第10講-數(shù)陣圖(二)

第數(shù)陣和幻方二）幻方問題的研究在我國已流傳了兩千多年，它是具有獨特形式的填數(shù)字問題說公元前二千多年在大禹治水的時候黃河支流洛水浮起一只大烏龜，它的背上有個奇特的圖案圖1來人們把它稱之為“洛書、相傳在我國遠古的時代，有一匹龍馬游于黃河，馬背上負有一幅奇的圖案，這就是所謂的“河圖實際上它是由九個數(shù)字排成一定的格式（如2圖中有一個非常有趣的性質(zhì)：它的橫、豎、對角線上的每三個數(shù)字之和都是。一般地，在n×n（n行n列）的方格內(nèi)，不重不漏填n×n個連續(xù)自然數(shù)，并且每行、每列、每條對角線n個自然數(shù)的和都相等，則稱它n階幻方。這個和叫做幻和，n叫做幻方又叫魔方，宮算或縱橫。魔方：我國的縱橫圖通過東南亞國家，印度、阿拉伯傳到西方。由于縱橫圖具有十分奇幻的特性，西方把縱橫圖叫作MagicSquare，翻譯成中文就是“幻方”或“魔方九宮算所謂九宮，就是將一個正方形用兩組與邊平行的分割線，每組兩條，分割成的九個小正方格個小方格分別填入19這九個自然數(shù)中的其中一個，不同的方格填入的數(shù)不同，使得三橫行中每一橫行三個數(shù)的和（叫行和三縱列中每一縱列三個數(shù)的和（叫列和兩條對角線中每一條對角線上三個數(shù)的和（叫對角和）都相相等，這樣得到的圖就叫九宮（算）圖?？v橫圖：長期以來縱橫圖一直被看作是一種數(shù)字游戲一直到南宋時期的數(shù)學(xué)家楊輝才真正把它作為一個數(shù)學(xué)問題而加以深入的研究楊輝在他《續(xù)古摘奇算法一書中不僅搜集到了大量的各種類型的縱橫圖而且對其中的部分縱橫圖還給出了如何構(gòu)造的規(guī)則和方法，從而開創(chuàng)了這一組合數(shù)學(xué)研究的新領(lǐng)域。解決幻方問題的關(guān)鍵是確定中心數(shù)和頂點數(shù)中間數(shù)，四角數(shù)，其余數(shù)）三階幻方：就是將九個連續(xù)自然數(shù)填入3×3（三行三列）的方格內(nèi)，使每行每列、每條對角線的和相等，這叫做三階幻方奇數(shù)階方：“羅伯樓貝法”西歐在十六，十七世紀時，構(gòu)造幻方非常盛行。十七世紀，E路第十四對構(gòu)造幻方有著濃厚的興趣專門派La（樓貝使泰1687-1688Loubere：將在邏羅學(xué)的構(gòu)造作畫何奇數(shù)階幻方法的一種統(tǒng)一的方法1上行正中央，依斜填切忘，上出框往下填右出框時左放，排便在下格，右上排重個樣。揚輝方：輝《續(xù)古摘奇算法中寫“九子排列上下對易左右相更，四維挺出”楊輝給出的方形縱橫圖共有十三幅，它們是：洛書數(shù)（三階幻方）一幅，四四圖（四階幻方）兩幅，五五圖（五階幻方）兩幅，六六圖（六階幻方）兩幅，七七圖（七階幻方）兩幅，六十四圖（八階幻方）兩幅，九九圖（九階幻方）一幅，百子圖（十階幻方）一幅（參見圖1-9-3中還給出了“洛書數(shù)”和“四四陰圖”的構(gòu)造方法。如“洛書數(shù)”的構(gòu)造方法為：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。但可惜的是楊輝只停留在個別縱橫圖的構(gòu)造上沒有上升成一般的理論他所造出的百子圖，雖然每一行和，每一列都等于（…97+98+99+100=505，但兩對角和不是等于505直到我國清代的張潮（—？）費了九牛二虎之力才造出第一個兩對角和也是505的百子圖。偶數(shù)階方：對稱交的方法將數(shù)依次填入方格中，對角線滿足要求。調(diào)整行，對角線數(shù)不動，對稱行的其它數(shù)對調(diào)。調(diào)整列，對角線數(shù)不動，對稱列的其它數(shù)對調(diào)。數(shù)陣圖一些數(shù)字按照一定的要求，排列成各種各樣的圖形，叫做數(shù)陣圖。1、封閉型：封閉型數(shù)陣圖的解題突破口，是確定各邊頂點所應(yīng)填的數(shù)。為確定這些數(shù)采用的方法是建立有關(guān)的等式通過以最小值到最大值的討論來確定每條邊上的幾個數(shù)之和再將和數(shù)進行拆分以找到頂點應(yīng)填入的數(shù)其余的數(shù)再利用和與頂點的數(shù)就容易被填出—6）2、輻射型：輻射型數(shù)陣圖，解法的關(guān)鍵是確定中心數(shù)。