立體幾何初步總結(jié)材料(必修2)

實用文案立體幾何初步總結(jié)一、知識結(jié)構(gòu)多面體：棱柱、棱錐、棱臺1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)：旋轉(zhuǎn)體：圓柱、圓錐、圓臺、球組合體：由簡單幾何體組合而成立中心投影與平行投影2.三視圖和直觀圖:空間幾何體三視圖：正視圖；側(cè)視圖；俯視圖體幾直觀圖：原圖面積：直觀圖面積＝22何3.表面積和體積:V1h(S1S1S2S2)3初步平面的性質(zhì)：公理體系；位置關(guān)系直線與平面：平行與垂直的判定與性質(zhì)點線面位置關(guān) 系平面與平面：平行與垂直的判定與性質(zhì)距離的求法；角度的求法二、基礎(chǔ)知識精要Ⅰ（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)直棱柱棱柱

正棱柱

D C斜棱柱正棱錐1、多面體 棱錐正棱臺棱臺

DBFDFFCAO'CBCE'E'F'D'F'D'A'A'OOC'C'B'B'2、四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體直四棱柱3、定理：平行棱錐底面的截面將棱錐截得的上下兩個棱錐的S截＝S側(cè)'V截＝相似比的立方（1）S底＝相似比的平方；（2）V底S側(cè)兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，求圓錐分成的三部分的側(cè)面積之比、三部分的體積之比.4、圓柱——側(cè)面展開圖是矩形圓錐——側(cè)面展開圖是扇形旋轉(zhuǎn)體圓臺——側(cè)面展開圖是扇環(huán)球——5、柱錐臺之間的關(guān)系

O'O'O Q Q QO O標(biāo)準(zhǔn)文檔 實用文案（二）、三視圖和直觀圖1．中心投影：光由一點向外散射形成的投影。其投影的大小隨物體與投影中心間距離的變化而變化，所以其投影不能反映物體的實形 .2．平行投影：在一束平行光線照射下形成的投影 . 分正投影、斜投影 .3．三視圖：正視圖（前面向后面正投影） 、側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）4．直觀圖：（表示空間圖形的平面圖）觀察者站在某一點觀察幾何體，畫出的圖形。把空間圖形畫在平面內(nèi)，畫得既富有立體感，又能表達出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形 h D定理：平面圖形的原圖面積：直觀圖面積＝22題型：（1）已知直觀圖畫出三視圖（2）已知三視圖畫出直觀圖（三）、表面積與體積S直棱柱表＝cl＋2S底(c:底面周長；l:側(cè)棱長h：高）S圓柱表＝2rh2r2S圓錐表＝rlr2S圓臺表＝（r1＋r2)lr12r22側(cè)面展開圖扇形中心角為r3600l側(cè)面展開圖扇環(huán)中心角為Rr3600lVShS1S2SV=1h(S1S1S2S2)S10V1Sh33V圓柱r2hS1S2SV圓臺=1h(r12r1r2r22)S10V1r2h33V球=4R3；S球面=4R2.（R為球的半徑）3標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案基礎(chǔ)知識精要Ⅱ（點、直線、平面之間的位置關(guān)系）平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題?？臻g兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面的概念；會求簡單的異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法或用判定定理（補充）直線與平面①位置關(guān)系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交。②直線與平面平行的判斷方法及性質(zhì) ,判定定理是證明平行問題的依據(jù)。③直線與平面垂直的證明④直線與平面所成的角：關(guān)鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是 [00.900]⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理 . 三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關(guān)系與空間圖形的度量 .如：證明異面直線垂直， 確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線 .4.平面與平面位置關(guān)系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況）掌握平面與平面平行的證明方法和性質(zhì)。掌握平面與平面垂直的證明方法和性質(zhì)定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據(jù)性質(zhì)定理，可以證明線面垂直。*(4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→直接法體積法(5)二面角。二面角的平面角的作法及求法：①定義法：一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形；②三垂線法：一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。③射影面積法： S′=Scosθ三．主要思想與方法：1．計算問題：計算步驟：一作、二證、三算（1）空間角異面直線所成的角 范圍：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②補形法 .直線與平面所成的角 范圍：0°≤θ≤90°方法：關(guān)鍵是作垂線，找射影 .二面角——方法：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；④射影面積法：（2）空間距離——①兩點之間的距離.②點到直線的距離.③點到平面的距離.④兩條平行線間的距離.⑤兩條異面直線間的距離.⑥直線與平面之間的距離.⑦平行平面間距離七種距離都是指它們所在的兩個點集之間所含兩點的距離中最小的距離 .七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點到平面的距離 .．．2．平面圖形的翻折，要注意翻折 前后的長度、角度、位置的變化，翻折前后在同一個三角形中的角度、長度不變3．在解答立體幾何的有關(guān)問題時，應(yīng)注意使用轉(zhuǎn)化的思想：標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案①利用構(gòu)造矩形、直角三角形、直角梯形將有關(guān)棱柱、棱錐的問題轉(zhuǎn)化成平面圖形去解決.②將空間圖形展開是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成為平面圖形問題的一種常用方法 .③補法把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成簡單圖形 .④利用三棱錐體積的自等性，將求點到平面的距離等問題轉(zhuǎn)化成求三棱錐的高.4．證明問題——求證找判定；已知用性質(zhì)平行轉(zhuǎn)化——思路圖：線||線線||面面||面垂直轉(zhuǎn)化——思路圖：線線線面面面平行的判定方法（請自己配圖）直線與直線直線與平面平面與平面1a,ba||b定義：aa||定義：||||ab2a//ba//ba//,b//a||ba//||b//ca,ba,b,abA3a//,a//a.b,abAa||b//c,d||baa//c,b//d4aA、Blaa//bA、B在平面同側(cè)l//||baA、B到平面等距離5a//||ba||b////垂直的判定方法（請自己配圖）直線與直線直線與平面平面與平面1定義：定義：定義：α與β成a'//a,b'//bb(b任意)90°的二面角aba||a'b'O,O900ab2laab,acaaabb,c,bcAb//aa標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案3aa bb三垂線定理：

