第二章 運(yùn)動(dòng)的守恒量和守恒定律

前言我們往往只關(guān)心過程中力的效果——力對(duì)時(shí)間和空間的積累效應(yīng)。力在時(shí)間上的積累效應(yīng)：平動(dòng)沖量動(dòng)量的改變轉(zhuǎn)動(dòng)沖量矩角動(dòng)量的改變力在空間上的積累效應(yīng)功改變能量牛頓定律是瞬時(shí)的規(guī)律。在有些問題中，如：碰撞（宏觀）、（微觀）…散射第二章運(yùn)動(dòng)的守恒量和守恒定律§2-1質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§2-2動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律§2-3功能量動(dòng)能定理§2-4保守力成對(duì)力的功勢(shì)能§2-5質(zhì)點(diǎn)系的功能原理機(jī)械能守恒定律§2-6碰撞§2-7質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律§2-8對(duì)稱性和守恒定律§2-1質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外力系統(tǒng)內(nèi)，內(nèi)力是成對(duì)出現(xiàn)的。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。內(nèi)力（internalforce）外力（externalforce）質(zhì)點(diǎn)系外物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所施加的力?！?-1質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理二、質(zhì)心質(zhì)心（centerofmass）是與質(zhì)量分布有關(guān)的一個(gè)代表點(diǎn)，它的位置在平均意義上代表著質(zhì)量分布的中心。對(duì)于N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：直角坐標(biāo)系中的分量式：質(zhì)心的位矢：對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體分量式：面分布體分布線分布質(zhì)心的位矢：質(zhì)心與重心（centerofgravity）是兩個(gè)不同的概念，重心是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力(即重力)的作用點(diǎn)，質(zhì)心與重心的位置不一定重合?！瘛靶【€度”物體的質(zhì)心和重心是重合的?！窬鶆驐U、圓盤、圓環(huán)、球，質(zhì)心為其幾何中心。例2-1求腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置。取寬度為dx的面積元，設(shè)薄板每單位面積的質(zhì)量為，則此面積元的質(zhì)量為解：取坐標(biāo)軸如圖，根據(jù)對(duì)稱性分析可知三、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)心位矢公式：質(zhì)心的速度為質(zhì)心的加速度為由牛頓第二定律得對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)成對(duì)的內(nèi)力質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)等同于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，它受到的外力為質(zhì)點(diǎn)系所受的所有外力的矢量和。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：拉力紙·C×球往哪邊移動(dòng)？思考系統(tǒng)內(nèi)力不會(huì)影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，▲在光滑水平面上滑動(dòng)的扳手，▲做跳馬落地動(dòng)作的運(yùn)動(dòng)員盡管在翻轉(zhuǎn)，但▲爆炸的焰火彈雖然碎片四散，但其質(zhì)心仍在做拋物線運(yùn)動(dòng)其質(zhì)心仍做拋物線運(yùn)動(dòng)例如：其質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng)§2-2動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律一、動(dòng)量定理由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：表示力對(duì)時(shí)間的累積量，叫做沖量（impulseofforce)。其中，質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。說明

(1)沖量的方向是所有元沖量的合矢量的方向。動(dòng)量定理反映了力在時(shí)間上的累積作用對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的效果。動(dòng)量定理（theoremofmomentum）：(2)動(dòng)量定理中的動(dòng)量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理，或以分量形式進(jìn)行計(jì)算：(3)

在

沖擊、

碰撞問題中估算平均沖力（implusiveforce）。(4)動(dòng)量定理是牛頓第二定律的積分形式，只適用于慣性系。F(t)Ft(5)動(dòng)量定理在處理變質(zhì)量問題時(shí)很方便。船行“八面風(fēng)”逆風(fēng)行舟帆v1v2v1v2Δv風(fēng)

F風(fēng)對(duì)帆

F橫

F進(jìn)

