《增長(zhǎng)速度的比較》設(shè)計(jì)

《增長(zhǎng)速度的比較》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1.理解平均變化率的概念并掌握平均變化率的計(jì)算．2．理解直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的含義以及三種函數(shù)模型性質(zhì)的比較．3．會(huì)分析具體的實(shí)際問(wèn)題，能夠建模解決實(shí)際問(wèn)題．【教學(xué)重點(diǎn)】理解直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的含義以及三種函數(shù)模型性質(zhì)的比較．【教學(xué)難點(diǎn)】會(huì)分析具體的實(shí)際問(wèn)題，能夠建模解決實(shí)際問(wèn)題．【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過(guò)程】認(rèn)知初探1．平均變化率⑴定義：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1<x2時(shí))或[x2，x1](x1>x2時(shí))上的平均變化率為eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).⑵實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比.⑶理解：自變量每增加1個(gè)單位，函數(shù)值平均將增加eq\f(Δf,Δx)個(gè)單位．⑷應(yīng)用：比較函數(shù)值變化的快慢．思考：對(duì)于函數(shù)f(x)=x+1,g(x)=4x-3,當(dāng)Δx足夠大時(shí),對(duì)于x∈R,f(+Δx),g(+Δx)的大小關(guān)系能確定嗎?[提示]提示:當(dāng)Δx足夠大時(shí),f(+Δx)<g(+Δx)2．幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型y＝kx(k>0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快，即增長(zhǎng)速度急劇，形象地稱為“爆炸式增長(zhǎng)”．(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢，即增長(zhǎng)速度平緩．(4)冪函數(shù)模型當(dāng)x>0，n>1時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是增函數(shù)，且當(dāng)x>1時(shí)，n越大其函數(shù)值的增長(zhǎng)速度就越快．小試牛刀1．下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是()A．y＝2020xB．y＝x2020C．y＝log2020xD．y＝2020xA解析：比較冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快，故選A.]2.函數(shù)f(x)＝eq\r(x)從0到2的平均變化率為()A．eq\f(\r(2),2) B．1C．0 D．2A解析：由題意可知，函數(shù)f(x)＝eq\r(x)從0到2的平均變化率為eq\f(f（2）－f（0）,2－0)＝eq\f(\r(2),2)，故選A.3.若x∈(0,1)，則下列結(jié)論正確的是()A．2x＞xeq\s\up20(\f(1,2))＞lgxB．2x＞lgx＞xeq\s\up20(\f(1,2))C．xeq\s\up20(\f(1,2))＞2x＞lgxD．lgx＞xeq\s\up20(\f(1,2))＞2xA解析：結(jié)合y＝2x，y＝xeq\s\up20(\f(1,2))及y＝lgx的圖像易知當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，2x＞xeq\s\up20(\f(1,2))＞lgx．4.在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中,溫度隨著時(shí)間變化的情況由微機(jī)記錄后顯示的圖像如圖所示.現(xiàn)給出下列說(shuō)法:①前5min溫度增加的速度越來(lái)越快;②前5min溫度增加的速度越來(lái)越慢;③5min以后溫度保持勻速增加;④5min以后溫度保持不變.其中正確的說(shuō)法是________.(填序號(hào))

②④解析：因?yàn)闇囟葃關(guān)于時(shí)間t的圖像是先凸后平,即5min前每當(dāng)t增加一個(gè)單位增量,則y相應(yīng)的增量越來(lái)越小,而5min后是y關(guān)于t的增量保持為0,則②④正確.例題講解平均變化率【例1】(1)在x＝1附近，取Δx＝，在四個(gè)函數(shù)①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝eq\f(1,x)中，平均變化率最大的是()A．④ B．③C．② D．①(2)汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖像如圖所示，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分別為eq\o(v,\s\up10(－))1，eq\o(v,\s\up10(－))2，eq\o(v,\s\up10(－))3，則三者的大小關(guān)系為_(kāi)_______．【解析】(1)Δx＝時(shí)，①y＝x在x＝1附近的平均變化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均變化率k2＝2＋Δx＝；③y＝x3在x＝1附近的平均變化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝；④y＝eq\f(1,x)在x＝1附近的平均變化率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f(10,13).所以k3＞k2＞k1＞k4，故應(yīng)選B.(2)eq\o(v,\s\up10(－))1＝eq\f(s（t1）－s（t0）,t1－t0)＝kOA，eq\o(v,\s\up10(－))2＝eq\f(s（t2）－s（t1）,t2－t1)＝kAB，eq\o(v,\s\up10(－))3＝eq\f(s（t3）－s（t2）,t3－t2)＝kBC，又因?yàn)閗BC＞kAB＞kOA，所以eq\o(v,\s\up10(－))3＞eq\o(v,\s\up10(－))2＞eq\o(v,\s\up10(－))1.【答案】(1)B(2)eq\o(v,\s\up10(－))3＞eq\o(v,\s\up10(－))2＞eq\o(v,\s\up10(－))1方法點(diǎn)撥求平均變化率的主要步驟(1)求Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)求Δx＝x2－x1.(3)求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).當(dāng)堂練習(xí)1已知函數(shù)f(x)＝2x＋3，g(x)＝x2，判斷f(1)與g(1)的相對(duì)大小，并求出使得f(1＋Δx)<g(1＋Δx)成立的Δx的取值范圍．解f(1)＝2×1＋3＝5，g(1)＝1，故f(1)＞g(1)．函數(shù)f(x)＝2x＋3在R上的平均變化率恒為2.函數(shù)g(x)＝x2在區(qū)間[1,1＋Δx]上的平均變化率eq\f(Δg,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝Δx＋2>2.又因?yàn)楫?dāng)2x＋3＝x2，即x＝3(x＝－1舍去)時(shí)，f(x)＝g(x)，所以當(dāng)Δx>3－1＝2時(shí)，f(1＋Δx)<g(1＋Δx)成立，所以滿足條件的Δx的取值范圍為(2，＋∞)．