第3章集合的基本概念

第3章集合的基本概念和運(yùn)算教學(xué)要求掌握子集、空集、全集、包含等基本概念；掌握集合的表示法；掌握集合的運(yùn)算；掌握集合的計數(shù)；3.1集合的基本概念集合的概念是數(shù)學(xué)中的基本概念，故無法對集合下一個確切的定義，正象在幾何中無法定義點(diǎn)、直線一樣。因此，我們只能對它進(jìn)行描述。一、集合的概念集合是人們直觀上或思想上能夠明確區(qū)分的一些確定的、彼此不同的事物或?qū)傩运鶚?gòu)成的整體。每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。

組成集合的事物被稱為集合的元素，同一集合中的元素之間可以有某種關(guān)聯(lián)，也可以彼此毫無關(guān)系。集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1，1，2}，等同于{1，2}?；ギ愋允辜现械脑貨]有重復(fù)，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素。

集合中的元素沒有次序關(guān)系。{a,b,c}{c,b,a}是同一個集合集合通常用大寫英文字母來標(biāo)記，集合中的元素用小寫字母表示二、集合的表示方法列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在花括號內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1，2，3，……}描述法：常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號或式子等描述出來﹐寫在花括號內(nèi)﹐

如：：A={x|0<x<π}

B=1.子集、全集與空集子集描述了一個集合與另一個集合之間的關(guān)系，其定義如下。定義：

設(shè)A和B是任意兩個集合，如果集合A的每個元素，都是集合B中的一個元素，則稱A是B的子集，或稱A被包含于B中，或者說B包含A，并記為AB。三、集合間的關(guān)系本定義也可表成：AB(x)(xAxB)這表明，要證明AB，只需對任意元素x，有下式：xAxB成立即可。此外，若集合B不包含集合A，記為AB。/定義：

設(shè)A和B是兩個集合，若AB且AB，則稱A是B的真子集，記為AB，也稱B真包含A。該定義也可表為：AB(ABAB)定義：設(shè)A和B是兩個集合，若AB且BA，則稱A和B相等，記為A=B該定義也可表為：A=B(ABBA)由以上定義可知，兩個集合相等的充分必要條件是它們具有相同的元素定義：沒有任何元素的集合，稱為空集，記為，它可形式地表為：={x|P(x)P(x)}其中P(x)為任何謂詞公式。由定義可知，對任何集合A，有A。這是因?yàn)槿我庠豿，公式xxA總是為真注:空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”,空集也被認(rèn)為是有限集合

注意，與{}是不同的，空集是唯一的{}是以為元素的集合，而沒有任何元素能用構(gòu)成集合的無限序列：(1)，{}，{{}}，···該序列除第一項(xiàng)外，每項(xiàng)均以前一項(xiàng)為元素的集合。(2)，{}，{，{}}，···該序列除第一項(xiàng)外，每項(xiàng)均以前面各項(xiàng)為元素的集合定義：

如果一個集合包含了所要討論的每一個集合，則稱該集合為全集，記為U或E。它可形式地表為：E={x|P(x)P(x)}其中P(x)為任何謂詞公式。顯然，全集E即是第二章中的全總論域。于是，每個元素x都屬于全集E，由定義易知，對任意集合A，都有AE。全集是個相對性概念，在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)具體問題作出選擇。2．集合的冪集一個集合的冪集是指該集合所有子集的集合，即是由這些子集所組成的集合族。定義：

設(shè)A為一集合，A的冪集是一集合族，記為P(A)，P(A)={B|BA}由定義可知，P(A)，AP(A)。

注意：n元集合有2n個子集。若A是n元集，則P(A)有2n個元素3．集合的基數(shù)表示集合中元素多少或度量集合大小的數(shù)，稱作集合的基數(shù)或勢。一個集合A的基數(shù)，記為|A|。如果一個集合恰有m個不同的元素，且m是某個非負(fù)整數(shù)，稱該集合是有限的或有窮的，否則稱這個集合為無限的或無窮的。本書中常見的無窮集合有：N={0,1,2,3,···}，即自然數(shù)集合。Z={···,-2,-1,0,1,2,3,···}，即整數(shù)集合。Z+={1,2,3,···}，即正整數(shù)集合。Q=有理數(shù)集合。R=實(shí)數(shù)集合。C=復(fù)數(shù)集合。3.2集合運(yùn)算及其性質(zhì)集合運(yùn)算是指用已知的集合去生成新的集合。假設(shè)所有集合都是全集E的子集，即這些集合是利用子集公理得到的。常見的集合運(yùn)算有：并、交和差運(yùn)算、絕對補(bǔ)集、對稱差1．并、交和差運(yùn)算定義:設(shè)A和B是任意兩個集合，①A和B的并是集合，記為A∪B，A∪B={x|xAxB}②A和B的交是集合，記為A∩B，A∩B={x|xAxB}③

A和B的差，或B關(guān)于A的相對補(bǔ)是集合，記為A-B，A-B={x|xAxB}④若A和B是集合，且A∩B=，則稱A和B是不相交的。2.絕對補(bǔ)集、對稱差①集合A的絕對補(bǔ)集是集合（即相對于全集的補(bǔ) 集），記為～A

～A=E-A={x|xExA}={x|xA}例如:全集U={1，2，3，4，5},若A={1，2，5}那么全集有而A中沒有的3，4就是A的補(bǔ)集。

～A={3，4}。

②任給集合A和B，A和B的對稱差是集合，記為AB，AB=(A-B)∪(B-A)