F橫

F阻龍骨F帆對(duì)風(fēng)Δv研究錘對(duì)工件的作用過程，在豎直方向利用動(dòng)量定理，取豎直向上為正。例2-2

質(zhì)量m=0.3t的重錘，從高度h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時(shí)間(1)=0.1s，(2)=0.01s。試求錘對(duì)工件的平均沖力。以重錘為研究對(duì)象，分析受力，作受力圖。解：解法一：解法二：研究錘從自由下落到靜止的整個(gè)過程，其動(dòng)量變化為零。重力作用時(shí)間為支持力的作用時(shí)間為由動(dòng)量定理：例2-3一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為m及m'的物體A和B，m'大于m。B靜止在地面上，當(dāng)A自由下落距離h后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速度，以及能上升的最大高度。作繩拉緊時(shí)的受力圖。繩子剛好拉緊前的瞬間，物體A的速度為解：經(jīng)過短暫的沖擊過程，兩物體速率相等，對(duì)兩物體分別應(yīng)用動(dòng)量定理（取向上為正）：考慮到繩不可伸長(zhǎng)，有：平均沖力FT1

、FT2>>重力，因而忽略重力。繩子拉緊后，A、B系統(tǒng)的加速度為即為繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速度。速度為零時(shí)，物體B達(dá)到最大高度H：*二、變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程設(shè)t

時(shí)刻，某物體質(zhì)量為

m，速度為(<<c)，另有一質(zhì)元dm，速度為。t+dt

時(shí)刻合并后的共同速度為。把物體與質(zhì)元作為系統(tǒng)，由動(dòng)量定理略去二階小量，變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程注意：dm可正可負(fù)，當(dāng)dm取負(fù)時(shí)，表明物體質(zhì)量減小。例2-4質(zhì)量為m的均質(zhì)鏈條，全長(zhǎng)為L(zhǎng)，手持其上端，使下端離地面的高度為h。然后放手讓它自由下落到地上。求鏈條落到地上的長(zhǎng)度為l時(shí)，地面所受鏈條作用力的大小。解：用變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程求解。落在地面上鏈段ml速度為零，作用在未落地部分(m-ml)上的外力有重力和地面給它的沖力。取向下為正：

即自由下落：地面所受鏈條作用力為（已落地部分鏈條的重力）

例2-5礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B，其速度v1=4m/s，方向與豎直方向成30°角，而傳送帶B與水平成15°角，其速度v2=2m/s。如傳送帶的運(yùn)送量恒定，設(shè)為k=20kg/s，求落到傳送帶B上的礦砂在落上時(shí)所受到的力。解：設(shè)在某極短的時(shí)間t內(nèi)落在傳送帶上礦砂的質(zhì)量為m，即m=kt，這些礦砂動(dòng)量的增量為其大小為設(shè)這些礦砂在時(shí)間t內(nèi)所受的平均作用力為，由動(dòng)量定理方向由近似豎直向上=常矢量=常矢量根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：若三、動(dòng)量守恒定律即如果系統(tǒng)所受的外力之和為零，則系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，這個(gè)結(jié)論叫做動(dòng)量守恒定律（lawofconservationofmomentum）。則質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒和質(zhì)心勻速運(yùn)動(dòng)等價(jià)！(2)當(dāng)外力作用遠(yuǎn)小于內(nèi)力作用時(shí)，可近似認(rèn)為系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。（如：碰撞、打擊過程等）(1)動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)動(dòng)量總和不變，但系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可以變化,通過內(nèi)力進(jìn)行傳遞和交換。說明(3)

分量式(4)

定律不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領(lǐng)域。*四、火箭飛行設(shè)t

時(shí)刻，火箭質(zhì)量為

m，速度為v(向上)，在

dt

內(nèi)，噴出氣體dm(<0)，噴氣相對(duì)火箭的速度(稱噴氣速度)為u(向下)，使火箭的速度增加了dv。若不計(jì)重力和其他外力，由動(dòng)量守恒定律可得

略去二階小量，設(shè)u是一常量，設(shè)火箭開始飛行的速度為零，質(zhì)量為m0，燃料燒盡時(shí)，火箭剩下的質(zhì)量為m，此時(shí)火箭能達(dá)到的速度是火箭的質(zhì)量比多級(jí)火箭：第i級(jí)火箭噴氣速率第i級(jí)火箭質(zhì)量比最終速度：t+dt時(shí)刻：速度v-u，動(dòng)量dm(v-u)由動(dòng)量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量火箭所受的反推力研究對(duì)象：噴出氣體dmt時(shí)刻：速度v(和主體速度相同)，動(dòng)量vdmF箭對(duì)氣dt=dm(v-u)-vdm=-F氣對(duì)箭dt由此得火箭所受燃?xì)獾姆赐屏槔?-6

