第3章試驗(yàn)的方差分析11月11日上午

第3章試驗(yàn)的方差分析

（AnalysisofVariance,ANOVA）ANOVA是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀(jì)念Fisher，以F命名，故方差分析又稱(chēng)F檢驗(yàn)（F-test）。用于推斷多個(gè)總體平均數(shù)有無(wú)差異。理論基礎(chǔ)：將總變異分解為由研究因素所造成的部分和由抽樣誤差所造成的部分，通過(guò)比較來(lái)自于不同部分的變異，借助F分布做出統(tǒng)計(jì)判斷。方差分析（analysisofvariance，簡(jiǎn)稱(chēng)ANOVA）檢驗(yàn)試驗(yàn)中有關(guān)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性試驗(yàn)指標(biāo)（experimentalindex）衡量或考核試驗(yàn)效果的參數(shù)

因素（experimentalfactor）影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件

可控因素（controllablefactor）水平（leveloffactor）因素的不同狀態(tài)或內(nèi)容

1、檢驗(yàn)飲料的顏色是否對(duì)銷(xiāo)售量有影響，也就是檢驗(yàn)四種顏色飲料的平均銷(xiāo)售量是否相同。2、設(shè)μ1為無(wú)色飲料的平均銷(xiāo)售量，μ2為粉色飲料的平均銷(xiāo)售量，μ3為橘黃色飲料的平均銷(xiāo)售量，μ4為綠色飲料的平均銷(xiāo)售量，也就是檢驗(yàn)下面的假設(shè)：H0：μ1=μ2=μ3=μ4，顏色對(duì)銷(xiāo)售量無(wú)影響；H1:μ1,μ2,μ3,μ4不全相等，意味著來(lái)自不同的總體，表明顏色對(duì)銷(xiāo)售量產(chǎn)生影響。3、檢驗(yàn)上述方法采用的就是方差分析，就是一次性地對(duì)多個(gè)總體平均值是否相等這一假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)的方法。1、因素或因子所要檢驗(yàn)的對(duì)象稱(chēng)為因子；要分析飲料的顏色對(duì)銷(xiāo)售量是否有影響，顏色就是檢驗(yàn)的因素或因子。2、水平因素的具體表現(xiàn)稱(chēng)為水平；無(wú)色、粉色、橘黃色及綠色就是因素的水平。3、觀察值在每個(gè)因素水平下到的樣本值；每種顏色飲料的銷(xiāo)售量就是觀察值。4、試驗(yàn)這里只涉及一個(gè)因素，因此稱(chēng)為單因素四水平的試驗(yàn)；5、總體因素的每一個(gè)水平可以看作是一個(gè)整體；比如無(wú)色、粉色、橘黃色和綠色四種顏色可以看作是四個(gè)總體。6、樣本數(shù)據(jù)上面的數(shù)據(jù)可以看作是這四個(gè)總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)。方差分析的基本思想和基本原理觀察值的差異由因素中的不同水平造成的差異由于抽選樣品的隨機(jī)性產(chǎn)生的差異系統(tǒng)差異隨機(jī)差異總方差變異指標(biāo)組間方差SSA組內(nèi)方差SSe不同水平之間的方差，既包括系統(tǒng)誤差又包括隨機(jī)誤差同一水平內(nèi)部的方差，只包括隨機(jī)誤差如果顏色（水平）對(duì)銷(xiāo)售量（結(jié)果）沒(méi)有影響，那么在SSA中只包括隨機(jī)誤差，而沒(méi)有系統(tǒng)誤差。此時(shí)SSA和SSe就應(yīng)該很接近，兩個(gè)方差的比值就會(huì)接近1；如果不同的水平對(duì)結(jié)果產(chǎn)生了影響，在SSA中除了包含隨機(jī)誤差外，還會(huì)包含有系統(tǒng)誤差，這時(shí)SSA就會(huì)大于SSe，此時(shí)，兩個(gè)方差的比值就會(huì)大于1；當(dāng)這兩個(gè)比值達(dá)到一定程度的時(shí)候，既可以說(shuō)不同水平之間存在著顯著的差異。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

我們把組間方差與組內(nèi)方差之比稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。數(shù)理統(tǒng)計(jì)證明，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量服從F分布。又叫F統(tǒng)計(jì)量，即：F分布為正偏態(tài)分布，F(xiàn)是大于0的正數(shù)，許多類(lèi)型的假設(shè)檢驗(yàn)需要利用F分布，方差就是其中的一種。3.1單因素試驗(yàn)的方差分析

（one-way

analysis

of

variance）3.1.1單因素試驗(yàn)方差分析基本問(wèn)題（1）目的：檢驗(yàn)一個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著性（2）基本命題：設(shè)某單因素A有r種水平：A1，A2，…，Ar，在每種水平下的試驗(yàn)結(jié)果服從正態(tài)分布在各水平下分別做了ni（i＝1，2，…，r）次試驗(yàn)判斷因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響