a//b //abab'為在內(nèi)的射影//bb'aba,a5'為在內(nèi)的射影ab/,lbb,ab'aa,al6,aa5．"線 面"是立體幾何的核心——思維的突破口6．中點問題——找中點構(gòu)造三角形中位線、平行四邊形等7．“字圖”結(jié)構(gòu)——"線面"是立體幾何的核心——思維的突破口如：最小角定理（三余弦）P在三棱錐P—ABC中，PA面ABC,ACB900則：（1）BC面PAC；（2）PCB900AC3）面PCB面ABC注：模型 7是其典型應(yīng)用 B三．基本結(jié)論（存在性、唯一性問題和常用結(jié)論）1、四邊形中有四個角是直角則此四邊形為矩形。2、兩條異面直線的公垂線有且只有一條。3、過直線外一點與該直線平行的直線有且只有一條。4、過空間一點與該直線垂直的直線有無數(shù)條。5、過直線外一點與該直線平行的平面有無數(shù)多個。6、過空間一點與該直線垂直的平面有且只有一個。7、過平面外一點與該平面平行的直線有無數(shù)條。8、過平面外一點與該平面平行的平面有且只有一個。9、過空間一點與該平面垂直的直線有且只有一條。標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案10、過空間一點與該平面垂直的直線有且只有一條。11、線在平面內(nèi)的射影有且只有一條 （射影是斜線上所有的點到平面內(nèi)的射影的點集）平面的斜線與其射影所確定的平面與該平面的垂直。12、長方體的對角線與相鄰三棱成角的余弦平方和等于 1；與相鄰三面成角的余弦平方和等于 213、四面體 ABCD中最多有四個直角三角形。14、過兩條異面直線中的一條能作且只能做一個平面與另一條直線平行，那么異面直線間的距離等于線面距離。15、平移不改變所成的角（夾角） ，但平移改變距離。16、夾在兩個平行平面間的平行線段相等。17、如果四面體中有兩組對棱互相垂直，那么第三組對棱也互相垂直且任一頂點在對面的射影是垂心。四．?dāng)?shù)學(xué)模型題模型1l，A、B，C，求作ABC與的交線。ABABC，設(shè)P為ABC上一點，PABCBPlAlQCABCCPPCABCC模型2已知ABPBCQCAR，求證、、R三點共線。PQ證明：PABPABABCPABClBPQPCQBCABCQABClCAQRQP同理Rl∴、、三點共線PQR模型3(1)三個平面兩兩相交有三條交線，其中兩條交線交于一點，求證第三條交線必過此點；(2)或這三點交線互相平行。已知acbabP，求證：Pa,Pb,Pc或a∥b∥c(2)a//b時證明：(1)PabPaPba//ba//標(biāo)準(zhǔn)文檔baa//caca//b//c實用文案Qa bP P PQc P c模型4 最小角定理：公式： cos cos cos該四面體的四個面都是 Rt△模型5 （證明平行思路圖的典型例題）如果一條直線與兩相交平面平行，則此直線與它們的交線平行。已知 l a// a// ，求證：a// l證明：過a作 使 ba// a b a//b過a作 使 c，同理a// cb//c Qcc c// a//lb l模型6過兩條異面直線中的一條有且只有一個平面與另一異面直線平行。證明：在A上任取一點 A，過A作b//bQa b A a、b可確定一個平面∵a、b異面 ∴b Qb//b ∴b//模型7 （證明垂直思路圖的典型例題）平面 內(nèi)有一個半圓，