如圖所示,設(shè)炮車以仰角發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質(zhì)量分別為m'

和m，炮彈的出口速度為v，求炮車的反沖速度v'。炮車與地面間的摩擦力不計(jì)。解：選取炮車和炮彈組成系統(tǒng)內(nèi)、外力分析。炮車與地面間的摩擦力不計(jì)，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒。得炮車的反沖速度為思考：豎直方向動(dòng)量守恒嗎？系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒：炸裂時(shí)爆炸力是物體內(nèi)力，它遠(yuǎn)大于重力，故在爆炸中，可認(rèn)為動(dòng)量守恒。例2-7

一個(gè)靜止物體炸成三塊，其中兩塊質(zhì)量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飛開，第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和。試求第三塊的速度（大小和方向）。解：即和及都成，且三者都在同一平面內(nèi)

例2-8

質(zhì)量為m1

和m2的兩個(gè)小孩，在光滑水平冰面上用繩彼此拉對(duì)方。開始時(shí)靜止，相距為l。問他們將在何處相遇？把兩個(gè)小孩和繩看作一個(gè)系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒。任取兩個(gè)小孩連線上一點(diǎn)為原點(diǎn)，向右為x軸為正向。解：設(shè)開始時(shí)小孩的坐標(biāo)分別為x10、x20，在任意時(shí)刻的速度分別v1為v2，坐標(biāo)為x1和x2。由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：相遇時(shí)：x1=x2由動(dòng)量守恒：（1）代入式（1）得結(jié)果表明，兩小孩在純內(nèi)力作用下，將在他們共同的質(zhì)心相遇。上述結(jié)果也可直接由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求出。相遇時(shí)有一、功的概念物體在力的作用下發(fā)生一無限小的位移(元位移)時(shí)，此力對(duì)它做的功（work）定義為可以寫成兩個(gè)矢量的標(biāo)積（scalarproduct）：功是標(biāo)量，沒有方向，但有正負(fù)。單位：Nm=J(焦耳)功率（power）：?jiǎn)挝唬篔/s(W)§2-3功能量動(dòng)能定理（為力與位移的夾角）能量是反映各種運(yùn)動(dòng)形式共性的物理量，各種運(yùn)動(dòng)形式的相互轉(zhuǎn)化可以用能量來量度。各種運(yùn)動(dòng)形式的相互轉(zhuǎn)化遵守能量守恒定律。與機(jī)械運(yùn)動(dòng)直接相關(guān)的能量是機(jī)械能，它是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（即位置和速度）的單值函數(shù)，包括動(dòng)能和勢(shì)能。二、能量能量是物體狀態(tài)的單值函數(shù)。物體狀態(tài)發(fā)生變化，它的能量也隨之變化。三、動(dòng)能定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)在變力的作用下沿曲線從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，變力所做的功為：由牛頓第二定律：定義質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能（kineticenergy）：則有動(dòng)能定理（theoremofkineticenergy）：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。

3.功是一個(gè)過程量，而動(dòng)能是一個(gè)狀態(tài)量。1.

與參考系有關(guān)，動(dòng)能定理只在慣性系中成立。2.4.微分形式：例2-9

裝有貨物的木箱，重量G=980N，要把它運(yùn)上汽車?，F(xiàn)將長(zhǎng)l=3m的木板擱在汽車后部，構(gòu)成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽車。斜面與地面成30°角，木箱與斜面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)=0.20，繩的拉力與斜面成10°角，大小為700N。求：（1）木箱所受各力所做的功；（2）合外力對(duì)木箱所做的功；（3）如改用起重機(jī)把木箱直接吊上汽車能不能少做些功？木箱所受的力分析如圖所示。拉力F

所做的功重力所做的功解：（1）每個(gè)力所做的功：正壓力所做的功根據(jù)牛頓第二定律：摩擦力所做的功：（2）合力所做的功：（3）如改用起重機(jī)把木箱吊上汽車。所用拉力F'至少要等于重力。這時(shí)拉力所做的功為等于重力所做的功，而符號(hào)相反，這時(shí)合外力所做的功為零。與（1）中F做的功相比較，用了起重機(jī)能夠少做功。（1）中推力F