具體方法是：通過所給條件建立有關(guān)等式通過整除性的討論確定出中心數(shù)的取值然后求出各邊上數(shù)的和后將和自然數(shù)分拆中心數(shù)的若干個自然數(shù)之和定邊上其他的數(shù)。（1—9和相等）3、復(fù)合型：復(fù)合型數(shù)陣圖，解題的關(guān)鍵是要以中心數(shù)和頂點數(shù)為突破口，和相等）典型舉例1將1～8這八個數(shù)分別填入右圖的○中，使兩個大圓上的五個數(shù)之和都等于。解：中間兩個數(shù)重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1，所以兩個重疊數(shù)之和為21×2-(1+2+…。在已知的八個數(shù)中，兩個數(shù)之和為的只有1與5，2與4。每個大圓上另外三個數(shù)之和為21-6=15。如果兩個重疊數(shù)為1與5，那么剩下的六個數(shù)2，3，4，6，7，8平分為兩組，每組三數(shù)之和為15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下圖的填法。如果兩個重疊數(shù)為2與4，那么同理可得上頁右下圖的填法。練11、把1—6六個數(shù)字填入下圖，使每個大圓上四個數(shù)字之和都是16。2、把2、46、81012、14這八個數(shù)分別填入下圖，使每個大圓內(nèi)五個數(shù)的和都是44典型舉例2將1～6這六個自然數(shù)分別填入右圖的六個○內(nèi)，使得三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于11。解本題有三個重疊數(shù)即三角形三個頂點○內(nèi)的數(shù)都是重疊數(shù)并且各重疊一次。所以三個重疊數(shù)之和等于11×3-(1+2+…。1～6中三個數(shù)之和等于的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三個重疊數(shù)是15，6，那么根據(jù)每條邊上的三個數(shù)之和等11，可得左下圖的填法。容易發(fā)現(xiàn)，所填數(shù)不是1～，不合題意。同理，三個重疊數(shù)也不能是，4，5。經(jīng)試驗，當重疊數(shù)是2，4，6時，可以得到符合題意的填法(見右上圖)。練2將3—8這六個數(shù)分別填入下圖中，使得每條邊上的三數(shù)之和都是。典型舉例3將1～6這六個自然數(shù)分別填入下圖的六個○中，使得三角形條邊上的三個數(shù)之和都相等。解與典型例2同的是不知道每邊的三數(shù)之和等于幾因為三個重疊數(shù)都重疊了一次，由(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和=每邊三數(shù)之和×，得到每邊的三數(shù)之和等于[(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和]÷3=(21+重疊數(shù)之和)÷3=7+重疊數(shù)之和÷3。因為每邊的三數(shù)之和是整數(shù)所以重疊數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù)考慮到重疊數(shù)是1～6中的數(shù)，所以三個重疊數(shù)之和只能是，9，12或15，對應(yīng)的每條邊上的三數(shù)之和就是9，10，11或12。與例2方法類似，可得下圖的四種填法：每邊三數(shù)之和=9每邊三數(shù)之和10每邊三數(shù)之和11每邊三數(shù)之和=12典型舉例4將2～9這八個數(shù)分別填入右圖的○里，使每條邊上的三個數(shù)之和都等于18。解：四個角上的是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是次。所以四個重疊數(shù)之和等于18×4-(2+3+…。而在已知的八個數(shù)中，四數(shù)之和為的只有：4+7+8+9=28或。又由于18-9-8=1，1不是已知的八個數(shù)之一，所以，8和9只能填對角處。由此得到左下圖所示的重疊數(shù)的兩種填法：“試填”的結(jié)果，只有右上圖的填法符合題意。說明：以上例題都是封閉型數(shù)陣圖。一般地，在m邊形中，每條邊上n個數(shù)的形如下圖的圖形稱為封閉型圖。