn)品品共100件，從從中一一次性性任意意抽取取2件，用用ξ表示取取出的的2件產(chǎn)品品中的的二等等品的的件數(shù)數(shù)，求求ξ的分布布列及及期望望．【解析】①記A0表示事事件““取出出的2件產(chǎn)品品中無無二等等品””，A1表示事事件““取出出的2件產(chǎn)品品中恰恰有1件是二二等品品”，則A0、A1互斥，，且A＝A0＋A1.故P(A)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝(1－p)2＋C21p·(1－p)＝1－p2.由題意意，知知1－p2＝0.96，又p>0，故p＝0.2.例2每人在在一輪輪投籃籃練習習中最最多可可投籃籃4次，現(xiàn)現(xiàn)規(guī)定定一旦旦命中中即停停止該該輪練練習，，否則則一直直試投投到4次為止止．已已知一一選手手的投投籃命命中率率為0.7，求一一輪練練習中中該選選手的的實際際投籃籃次數(shù)數(shù)ξ的分布布列，，并求求出ξ的期望望Eξ與方差差Dξ(保留3位有效效數(shù)字字)．【解析】ξ的取值值為1,2,3,4.若ξ＝1，表示示第一一次即即投中中，故故P(ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示示第一一次未未投中中，第第二次次投中中，故故P(ξ＝2)＝(1－0.7)××0.7＝0.21；若ξ＝3，表示示第一一、二二次未未投中中，第第三次次投中中，故故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7；若ξ＝4，表示示前三三次未未投中中，故故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此ξ的分布布列為為：Eξ＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417,Dξ＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513ξ1234P0.70.210.0630.027探究2理解題題意的的關鍵鍵是：：投籃籃規(guī)則則的確確定，，重點點突出出“一旦命命中即即停止止該輪輪練習習”只要前前三次次未中中必投投第4次，第第4次中與與不中中即停停止思考題題2一次數(shù)數(shù)學測測驗由由25道選擇題題構(gòu)成，，每一個個選擇題題有4個選項，，其中有有且僅有有一個選選項正確確，每個個選擇正正確答案案得4分，不作作出選擇擇或選錯錯的不得得分，滿滿分100分，某學學生選對對任一題題的概率率為0.8，求此學學生在這這一次測測驗中的的成績的的期望與與方差．．【解析】選項的題題數(shù)ξ滿足二項項分布即即ξ～B(25,0.8)∴Eξ＝25×0.8＝20Dξ＝25·0.8··0.2＝4.此學生的的成績?yōu)闉殡S機變變量設為為η，則η＝4ξ∴Eη＝4Eξ＝80Dη＝16Dξ＝64.∴此學生成績的的期望為80，方差為64.題型二期望、方差的的性質(zhì)探究3ξ是隨機變量，，則η＝f(ξ)一般仍是隨機機變量，在求求η的期望和方差差時，熟練應應用期望和方方差的性質(zhì)，，可以避免再再求η的分布列帶來來的繁瑣運算算．(3)設X為該生選對試試題個數(shù)，Y為成績．則X～B(50,0.7)，Y＝3X.∴EX＝50×0.7＝35，DX＝50×0.7×0.3＝10.5.故EY＝E(3X)＝3EX＝105，DY＝D(3X)＝9DX＝94.5.題型三期望、方差的的應用例4因冰雪災害，，某柑橘基地地果林嚴重受受損，為此有有關專家提出出兩種拯救果果樹的方案，，每種方案都都需分兩年實實施．若實施施方案一，預預計第一年可可以使柑橘產(chǎn)產(chǎn)量恢復到災災前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別別是0.3、0.3、0.4；第二年可以以使柑橘產(chǎn)量量為第一年產(chǎn)產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別別是0.5、0.5.若實施方案二二，預計第一一年可以使柑柑橘產(chǎn)量達到到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別別是0.2、0.3、0.5；第二年可以以使柑橘產(chǎn)量量為第一年產(chǎn)產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別別是0.4、0.6.