第6章材料力學(xué)簡單的超靜定問題

1第六章簡單的超靜定問題§6-1

超靜定問題及其解法§6-2

拉壓超靜定問題§6-3

扭轉(zhuǎn)超靜定問題§6-4

簡單超靜定梁§6-1

超靜定問題及其解法Ⅰ.關(guān)于超靜定問題的概述(a)(b)圖a所示靜定桿系為減小桿1,2中的內(nèi)力或節(jié)點(diǎn)A的位移(如圖b)而增加了桿3。此時(shí)有三個(gè)未知內(nèi)力FN1,FN2,FN3，但只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程──一次超靜定問題。(a)(b)圖a所示簡支梁為減小內(nèi)力和位移而如圖b增加了中間支座C成為連續(xù)梁。此時(shí)有四個(gè)未知約束力FAx,FA,FB,FC，但只有三個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程──一次超靜定問題。

超靜定問題：單憑靜力平衡方程不能求解約束力或構(gòu)件內(nèi)力的問題。FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxAB

qFBFAⅡ.解超靜定問題的基本思路例1超靜定結(jié)構(gòu)解除“多余”約束靜定基(例如桿3與接點(diǎn)A的連接)在靜定基上加上原有荷載及“多余”未知力并使“多余”約束處滿足變形(位移)相容條件相當(dāng)系統(tǒng)12BCAFFN3FN3AD于是可求出多余未知力FN3。由位移相容條件

，利用物理關(guān)系(位移或變形計(jì)算公式)可得補(bǔ)充方程：12BCAFFN3FN3AD靜定基ABl補(bǔ)充方程為于是可求出多余未知力FC。位移相容條件ΔCq+ΔCFC=0相當(dāng)系統(tǒng)ABl/2qlFC例2超靜定梁yxl/2l/2CABqⅢ.注意事項(xiàng)

(1)

超靜定次數(shù)=“多余”約束數(shù)=“多余”未知力=位移相容條件數(shù)=補(bǔ)充方程數(shù)，因而任何超靜定問題都是可以求解的。

(2)求出“多余”未知力后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移等均可利用相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算。

(3)

無論怎樣選擇“多余”約束，只要相當(dāng)系統(tǒng)的受力情況和約束條件確實(shí)與原超靜定系統(tǒng)相同，則所得最終結(jié)果是一樣的。

(4)“多余”約束的選擇雖然是任意的，但應(yīng)以計(jì)算方便為原則。如上所示連續(xù)梁若取B處鉸支座為“多余”約束，則求解比較復(fù)雜。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq

例1設(shè)1、2、3三桿用絞鏈連結(jié)，如圖所示,l1=l2=l，A1

=A2=A,E1=E2=E,3桿的長度l3

,橫截面積A3

,彈性模量E3

.試求在沿鉛垂方向的外力F

作用下各桿的軸力.

xyFAFN2FN3FN1解：（1）列平衡方程這是一次超靜定問題﹗§6-2拉壓超靜定問題CABDF123（2）變形幾何方程

由于問題在幾何，物理及受力方面都是對(duì)稱，所以變形后A點(diǎn)將沿鉛垂方向下移.變形協(xié)調(diào)條件是變形后三桿仍絞結(jié)在一起﹗CABDF123xyFAFN2FN3FN1CABD123A'

變形幾何方程為A123┕┕CABDF123CABD123A'A'(3)補(bǔ)充方程物理方程為(4)聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解CABDF123A123┕┕A'15

例題2

求圖a所示等直桿AB上,下端的約束力，并求C截面的位移。桿的拉壓剛度為EA。

解:1.

列平衡方程有兩個(gè)未知約束力FA

,FB(見圖a)，但只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程

FA+FB-F=0為一次超靜定問題。第六章簡單的超靜定問題16

2.

取固定端B為“多余”約束。相應(yīng)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖b，它應(yīng)滿足相容條件ΔBF+ΔBB=0，參見圖c，d。第六章簡單的超靜定問題3.