所多做的功：其中，435J的功用于克服摩擦力，轉(zhuǎn)變成熱量；余下165J的功將使木箱的動(dòng)能增加。例2-10

柔軟均質(zhì)物體以初速v0

送上平臺(tái)，物體前端在平臺(tái)上滑行s距離后停止。設(shè)滑道上無摩擦，物體與臺(tái)面間的摩擦因數(shù)為，且s＞Ｌ，求初速度v0

。解：由動(dòng)能定理：一、保守力根據(jù)各種力做功的特點(diǎn)，可將力分為保守力和非保守力。保守力（conservativeforce）：如：重力、萬有引力、彈性力以及靜電力等。非保守力（non-conservativeforce）：如：摩擦力、回旋力等。做功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。做功不僅與始末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)的力?！?-4保守力成對(duì)力的功勢(shì)能重力的功重力做功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)，重力是保守力！設(shè)物體m從a點(diǎn)沿任一曲線移動(dòng)到b點(diǎn)。在元位移中，重力所做的元功為如果物體沿閉合路徑abcda運(yùn)動(dòng)一周，容易計(jì)算重力所做的功為：討論表明保守力沿任何閉合路徑做功等于零。（L為任意閉合路徑）或彈性力的功彈性力做功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)，彈性力是保守力！設(shè)光滑水平桌面一端固定的輕彈簧(k)，另一端連接質(zhì)點(diǎn)

m，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中：萬有引力的功設(shè)質(zhì)量為m'的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在m'

的引力場(chǎng)中從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。萬有引力的功僅由物體的始末位置決定，與路徑無關(guān)，萬有引力是保守力！摩擦力的功

摩擦力做功與路徑有關(guān)，摩擦力是非保守力！質(zhì)量為m的物體在桌面上沿曲線路徑從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，設(shè)物體與桌面的摩擦因數(shù)為，其中sab為物體經(jīng)過的路程，與物體的運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)。二、成對(duì)力的功設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1和m2，存在一對(duì)相互作用力和。

在dt

時(shí)間內(nèi)分別經(jīng)過元位移和，這一對(duì)力所做的元功為相對(duì)元位移成對(duì)力的功：討論

(1)成對(duì)作用力和反作用力所做的總功只與作用力及相對(duì)位移有關(guān)，而與每個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。(2)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移和作用力都是不隨參考系而變化的，因此，任何一對(duì)作用力和反作用力所做的總功具有與參考系選擇無關(guān)的不變性質(zhì)。(3)可以由相對(duì)位移來分析系統(tǒng)中成對(duì)內(nèi)力的功。三、勢(shì)能與物體的位置相聯(lián)系的系統(tǒng)能量稱為勢(shì)能（potentialenergy），常用Ep表示。保守力的功是勢(shì)能變化的量度：物體在保守力場(chǎng)中a、b兩點(diǎn)的勢(shì)能Epa、Epb

之差等于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)過程中保守力做的功Aab：

成對(duì)保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少。保守力的功只與物體的始末位置有關(guān)，而與參照系無關(guān)。彈性勢(shì)能重力勢(shì)能引力勢(shì)能如：若選勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能的大小只有相對(duì)的意義，相對(duì)于勢(shì)能零點(diǎn)而言。勢(shì)能零點(diǎn)可以任意選取。勢(shì)能差有絕對(duì)意義。勢(shì)能是相互作用有保守力的系統(tǒng)的屬性。說明已知?jiǎng)菽芎瘮?shù)，可以計(jì)算保守力。由又保守力沿某坐標(biāo)軸的分量等于勢(shì)能對(duì)此坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。四、勢(shì)能曲線（1）根據(jù)勢(shì)能曲線的形狀可以討論物體的運(yùn)動(dòng)。（2）利用勢(shì)能曲線，可以判斷物體在各個(gè)位置所受保守力的大小和方向。解：例2-11

已知雙原子分子的勢(shì)函數(shù)為，a、b為正常數(shù)，函數(shù)曲線如圖所示，如果分子的總能量為零。求：(1)雙原子之間的最小距離；(2)雙原子之間平衡位置的距離；(3)雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離；(4)畫出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。(1)當(dāng)動(dòng)能Ek=0時(shí)，Ep為最大，兩原子之間有最小距離：平衡位置的條件為F=0，最大引力的條件為(2)雙原子之間平衡位置的距離(3)雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離在位置x1處，保守力F為零。在勢(shì)能曲線的拐點(diǎn)位置x2

