5 .波動能量原理干涉

機械波第七章§7-3波的能量彈性波傳播到介質(zhì)中的某處，該處將具有動能和勢能。在波的傳播過程中，能量從波源向外傳播。初始靜止→→發(fā)生振動→→獲得動能；平衡位置→→發(fā)生形變→→獲得勢能。平面縱波傳播振動狀態(tài)在介質(zhì)中由近及遠傳播，能量從波源向外傳播出去。—— 波動的重要特征視頻：日本海嘯1.波的能量和能量密度考慮介質(zhì)中的體積V，其質(zhì)量為m(m

V)。當(dāng)波動傳播到該體積元時，將具有動能Ek和彈性勢能Ep。平面簡諧波可以證明體積元的總機械能W對單個諧振子EkEp在波的傳播過程中，任一體積元都在不斷地接受和放出能量，其值是時間的函數(shù)。與振動情形相比，波動傳播能量，振動系統(tǒng)并不傳播能量。波的能量密度w：介質(zhì)中單位體積的波動能量。通常取能量密度在一個周期內(nèi)的平均值w

XYOu對于波動的任一體積元，每個質(zhì)元都與周圍媒質(zhì)交換能量。表明：波動傳播能量，將能量從體積元傳到另一體積元。能量“一堆一堆”的傳播。波動能量的推導(dǎo)（縱波為例）位于x處的體積元ab

的動能為體積元ab

的振速體積元ab

的脅變據(jù)楊氏模量定義和胡克定律，該積元所受彈性力為體積元彈性勢能由V

Sx，，結(jié)合波動表達式

最后得：若考慮平面余弦彈性橫波，只要把上述計算中的y/x和f分別理解為體積元的切變和切力，用切變模量G代替楊氏模量Y，可得到同樣的結(jié)果。設(shè)繩子的橫截面積為S，波的傳播速度為u。取波的傳播方向為x軸，繩子的振動方向為y軸，則簡諧波的波函數(shù)為。在繩子上x處取線元x，則μ為繩子的質(zhì)量線密度。yxO波動能量的推導(dǎo)（橫波為例）該線元的振動速度為(1)線元的動能在波的傳播過程中，由原長x變成l，形變?yōu)閘x，線兩端受張力T

T1

T2。張力做的功等于線元的勢能yxO用二項式定理展開，并略去高此項，得(2)線元的勢能(3)線元的總機械能XYOu討論(1)在波動傳播的媒質(zhì)中，任一線元的動能、勢能、總機械能均隨x,t作周期性變化，且變化是同相位的。(2)體積元在平衡位置時，動能、勢能和總機械能均最大。(3)體積元的位移最大時，三者均為零。(4)任一線元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播能量。任一線元的機械能不守恒，隨t

作周期性變化，所以，波動過程是能量的傳播過程。2.能流密度（波的強度）能流

在介質(zhì)中垂直于波速方向取一面積S

，在單位時間內(nèi)通過S

的能量。平均能流：平均能流密度或波的強度通過與波傳播方向垂直的單位面積的平均能流，用I來表示，即介質(zhì)的特性阻抗。I的單位：瓦特/米2(Wm2)平面余弦行波振幅不變的意義：若，有。對于球面波，，，介質(zhì)不吸收能量時，通過兩個球面的總能流相等球面波表達式：式中a為波在離原點單位距離處振幅的數(shù)值。例用聚焦超聲波的方式，可以在液體中產(chǎn)生強度達120kW/cm2的大振幅超聲波。設(shè)波源作簡諧振動，頻率為500kHz，液體密度為1g/cm3，聲速為1500m/s。解：因可見液體中聲振動的振幅實際上是極小的。求：這時液體質(zhì)點振動的振幅。3.平面波和球面波的振幅若平均能流滿足，則有振幅。通過S1和S2的平均能流分別為：平面余弦行波的波函數(shù)：垂直于傳播方向上兩個平面S1和S2，面積均為S，且通過S1的波都通過S2，振幅分別為A1和A2。成立條件：波動在介質(zhì)內(nèi)傳播時，介質(zhì)不吸收波能量。平面簡諧波在無吸收介質(zhì)內(nèi)傳播時振幅不變的意義介質(zhì)不吸收能量時，通過兩個球面的總能流相等，∴球面簡諧波的表達式可寫成：式中a為波在離原點單位距離處振幅的數(shù)值?！嗾穹鵄與離開波源的距離r成反比。關(guān)于球面簡諧波振幅的討論S1S2S1

4pr12

，S2

4pr22

，利用和能量守恒，可以證明，對無吸收介質(zhì)，有：平面波球面波

柱面波

r場點到波源的距離4.波的吸收

若波不被介質(zhì)吸收，對于平面簡諧波，S1和S2處振幅相同。若介質(zhì)吸收機械波的能量，則波線上不同點處振幅是不相同的。上圖的dA<0。---介質(zhì)的吸收系數(shù)。若a

為常數(shù)，則有A0為x

0處的振幅。式中的I0和I分別為x0和x

x處的波的強度。例題空氣中聲波吸收系數(shù)為1

210112m1，鋼中的吸收系數(shù)為2

4107m1，式中代表聲波頻率的數(shù)值。問5MHz的超聲波透過多少厚度的空氣或鋼后，其聲強減為原來的1%？解據(jù)題意，空氣和鋼的吸收系數(shù)分別為2

4107(5106)m1

2m1

1

21011(5106)2m1

500m1把1、2

分別代入

I

I0e2

x或下式，

據(jù)題意有I0/I100，得空氣的厚度鋼的厚度為可見高頻超聲波很難透過氣體，但極易透過固體。波在彈性介質(zhì)中傳播時，任一點P

的振動，將會引起鄰近質(zhì)點的振動。就此特征而言，振動著的P點與波源相比，除了在時間上有延遲外，并無其他區(qū)別。Eg，障礙物上的小孔成為新的波源任意P