實施每種方案案第一年與第第二年相互獨獨立，令ξi(i＝1,2)表示方案i實施兩年后柑柑橘產(chǎn)量達到到災前產(chǎn)量的的倍數(shù)．(1)寫出ξ1、ξ2的分布列；(2)實施哪種方案案，兩年后柑柑橘產(chǎn)量超過過災前產(chǎn)量的的概率更大？？(3)不管哪種方案案，如果實施施兩年后柑橘橘產(chǎn)量達不到到、恰好達到到、超過災前前產(chǎn)量，預計計利潤分別為為10萬元、15萬元、20萬元．問實施施哪種方案的的平均利潤更更大？【解析】(1)ξ1的所有取值為為0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2的所有取值為為0.8、0.96、1.0、1.2、1.44，ξ1，ξ2的分布列分別別為ξ10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.15ξ20.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(2)令A、B分別表示實施施方案一、方方案二兩年后后柑橘產(chǎn)量超超過災前產(chǎn)量量這一事件．．P(A)＝0.15＋0.15＝0.3，P(B)＝0.24＋0.08＝0.32.可見，實施施方案二兩兩年后柑橘橘產(chǎn)量超過過災前產(chǎn)量量的概率更更大．(3)令ηi表示方案i的預計利潤潤，則η1101520P0.350.350.3η2101520P0.50.180.32所以Eη1＝14.75，Eη2＝14.1可見，方案案一的預計計利潤更大大．探究4從近年來全全國各地有有關概率的的高考試題題來看，命命題的背景景通常與實實際生活密密切相關，，因此考生生在復習過過程中應適適當關心身身邊所發(fā)生生的一些事事件，這些些事件極有有可能成為為高考概率率問題的命命題背景．．思考題4某鮮花店每每天以每束束2.5元的價格購購入新鮮玫玫瑰花，并并以每束5元的價格銷銷售，店主主根據(jù)以往往的銷售統(tǒng)統(tǒng)計得到每每天能以此此價格售出出的玫瑰花花數(shù)ξ的分分布布列列如如下下表表所所示示．．若若某某天天所所購購入入的的玫玫瑰瑰花花未未售售完完，，則則當當天天未未售售出出的的玫玫瑰瑰花花將將以以每每束束1.5元的的價價格格降降價價處處理理完完畢畢.(1)若某某天天店店主主購購入入玫玫瑰瑰花花40束，，試試求求該該天天從從玫玫瑰瑰花花銷銷售售中中所所獲獲利利潤潤的的期期望望；；(2)每天天玫玫瑰瑰花花的的進進貨貨量量x(30≤≤x≤50，單單位位：：束束)為多多少少時時，，店店主主有有望望從從玫玫瑰瑰花花銷銷售售中中獲獲取取最最大大利利潤潤？？則當30≤x≤50時，Eη遞增，所以當當x＝50時，Eη的最大值為90，即店主有望望從玫瑰花銷銷售中獲取最最大利潤90元．1．離散型隨機變變量的數(shù)學期期望與方差是是對隨機變量量的簡明的描描寫．期望表表示在隨機試試驗中隨機變變量取得的平平均值；方差差表示隨機變變量所取的值值相對于它的的期望值的集集中與離散程程度，即取值值的穩(wěn)定性．．把握離散型型隨機變量的的數(shù)學期望與與方差的含義義，是處理有有關應用題的的重要環(huán)節(jié)．．2．期望與方方差的常用性性質(zhì)，掌握下下述有關性質(zhì)質(zhì)，會給解題題帶來方便：：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)若ξ～B(n，p)，則則E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－－p).答案A2．某人從家家乘車到單單位，途中中有3個交通崗亭亭．假設在在各交通崗崗遇到紅燈燈的事件是是相互獨立立的，且概概率都是0.4，則此人上上班途中遇遇紅燈的次次數(shù)的期望望為()A．0.4B．1.2C．0.43D．0.6答案B解析∵途中遇紅燈燈的次數(shù)X服從二項分分布，即X～B(3,0.4)，∴EX＝3×0.4＝1.2.答案C4．(09·浙江)在1,2,3，…，9這9個自然數(shù)中中，任取3個數(shù)．(1)求這3個數(shù)中恰有有1個是偶數(shù)的的概率；(2)記ξ