補(bǔ)充方程為由此求得所得FB為正值，表示FB的指向與假設(shè)的指向相符，即向上。17得FA=F-Fa/l=Fb/l。5.

利用相當(dāng)系統(tǒng)(如圖)求得4.

聯(lián)立求解FA+FB-F=0第六章簡單的超靜定問題

例3如圖所示剛性梁AB由1，2，3桿懸掛，三桿的剛度均為EA。求P力作用下三桿的軸力。解：（1）平衡方程：變形協(xié)調(diào)方程：（2）物理方程：（3）聯(lián)解（1）（2）（3）式得：ΔL3ΔL2ΔL1此時(shí)，變形協(xié)調(diào)條件為注意：受力圖與變形圖必須一致！例4圖示結(jié)構(gòu)，AB為剛性梁，1、2兩桿剛度相同。求1、2桿的受力。平衡方程:變形關(guān)系:物理關(guān)系:聯(lián)立解出:Ⅱ.裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力(1)裝配應(yīng)力超靜定桿系(結(jié)構(gòu))由于存在“多余”約束，因此如果各桿件在制造時(shí)長度不相匹配，則組裝后各桿中將產(chǎn)生附加內(nèi)力──裝配內(nèi)力，以及相應(yīng)的裝配應(yīng)力。圖a中所示桿系(E1A1=E2A2)中桿3的長度較應(yīng)有長度短了De，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時(shí)，桿3在結(jié)點(diǎn)A'

處受到裝配力FN3作用(圖b)，而桿1,2在匯交點(diǎn)A'

處共同承受與桿3相同的裝配力FN3作用(圖b)。(a)(b)求算FN3需利用位移(變形)相容條件(圖a)列出補(bǔ)充方程由此可得裝配力FN3，亦即桿3中的裝配內(nèi)力為(拉力）(a)至于各桿橫截面上的裝配應(yīng)力只需將裝配內(nèi)力(軸力)除以桿的橫截面面積即得。由此可見，計(jì)算超靜定桿系(結(jié)構(gòu))中的裝配力和裝配應(yīng)力的關(guān)鍵,仍在于根據(jù)位移(變形)相容條件并利用物理關(guān)系列出補(bǔ)充方程。而桿1和桿2中的裝配內(nèi)力利用圖b中右側(cè)的圖可知為

例題5

兩端用剛性塊連接在一起的兩根相同的鋼桿1,2(圖a)，其長度l=200mm，直徑d=10mm。試求將長度為200.11mm，亦即De=0.11mm的銅桿3(圖b)裝配在與桿1和桿2對(duì)稱的位置后(圖c)各桿橫截面上的應(yīng)力。已知：銅桿3的橫截面為20mm×30mm的矩形，鋼的彈性模量E=210GPa，銅的彈性模量E3=100GPa。

解：1.

如圖d所示有三個(gè)未知的裝配內(nèi)力FN1,

FN2,

FN3，但對(duì)于平行力系卻只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，故為一次超靜定問題。也許有人認(rèn)為，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可判明FN1=FN2，故未知內(nèi)力只有二個(gè)，但要注意此時(shí)就只能利用一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程：所以這仍然是一次超靜定問題。(d)2.變形相容條件(圖c)為這里的Dl3是指桿3在裝配后的縮短值，不帶負(fù)號(hào)。3.利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程：4.將補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立求解得：所得結(jié)果為正，說明原先假定桿1,2的裝配內(nèi)力為拉力和桿3的裝配內(nèi)力為壓力是正確的。5.各桿橫截面上的裝配應(yīng)力如下：（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）(2)溫度應(yīng)力

也是由于超靜定桿系存在“多余”約束，桿件會(huì)因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應(yīng)力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫度變化時(shí)由于不能自由伸縮，其橫截面上會(huì)產(chǎn)生相當(dāng)可觀的溫度應(yīng)力。

例題6

試求兩端與剛性支承連接的等截面桿(圖a)當(dāng)溫度升高Dt時(shí)橫截面上的溫度應(yīng)力。桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為l。(a)

解:

1.