點均可視為一個新的波源。水波障礙物小孔a<l1、惠更斯原理（Huygensprinciple）§7-4惠更斯原理波的衍射反射和折射介質(zhì)中波陣面（波前）上的每個點，都可看成是產(chǎn)生球面子波的波源；在其后的任一時刻，這些子波的包絡(luò)面構(gòu)成新的波陣面。1678年，惠更斯總結(jié)出了以其名字命名的惠更斯原理：惠更斯1629-1695原波陣面新波陣面S1S2t時刻t

t時刻ut注：惠更斯原理對任何波動過程均適用；可幫助解決波的傳播問題，解釋波的衍射反射折射規(guī)律。tt時刻波面·平面波····ut波傳播方向t時刻波面球面波··············tt

t····a應(yīng)用舉例：波的衍射當(dāng)波在傳播過程中遇到障礙物時，其傳播方向繞過障礙物發(fā)生偏折的現(xiàn)象，稱為波的衍射。波在窄縫的衍射效應(yīng)a障礙物的線度越大衍射現(xiàn)象越不明顯，障礙物的線度越小衍射現(xiàn)象越明顯。相對于波長而言，波的衍射VS.障礙物線度入射波衍射波入射波衍射波障礙物障礙物實例：水波通過狹縫的衍射圖樣反射與折射也是波的特征。反射定律和折射定律可以利用惠更斯原理進行證明波的反射定律波的折射定律*應(yīng)用舉例：波的反射和折射當(dāng)波傳播到兩種介質(zhì)的分界面時，波的一部分在界面返回，形成反射波，另一部分進入另一種介質(zhì)形成折射波。DBCAE入射波波陣面AB，反射波波陣面CD，入射角i，反射角ii反射角等于入射角。平面法線子波波陣面（半徑多少？）子波波源=================1利用惠更斯原理推導(dǎo)反射定律i’in1n2CABDirr入射波波陣面AC，折射波波陣面BD，入射角i，折射角r入射角的正弦與折射角的正弦之比等于波動在入射介質(zhì)內(nèi)的波速與在折射介質(zhì)內(nèi)的波速的比值。利用惠更斯原理推導(dǎo)折射定律平面簡諧波垂直入射到兩種介質(zhì)交界面上，設(shè)界面處x

0，并設(shè)入射波在x

0處的振動初相位為零。入射波反射波透射波

1和2分別為x

0處反射波、透射波的振動相對入射波振動的相位差。*4、反射波、透射波的強度和相位入射波、反射波和透射波的表達式為：入射波反射波透射波介質(zhì)1介質(zhì)2入射波反射波透射波將入射波、反射波和透射波的表達式以指數(shù)形式給出：x

0處邊界條件：振動位移連續(xù)：應(yīng)力連續(xù)：(平面縱波為例)介質(zhì)1介質(zhì)2結(jié)合上述等式右方是實數(shù)，導(dǎo)致和也應(yīng)為實數(shù)。

半波損失作業(yè)：7.14，7.16，§7-5波的干涉1.波的疊加原理波傳播的獨立性：幾個波源產(chǎn)生的波，同時在一介質(zhì)中傳播，如果這幾列波在空間某點處相遇，那么每一列波都將獨立地保持自己原有的特性(頻率、波長、振動方向等)傳播。

1S2S交叉區(qū)域內(nèi)質(zhì)點的振動狀態(tài)？波的疊加原理幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的特征（頻率、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他波一樣。波的疊加原理：有幾列波同時在媒質(zhì)中傳播時，它們的傳播特性（波長、頻率、波速、波形）不會因其它波的存在而發(fā)生影響。在相遇區(qū)域，合振動是分振動的疊加。疊加原理表明，可將任何復(fù)雜的波分解為一系列簡諧波的組合。在相遇區(qū)域內(nèi)，任一處質(zhì)點的合振動是各列波單獨在該點引起的分振動的疊加；位移為各列波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和。1S2S交叉區(qū)域內(nèi)質(zhì)點的振動狀態(tài)？2.波的干涉相干波相干條件：振動方向相同頻率相同相位相同或相位差恒定相干波：滿足相干條件的幾列波稱為相干波。相干波源：能發(fā)出相干波的波源稱為相干波源。波的干涉頻率相同、振動方向平行、相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時，使某些地方振動始終加強，而使另一些地方振動始終減弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉現(xiàn)象。波的干涉強弱分布規(guī)律兩個相干波源S1和S2的振動方程分別為：S1和S2單獨存在時，在P點引起的振動的方程為：P

點的合方程為：振幅A和相位

0對于P點0

20

10

2(r2r1)/

為恒量，因此

A

也是恒量，并與

P點空間位置密切相關(guān)。旋轉(zhuǎn)矢量（合振幅最大）（合振幅最?。┊?dāng)時，得當(dāng)時，得當(dāng)

為其他值時，合振幅介于若f10

f20，上述條件簡化為：（合振幅最大）（合振幅最?。┖椭g波程差兩列相干波源同相位時，在兩列波疊加的區(qū)域內(nèi)，波程差為零或等于波長整數(shù)倍的各點，振幅最大；波程差等于半波長奇數(shù)倍的各點，振幅最小。若I1

I2，疊加后波的強度：同頻率、同方向、相位差恒定的兩列波，在相遇區(qū)域內(nèi)，某些點處振動始終加強，另一些點處的振動始終減弱，這一現(xiàn)象稱為波的干涉。