（3）單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)表3.1.2單因素試驗(yàn)方差分析基本步驟（1）計(jì)算平均值組內(nèi)平均值：

總平均：（2）計(jì)算離差平方和①總離差平方和SST（sumofsquaresfortotal）

表示了各試驗(yàn)值與總平均值的偏差的平方和反映了試驗(yàn)結(jié)果之間存在的總差異②組間離差平方和SSA（sumofsquareforfactorA）

反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度由于因素A不同水平的不同作用造成的③組內(nèi)離差平方和SSe（sumofsquareforerror）反映了在各水平內(nèi)，各試驗(yàn)值之間的差異程度由于隨機(jī)誤差的作用產(chǎn)生三種離差平方和之間關(guān)系：（3）計(jì)算自由度（degreeoffreedom）總自由度：dfT＝n－1組間自由度：dfA

＝r－1組內(nèi)自由度：dfe

＝n－r

三者關(guān)系：dfT＝dfA＋dfe（4）計(jì)算平均平方均方＝離差平方和除以對(duì)應(yīng)的自由度MSA——組間均方MSe——組內(nèi)均方/誤差的均方（5）F檢驗(yàn)服從自由度為（dfA,dfe）的F分布（Fdistribution）對(duì)于給定的顯著性水平，從F分布表查得臨界值F(dfA，dfe)

如果FA

＞F(dfA，dfe)

，則認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有顯著影響（6）方差分析表若FA

＞F0.01(dfA，dfe)

，稱(chēng)因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有非常顯著的影響，用“**”號(hào)表示；若F0.05(dfA，dfe)

＜

FA

＜F0.01(dfA，dfe)

，則因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著的影響，用“*”號(hào)表示；若FA

＜F0.05(dfA，dfe)

，則因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著單因素試驗(yàn)的方差分析表例3-1為考察溫度對(duì)某種化工產(chǎn)品得率的影響，選取了5種不同的溫度，在同一溫度下各做三次試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3-3所示。試問(wèn)溫度對(duì)得率有無(wú)顯著影響。表3-3例3-1試驗(yàn)結(jié)果表依題意，本例為單因素試驗(yàn)的方差分析，單因素為溫度，它有5中水平，即r=5，在每種水平下做了3次試驗(yàn)，故ni=3（i=1，2，…5）,總試驗(yàn)次數(shù)為15。表3-5例3-1方差分析表3.1.3Excel在單因素試驗(yàn)方差分析中的應(yīng)用利用Excel“分析工具庫(kù)”中的“單因素方差分析”工具3.2雙因素試驗(yàn)的方差分析討論兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性，又稱(chēng)“二元方差分析”3.2.1雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析（1）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)表3-7雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)表（2）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟①計(jì)算平均值總平均：Ai水平時(shí)：Bj水平時(shí)：②計(jì)算離差平方和總離差平方和：因素A引起離差的平方和：因素B引起離差的平方和：誤差平方和：③計(jì)算自由度SSA的自由度：dfA

＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSe的自由度：dfe＝（r－1）（s－1）SST的自由度：dfT＝n－1＝rs－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfe④計(jì)算均方

⑤F檢驗(yàn)FA服從自由度為（dfA,dfe)的F分布；FB服從自由度為（dfB,dfe)的F分布；對(duì)于給定的顯著性水平

，查F分布表：

F（dfA,dfe)，F(xiàn)（dfB,dfe)若FA＞F

（dfA,dfe)，則因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無(wú)顯著影響；若FB＞F

（dfB,dfe)，則因素B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無(wú)顯著影響；⑥無(wú)重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表表3-8無(wú)重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表例題某廠(chǎng)對(duì)所生產(chǎn)的高速銑刀進(jìn)行淬火工藝試驗(yàn)，選擇3種不同的等溫溫度：A1=280℃，A2=300℃，A3=320℃；以及三種不同的淬火溫度：B1=1210℃，B2=1235℃，B3=1250℃，測(cè)得淬火后的銑刀硬度如下表所示。銑刀硬度試驗(yàn)結(jié)果例題方差分析表3.2.2雙因素重復(fù)試驗(yàn)的方差分析（1）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表表3-9雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表（2）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟①計(jì)算平均值總平均：任一組合水平（Ai，Bj）上：Ai水平時(shí)：Bj水平時(shí)：②計(jì)算離差平方和總離差平方和：因素A引起離差的平方和：因素B引起離差的平方和：交互作用A×B引起離差的平方和：誤差平方和：③計(jì)算自由度SSA的自由度：dfA

＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSA×B的自由度：dfA×B

＝(r－1)(s－1)SSe的自由度：dfe＝rs(c－1)SST的自由度：dfT＝n－1＝rsc－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfA×B＋

dfe④計(jì)算均方⑤F檢驗(yàn)若FA＞F

（dfA,dfe)，則認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無(wú)顯著影響；若FB＞F

（dfB,dfe)，則認(rèn)為因素