處，保守力F有最小值。(4)畫出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理設(shè)系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1

和m2組成，對(duì)質(zhì)點(diǎn)1和2分別應(yīng)用動(dòng)能定理：相加，得系統(tǒng)外力的功Ae系統(tǒng)內(nèi)力的功Ai§2-5質(zhì)點(diǎn)系的功能原理機(jī)械能守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：系統(tǒng)的外力和內(nèi)力做功的總和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。二、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理內(nèi)力的功可分為保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)力的功：質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：當(dāng)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時(shí)，它的機(jī)械能的增量等于外力的功與非保守內(nèi)力的功的總和。與動(dòng)能定理比較，運(yùn)用功能原理時(shí)由于保守力所做的功已為系統(tǒng)勢(shì)能的變化所代替，因此不必再計(jì)算保守內(nèi)的功。例2-12

一汽車的速度v0=36km/h，駛至一斜率為0.010的斜坡時(shí)，關(guān)閉油門。設(shè)車與路面間的摩擦阻力為車重G的0.05倍，問汽車能沖上斜坡多遠(yuǎn)？解法一：取汽車為研究對(duì)象。受力分析如圖所示。解：設(shè)汽車能沖上斜坡的距離為s，此時(shí)汽車的末速度為0。根據(jù)動(dòng)能定理：解法二：取汽車和地球這一系統(tǒng)為研究對(duì)象，運(yùn)用系統(tǒng)的功能原理：以下同解法一。物體受力：重力的作用、摩擦力和正壓力。用功能原理進(jìn)行計(jì)算，把物體和地球作為系統(tǒng)。例2-13

如圖所示，一質(zhì)量m=2kg的物體從靜止開始，沿四分之一的圓周從A滑到B，已知圓的半徑R=4m，設(shè)物體在B處的速度v=6m/s，求在下滑過程中，摩擦力所作的功。解：摩擦力和正壓力都是變力。正壓力不做功。三、機(jī)械能守恒定律若由質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：則機(jī)械能守恒定律（lawofconservationofmechanicalenergy）：如果系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力與外力做的功都為零，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總值保持不變。四、能量守恒定律

對(duì)孤立系統(tǒng)：能量守恒定律（lawofconservationofenergy）：一個(gè)孤立系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時(shí)，該系統(tǒng)的所有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另外一種形式，或從系統(tǒng)內(nèi)一個(gè)物體傳給另一個(gè)物體。它是自然界最普遍的定律之一。則由質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：例2-14

起重機(jī)用鋼絲繩吊運(yùn)一質(zhì)量為m的物體，以速度v0做勻速下降，如圖所示。當(dāng)起重機(jī)突然剎車時(shí)，物體因慣性進(jìn)行下降，問使鋼絲繩再有多少微小的伸長(zhǎng)？(設(shè)鋼絲繩的勁度系數(shù)為k，鋼絲繩的重力忽略不計(jì)。)這樣突然剎車后，鋼絲繩所受的最大拉力將有多大？研究物體、地球和鋼絲繩所組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。解：首先討論起重機(jī)突然停止的瞬時(shí)位置處的機(jī)械能，設(shè)物體因慣性繼續(xù)下降的微小距離為h，并以這最低位置作為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，則有設(shè)這時(shí)鋼絲繩的伸長(zhǎng)量為x0，則有再討論物體下降到最低位置時(shí)的機(jī)械能：機(jī)械能守恒：物體做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，鋼絲繩的伸長(zhǎng)量x0滿足最低位置時(shí)相應(yīng)的伸長(zhǎng)量x=x0+h是鋼絲繩的最大伸長(zhǎng)量，所以鋼絲繩所受的最大拉力1.第一宇宙速度已知：地球半徑為R，質(zhì)量為mE，人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m。要使衛(wèi)星在距地面h高度繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求其發(fā)射速度。設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運(yùn)動(dòng)速度為v。機(jī)械能守恒：萬有引力提供向心力：例2-15