函數(shù)模型增長(zhǎng)的差異【例2】(1)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是()f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)⑵甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下結(jié)論：①當(dāng)x＞1時(shí)，甲走在最前面；②當(dāng)x＞1時(shí)，乙走在最前面；③當(dāng)0＜x＜1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x＞1時(shí)，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，那么最終走在最前面的是甲．其中，正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______．[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)情況及指數(shù)函數(shù)的底數(shù)對(duì)其增長(zhǎng)速度的影響來(lái)判斷．(2)根據(jù)不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)來(lái)判斷．⑴B(2)③④⑤解析：(1)由函數(shù)性質(zhì)可知，在區(qū)間(4，＋∞)，指數(shù)函數(shù)g(x)＝2x增長(zhǎng)最快，對(duì)數(shù)函數(shù)h(x)＝log2x增長(zhǎng)最慢，所以g(x)>f(x)>h(x)．⑵由，所以①錯(cuò)誤.所以②錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，最小，則③正確.由指、對(duì)、冪型函數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)可知④⑤正確.故選③④⑤方法方法總結(jié)：三種函數(shù)模型的表達(dá)式及其增長(zhǎng)特點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)模型：表達(dá)式為fx＝abx＋ca，b，c為常數(shù)，a>0，b>0且b≠1，當(dāng)b>1時(shí)，增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快，常稱之為“指數(shù)爆炸”；當(dāng)0<b<1時(shí)，函數(shù)值由快到慢地減小.2對(duì)數(shù)函數(shù)模型：表達(dá)式為fx＝mlogax＋nm，n，a為常數(shù)，m>0，a>0且a≠1，當(dāng)a>1時(shí)，增長(zhǎng)的特點(diǎn)是開(kāi)始階段增長(zhǎng)得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來(lái)越慢，常稱之為“蝸牛式增長(zhǎng)”；當(dāng)0<a<1時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值逐漸減小，變化得越來(lái)越慢.3冪函數(shù)模型：表達(dá)式為fx＝axα＋ba，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1，α>0，其增長(zhǎng)情況由a和α的取值確定，常見(jiàn)的有二次函數(shù)模型.當(dāng)堂練習(xí)2四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：x151015202530y1226101226401626901y2232102432768×106×107×109y32102030405060y42關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是________．y2解析：從表格觀察函數(shù)值y1，y2，y3，y4的增加值，哪個(gè)變量的增加值最大，則該變量關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化．以爆炸式增長(zhǎng)的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開(kāi)始變化，變量y1，y2，y3，y4都是越來(lái)越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量y2的增長(zhǎng)速度最快，畫出它們的圖像(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化．]三類函數(shù)圖像的比較【例3】函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖像如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖像，判斷f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大?。甗思路點(diǎn)撥]首先判斷x1、x2的范圍，再判斷6和2020在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)，從而得到f(6)與g(6)，f(2020)與g(2020)的大小．最后四個(gè)值進(jìn)行排序．[解](1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2,2020＞x2.從圖像上可以看出，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)．當(dāng)x＞x2時(shí)，f(x)＞g(x)，∴f(2020)＞g(2020)．又∵g(2020)＞g(6)，∴f(2020)＞g(2020)＞g(6)＞f(6)．方法總結(jié)由圖像判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的方法根據(jù)圖像判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖像上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖像最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖像趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)；圖像增長(zhǎng)速度不變的是一次函數(shù)．當(dāng)堂練習(xí)3函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝－1的圖像如圖所示．(1)指出圖中C1，C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖像交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較)．【解】(1)由函數(shù)圖像特征及變化趨勢(shì)，知曲線C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝－1，曲線C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，g(x)＞f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)＜f(x)；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)＞f(x)．g(x)呈直線增長(zhǎng)，函數(shù)值變化是均勻的，f(x)隨著x的增大而逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來(lái)越慢．課堂小結(jié)1．平均變化率我們已經(jīng)知道，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1<x2時(shí))或[x2，x1](x1>x2時(shí))上的平均變化率為eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).也就是說(shuō)，平均變化率實(shí)質(zhì)上是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，這也可以理