由平衡方程只能知道桿兩端的軸向支約束力數(shù)值相等而指向相反，但不能給出約束力的值，可見這是一次超靜定問題。

2.

以剛性支撐B為“多余”約束后的基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸長變形Dlt和“多余”未知力FN產(chǎn)生的縮短變形DlF分別如圖所示。3.

變形相容條件為4.

補(bǔ)充方程為5.

由此得多余未知力6.

桿的橫截面上的溫度應(yīng)力為若該桿為鋼桿而l

=1.2×10-5/(?C)，E=210GPa，則當(dāng)溫度升高Dt=40?時(shí)有（壓應(yīng)力）§6-3

扭轉(zhuǎn)超靜定問題

例題6-5

兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。(a)

解:

1.

有二個(gè)未知約束力偶矩MA,MB，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程故為一次超靜定問題。(a)MAMB

2.

以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩MB為“多余”未知力。在解除“多余”約束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b；它應(yīng)滿足的位移相容條件為注：這里指的是兩個(gè)扭轉(zhuǎn)角的絕對(duì)值相等。另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3.

根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為4.桿的AC段橫截面上的扭矩為從而有(a)

例題6-6

由半徑為a的銅桿和外半徑為b的鋼管經(jīng)緊配合而成的組合桿，受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼管橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。(a)

解:

1.

銅桿和鋼管的橫截面上各有一個(gè)未知內(nèi)力矩──扭矩Ta和Tb(圖b)，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程Ta+Tb=Me，故為一次超靜定問題。TaTb(b)2.

位移相容條件為3.

利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程為4.

聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程得：TaTb(b)5.

銅桿橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為鋼管橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為上圖示出了銅桿和鋼管橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。需要注意的是，由于銅的切變模量Ga小于鋼的切變模量Gb，故銅桿和鋼管在r=a處切應(yīng)力并不相等，兩者之比就等于兩種材料的切變模量之比。這一結(jié)果與銅桿和鋼管由于緊配合而在交界處切向的切應(yīng)變應(yīng)該相同是一致的?！?-4

簡單超靜定梁Ⅰ.超靜定梁的解法解超靜定梁的基本思路與解拉壓超靜定問題相同。求解圖a所示一次超靜定梁時(shí)可以鉸支座B為“多余”約束，以約束力FB為“多余”未知力。解除“多余”約束后的靜定基為A端固定的懸臂梁。靜定基靜定基在原有均布荷載q和“多余”未知力FB作用下(圖b)當(dāng)滿足位移相容條件(參見圖c,d)

時(shí)該系統(tǒng)即為原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。若該梁為等截面梁，根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系(參見教材中的附錄Ⅳ)所得的補(bǔ)充方程為從而解得“多余”未知力所得FB為正值表示原來假設(shè)的指向(向上)正確。固定端的兩個(gè)約束力利用相當(dāng)系統(tǒng)由靜力平衡條件求得為該超靜定梁的剪力圖和彎矩圖亦可利用相當(dāng)系統(tǒng)求得，如圖所示。思考

1.該梁的反彎點(diǎn)(彎矩變換正負(fù)號(hào)的點(diǎn))距梁的左端的距離為多少？

2.該超靜定梁可否取簡支梁為基本靜定系求解？如何求解？

例題6-7

試求圖a所示系統(tǒng)中鋼桿AD內(nèi)的拉力FN。鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量E已知；鋼桿的橫截面積A和鋼梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩I亦為已知。

解:

1.

該系統(tǒng)共有三個(gè)未知力(圖b)FN,FB,FC，但平面平行力系僅有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，故為一次超靜定問題。

2.

取桿和梁在點(diǎn)A處的連接鉸為“多余”約束，相應(yīng)的“多余”未知力為FN。位移(變形)相容條件(參見圖b)為wA=DlDA。3.

物理關(guān)系(參見圖c,d)為需要注意，因DlDA亦即圖b中的是向下的，故上式中wAF為負(fù)的。4.于是根據(jù)位移(變形)相容條件得補(bǔ)充方程：由此求得

例題6-8

試求圖a所