討論宇宙速度得第一宇宙速度：2.第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度。(1)脫離地球引力時(shí)，飛船的動(dòng)能必須大于或等于零。(2)脫離地球引力處，飛船的引力勢(shì)能為零。由機(jī)械能守恒：得3.第三宇宙速度物體相對(duì)太陽的速度為物體脫離太陽引力所需的最小速度應(yīng)滿足地球相對(duì)太陽的速度：物體相對(duì)于地球的發(fā)射速度：從地面發(fā)射物體要飛出太陽系，既要克服地球引力，又要克服太陽引力，所以發(fā)射時(shí)物體的動(dòng)能必須滿足第三宇宙速度：*五、黑洞任何物體都被它的引力所約束，不管用多大的速度都無法脫離，連光都跑不出來，稱為黑洞。對(duì)于質(zhì)量為mC的天體，若物體的逃逸速度為質(zhì)量為mC的黑洞的半徑：（史瓦西半徑）第一個(gè)黑洞的侯選者：X射線雙星天鵝座X-1太陽質(zhì)量RS=3km如果兩個(gè)或幾個(gè)物體在相遇中，物體之間的相互作用僅持續(xù)一個(gè)極為短暫的時(shí)間，這些現(xiàn)象就是碰撞（collision）。如：撞擊、打樁、鍛鐵等，以及微觀粒子間的非接觸相互作用過程即散射（scattering）等。討論兩球的對(duì)心碰撞或稱正碰撞（directimpact）：即碰撞前后兩球的速度在兩球的中心連線上。1.碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒：§2-6碰撞2.牛頓的碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度(v2-v1)，與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由兩球的材料性質(zhì)決定。即恢復(fù)系數(shù)（coefficientofrestitution）：完全非彈性碰撞（perfectinelasticcollision）：

e=0v2=v1非彈性碰撞（inelasticcollision）：

0<e<1

完全彈性碰撞（perfectelasticcollision）：

e=1

v2-v1

=

v10-v20

完全彈性碰撞：機(jī)械能損失：完全彈性碰撞過程，系統(tǒng)的機(jī)械能（動(dòng)能）也守恒。1.當(dāng)m1=m2時(shí)，則

質(zhì)量相等的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在碰撞中交換彼此的速度。2.若v20=0，且m2>>m1，則

質(zhì)量很小的質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量很大的靜止質(zhì)點(diǎn)碰撞后，調(diào)轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方向，而質(zhì)量很大的質(zhì)點(diǎn)幾乎保持不動(dòng)。3.若v20=0，且m2<<m1，則

質(zhì)量很大的質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量很小的靜止質(zhì)點(diǎn)碰撞后速度幾乎不變，但質(zhì)量很小的質(zhì)點(diǎn)卻以近兩倍的速度運(yùn)動(dòng)起來。討論非彈性碰撞：碰后兩球的速度為機(jī)械能損失：完全非彈性碰撞：損失的機(jī)械能：如打樁、打鐵時(shí)m1/m2越大，機(jī)械能損失越小。打鐵m1/m2越小，機(jī)械能損失越大；打樁例2-16

光滑桌面上，質(zhì)量為m1的小球以速度u

碰在質(zhì)量為m2的靜止小球上，u

與兩球的連心線成θ

角(稱為斜碰obliqueimpact)。設(shè)兩球表面光滑，它們相互撞擊力的方向沿著兩球的連心線，已知恢復(fù)系數(shù)為e，求碰撞后兩球的速度。x、y方向動(dòng)量分別守恒：解：設(shè)碰后兩球速度分別為v1、v2

，方向如圖所示?；謴?fù)系數(shù)：兩個(gè)質(zhì)量相等的小球發(fā)生彈性斜碰：

m1=m2,e=1時(shí)，有聯(lián)立三個(gè)方程后求解，得討論例一質(zhì)量為m的小球從內(nèi)壁為半球形的容器邊緣無摩擦地滑下，容器質(zhì)量為M，內(nèi)壁半徑為R，放在光滑的水平面上，如圖所示。開始小球與容器都處于靜止?fàn)顟B(tài)，有人為了求出小球自容器邊緣B滑至底部A處時(shí)，容器對(duì)小球的作用力，列出了如下方程:

式中和分別為小球到達(dá)A處時(shí)小球和容器對(duì)地的速度。試指出上述方程中哪個(gè)是錯(cuò)的，錯(cuò)在何處？說明原因并改正之?！?/p>