caA BbSHNBAM直徑AB，過A作SA，在半圓上任取一點M，連SM，SB且N、H分別是A在、上射影，求證：NHSB，SMSB并思考：（1）互相垂直直線的對數(shù)？ Rt△個數(shù)？面面垂直對數(shù)？聯(lián)想與拓展：你能自編自導(dǎo)新的問題嗎？模型8 如圖PA是平面 的斜線，以下三個條件：∠APC=∠APB；(2)A到PB、PC邊的距離相等；PA在內(nèi)的射影是∠BPC垂線，則三個有一個成立可推出另兩個成立。模型9若PABC，O為P在面上的射影(1)若PA=PB=PC，則O為△ABC外心(2)若P到△三邊等距，則O為△ABC內(nèi)或旁心ABC(3)若PA、PB、PC兩兩垂直，則O為△ABC垂心標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案若△ABC為正三角形，PA=PB=PC，則O為△ABC中心6）若△ABC為直角三角形，PA=PB=PC，則O為△ABC外心模型10(1)找點在面上的射影：AAl已知AAl，則A在上的射影BlBlaBC：已知la，則l在(2)找斜線的射影l(fā)內(nèi)射影為a，則l與所成的角為∠ACB結(jié)論：平面 的斜線與其射影所構(gòu)成的平面與 垂直求點到平面的距離——轉(zhuǎn)化思想1o已知A，則過A可作a//，則A到的距離就是a到的距離。2o已知A，過A可作//，則A到的距離就是到的距離。3o已知線段AB中點，O，則AB到距離相等。4o兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為兩平行平面。5oOA:OBm:nAA:BBm:nAAAaBBBAA’OO模型11四面體ABCD中，AB=AC，BD=DC(同底等腰的兩個三角形)∠AEB是二面角A—BC—D的平面角平面AED面BCD，AEDABCBCAD，BC面ADE

ABF過E作EFAD，EF為BC與AD的距離A到平面BCD距離，作AODE交于O，AO為此距離AC與BCD所成角，連OC，為所求注：二面角的平面角所在平面與兩個半平面均垂直

B DOEC標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案六．經(jīng)典30題1、三個平面可將空間分成幾部分：2、與同一條直線相交的所有平行線在同一平面內(nèi)。。3、已知異面直線 a與b所成50，P為空間一點，則過點 P且與a、b所成的角都是θ，討論θ取不同值時，該直線有且僅有多少條？4、若一條直線分別平行于兩個相交平面， 則該直線平行于這兩個相交平面的交線 （用兩種方法證明）。5、若兩個相交平面都垂直于第三個平面， 那么這兩個平面的交線也垂直于這個平面 （用三種方法證明）。6、正方形ABCD與正方形 ABEF相交于AB，M，N分別為對角線BD與AE上的點，且 DM=AN，求證：MN∥平面BEC7、在空間四邊形PABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，若A在PB、PC上的射影分別為E、F，求證：EF⊥PB。8、已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD，求a的值。9、空間一點到二面角α-L-β的兩個面的距離分別是1和2，到棱的距離是 2，求這二面角的大小。。 。 。 。（答案：75，15，105，165）10