={x|(xAxB)(xBxA)}例如：A={a,b,c},B={b,d},

則AB={a,c,d}

對稱差運(yùn)算的另一種定義是：

AB=（A∪B）-(A∩B)

3．文氏圖文氏(Venn)圖是一種利用平面上的點(diǎn)構(gòu)成的圖形來形象展示集合的一種方法。全集E用一個矩形的內(nèi)部表示，其他集合用矩形內(nèi)的圓面或一封閉曲線圈成的面積來表示（1）等冪律 A∪A=A

A∩A=A（2）結(jié)合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)（3）交換律 A∪B=B∪A

A∩B=B∩A（4）分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（5）同一律 A∪=A

A∩E=A4.主要算律（6）零律 A∪E=E

A∩=（7）排中律

A∪～A=E

A∩～A=（8）吸收律 A∪(A∩B)=A

A∩(A∪B)=A（9）德·摩根律～(A∪B)=～A∩～B

～(A∩B)=～A∪～B（10）雙重否定律～(～A)=A（11）排中律A∪～A=E，（12）矛盾律A∩～A=。推論： ①～A～B=AB ②AB=BA ③AA=問題：如何用集合的概念來描述一些現(xiàn)實(shí)問題？例1：設(shè)某計算機(jī)允許多道工作（設(shè)在此處道數(shù)為2），其內(nèi)存分配如下：系統(tǒng)區(qū)，第一道作業(yè)區(qū)和公共區(qū)，第二道作業(yè)區(qū)和公共區(qū)。試用集合表示出：⑴第一道作業(yè)的內(nèi)存區(qū)域；⑵第二道作業(yè)的內(nèi)存區(qū)域；⑶第一道作業(yè)不能訪問的內(nèi)存區(qū)域；⑷第二道作業(yè)不能訪問的內(nèi)存區(qū)域；⑴第一道作業(yè)的內(nèi)存區(qū)域；⑵第二道作業(yè)的內(nèi)存區(qū)域；⑶第一道作業(yè)不能訪問的內(nèi)存

區(qū)域；⑷第二道作業(yè)不能訪問的內(nèi)存

區(qū)域；整個內(nèi)存組成全集E，系統(tǒng)區(qū)為集合S，第一道作業(yè)的專用區(qū)為集合A；第二道作業(yè)的專用區(qū)為集合B；第一、第二道作業(yè)的公共區(qū)為集合C；A∪C例2：某圖書館有藏書100萬冊，有一讀者前往查閱。他希望了解所有19世紀(jì)的以描寫農(nóng)民生活為題材的長篇小說以及1979年出版的我國的不是描寫文化大革命的長篇小說之書名。請將此讀者所要了解之書名用集合描述。令：全集E為所有該圖書館藏書的書名集，F(xiàn)為所有十九世紀(jì)的書所組成的書名集H為所有描寫農(nóng)民生活題材的書所組成的書名集R為所有長篇小說所組成的書名集S為所有1979年出版的書所組成的書名集C為所有中國的書所組成的書名集K為所有描寫文化大革命的書所組成的書名集讀者所要了解之書名用集合描述如下：(R∩G∩F∩H)∪(S∩C∩～K)3.3集合中元素的計數(shù)1.基數(shù)：表示集合中所含元素多少的量記作：或cardA=n2.有窮集和無窮集定義：設(shè)A為集合，若存在自然數(shù)n（0也是自然數(shù)）。使得cardA=n，則稱A為有窮集，否則稱A為有無窮集3.包含排斥原理（1）兩個集合的基數(shù)關(guān)系

設(shè)A1，A2為有限集合，其元素個數(shù)分別記為|A1|，|A2|，根據(jù)集合運(yùn)算的定義，顯然以下各式成立

|A1∪A2|≤|A1|+|A2|

|A1∩A2|≤min(|A1|，|A2|)

|A1-A2|≥|A1|-|A2|，

|A1⊕A2|＝|A1|+|A2|-2|A1∩A2|

（2）兩個集合的包含排斥原理：|A1∪A2|＝(|A1|+|A2|)-|A1∩A2|

|A1∩A2|＝|S|-(|A1|+|A2|)+|A1∩A2|

∵～A1∩～A2=～(A1∪A2)=S-(A1∪A2)例題1假設(shè)在10名青年中有5名是工人，7名是學(xué)生，其中兼具有工人與學(xué)生雙重身份的青年有3名，問既不是工人又不是學(xué)生的青年有幾名?

解:設(shè)工人的集合為W，學(xué)生的集合為S，則根據(jù)題設(shè)有：|W|＝5，|S|＝7，|W∩S|＝3。則

|～W∩～S|＝10-(|W|+|S|-|W∩S|)＝10-(5+7-3)＝1

所以既不是工人又不是學(xué)生的青年有一名?；蛘呤枪と嘶蛘呤菍W(xué)生的青年有九名。

|W∪S|＝(|W|+|S|)-|W∩S|＝5+7-3＝9（3）三個集合的包含排斥原理

對于任意三個集合A1，A2和A3，我們可以推廣上述定理的結(jié)果為：

|A1∪A2∪A3|＝|A1|+|A2|+|A3|-|A1∩A2|-|A1∩A3|-|A2∩A3|-|A1∩A2∩A3|

|A1∩A2∩A3|＝|S|-（|A1|+|A2|+|A3|）+（|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|）-|A1∩A2∩A3|例題2在某工廠裝配三十輛汽車，可供選擇的設(shè)備是收音機(jī)