第一式錯(cuò)。因?yàn)樾∏蜓厍蛐蝺?nèi)壁滑下時(shí)，它相對(duì)于容器作圓周運(yùn)動(dòng)，由于小球下滑，容器同時(shí)在桌面上滑動(dòng)，小球相對(duì)桌面作曲線運(yùn)動(dòng)，軌跡不是圓周。此人列的第一式中的R應(yīng)是小球的軌跡在A點(diǎn)時(shí)的曲率半徑，而不是圓的半徑R，此式錯(cuò)了?！?/p>

正確解法是：選容器為參照系，小球相對(duì)容器作圓周運(yùn)動(dòng)，在小球落至A處這一時(shí)刻，容器無豎直方向（法向）加速度，豎直方向慣性力等于零。因此引入質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量（angularmomentum）：大小：方向：右手螺旋定則確定一、角動(dòng)量（動(dòng)量矩）由于動(dòng)量不能描述轉(zhuǎn)動(dòng)問題。§2-7質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律特例：做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于，質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量大小為，大小不變，方向不變。質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心O的角動(dòng)量為常量。二、角動(dòng)量守恒定律定義合力對(duì)參考點(diǎn)O的力矩：上式又寫為于是有質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理或積分質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理稱沖量矩——力矩對(duì)時(shí)間的積累作用。（積分形式）（微分形式）力矩的計(jì)算★

集中力（力集中在一點(diǎn)）方法一：大?。悍较颍号c相同元力矩總力矩方法二：★

分散力（力分散在一區(qū)域內(nèi)）例唱機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞著通過盤心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，唱片放上去后將受轉(zhuǎn)盤的摩擦力作用而隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)唱片可以看成是半徑為R的均勻圓盤，質(zhì)量為，唱片和轉(zhuǎn)盤之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為。問唱片受到的摩擦力矩有多大？解：★

注意摩擦力分布在整個(gè)圓盤上，因此第一步：方向：第二步：方向：沿軸——質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律

（lawofconservationofangularmomentum）OmvF·L（中心力）r（1）mvrsin=const.，（2）軌道在同一平面內(nèi)。1020

是普遍規(guī)律，宏觀、微觀都適用。30

有心力：運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受的力總是通過一個(gè)固定點(diǎn)。力心特征：質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量永遠(yuǎn)守恒！40質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，對(duì)另一點(diǎn)不一定守恒。50

角動(dòng)量守恒，不見得動(dòng)量守恒。討論比較動(dòng)量定理角動(dòng)量定理

形式上完全相同，所以記憶上就可簡(jiǎn)化。從動(dòng)量定理變換到角動(dòng)量定理，只需將相應(yīng)的量變換一下，名稱上改變一下。

表明小球?qū)A心的角動(dòng)量保持不變。實(shí)驗(yàn)：質(zhì)量為m的小球系在輕繩的一端，繩穿過一豎直的管子，一手握管，另一手執(zhí)繩。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：則解釋：作用在小球上的有心力對(duì)力心的力矩為零，故小球的角動(dòng)量守恒。

角動(dòng)量守恒定律可導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律：rLvSm行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)：作用在行星上的萬有引力（有心力）對(duì)太陽（力心）的力矩為零，因此，行星在運(yùn)動(dòng)過程中，對(duì)太陽的角動(dòng)量保持不變。例錐擺的角動(dòng)量對(duì)O點(diǎn)：合力矩不為零，角動(dòng)量變化。對(duì)O點(diǎn)：合力矩為零，角動(dòng)量大小、方向都不變。（合力不為零，動(dòng)量改變?。㎡lO錐擺m▲

星云具有盤形結(jié)構(gòu)：pc—秒差距，1pc=3.0861016m旋轉(zhuǎn)的星云解：例2-17

發(fā)射宇宙飛船去考察一質(zhì)量m1半徑R的行星，當(dāng)飛船靜止于距行星中心4R處時(shí)，以速度發(fā)射一質(zhì)量為m2(m2遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量)的儀器,要使儀器恰好掠著行星的表面著陸，q角應(yīng)是多少?著陸滑行初速度v多大?有心力場(chǎng)中，運(yùn)用角動(dòng)量守恒和(m1,m2)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律：例2-18當(dāng)質(zhì)子以初速v0通過質(zhì)量較大的原子核時(shí)，原子核可看作不動(dòng)，質(zhì)子受到原子核斥力的作用引起了散射，它運(yùn)行的軌跡將是一雙