“輻射型m-n圖只有一個重疊數(shù)重疊次數(shù)是m-1同的是封閉型m-n圖有m個重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。對于封閉型數(shù)陣圖，因為重疊數(shù)只重疊一次，所以已知各數(shù)之和+重疊數(shù)之和=每邊各數(shù)之和×邊數(shù)。由這個關(guān)系式，就可以分析解決封閉型數(shù)陣圖的問題。前面我們講了輻射型數(shù)陣圖和封閉型數(shù)陣圖然大多數(shù)數(shù)陣問題要比它們復(fù)雜些，但只要緊緊抓住“重疊數(shù)”進行分析，就能解決很多數(shù)陣問題。練41、將1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)分別填入下面的圖里，使得每條邊上的三個數(shù)之和是12。2、將2—9這八個數(shù)填入下圖，使每條邊上的三個數(shù)的和都等于。典型舉例5把1～7分別填入左下圖中的七個空塊里個圓圈里的四個數(shù)之和都等于。解：這道題的“疊數(shù)”很多。有重疊2次的(中心數(shù)，記為；有重疊次的(三個數(shù)，分別記為b，c，d)。根據(jù)題意應(yīng)有(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3，即a+a+b+c+d=11。因為1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分別為2，3，4才符合題意，填法見右上圖。練5在下面圓圈內(nèi)的空白處填入78、、，使每個院內(nèi)的四個數(shù)的和都相等。4

61典型舉例6把1—9這九個數(shù)填入下圖的方格中并使每一行每一列和對角線上的數(shù)的和都相等解：方一：（1）先填中心數(shù)，把1－9按從小到大順序排成一排，第五個數(shù)填在中心格。（2）將剩下的八個數(shù)排成兩排，第一排為、2、3、4、第二排為8、7、6、5即12348765根據(jù)兩排數(shù)字填上四個角，四個角的數(shù)就是兩排中第二、第四列中的四個數(shù)，這兩列數(shù)字按對角填。用對角線的和減去每行或每列知道的數(shù)字就完成了。方法二（1）這9數(shù)字按照如下方式排列：12369（2）下兩個數(shù)互換：92361（3）左右兩個數(shù)互換：92761（4）填入表格即可。練61、將20－填入九宮格中，使每行、每列、兩條對角線的和相等1、將17－填入九宮格中，使之成為一個三階幻方A基礎(chǔ)訓(xùn)練1.把1～8填入下頁左上圖的八個○里，使每個圓圈上的五個數(shù)之和都等于20。2.把1～6這六個數(shù)填入右上圖的○里每個圓圈上的四個數(shù)之和都相等。3.將1～8填入左下圖的八個○中，使得每條邊上的三個數(shù)之和都等于。4.將1～8填入右上圖的八個○中，使得每條直線上的四個數(shù)之和與每個圓周上的四個數(shù)之和都相等。5.將1～7填入右圖的七個○，使得每條直線上的各數(shù)之和都相等。6.把1，3，5，7，911，13分別填入左圖中的七個空塊中，使得每個圓內(nèi)的四個數(shù)之和都等于34。答案與提示練習(xí)17每個圓周的四數(shù)之和=12每個圓周的四數(shù)之和=13每個圓周的四數(shù)之和=14每個圓周的四數(shù)之和=15每個圓周的四數(shù)之和=163.提示四個頂點數(shù)之和為15×4－(1＋＋…＋8)=24四個頂點數(shù)有3，7，8和4，5，7，8兩種可能。經(jīng)試驗只有左下圖一個解。4.提示：每條直線或每個圓周上的四個數(shù)之和都等于(1＋2＋…＋8)÷7＝18。填法見右上圖。(填法不唯一)5.提示：頂上的數(shù)重疊2次，其它數(shù)都重疊1次。(1＋2＋…＋7)×2＋頂上數(shù)=每條線上的和×5，56＋頂上數(shù)=每條線上的和×。由上式等號左端是5的倍數(shù)，推知“頂上數(shù)。所以每條線上的三個數(shù)之和為(56＋4)÷5＝12。經(jīng)試驗填法如上圖。(填法不唯一)6.與例類似(見上圖)。沖刺冠1.把18這8個數(shù),分別填入圖中的方格內(nèi)每個數(shù)必須用一次),使“十一”三筆中每三個方格內(nèi)數(shù)的和都相等.2.把~1111個數(shù)分別填入如下圖11○內(nèi),使每條虛線上三個○內(nèi)數(shù)的和相等,一共有幾種不同的和?3.在下圖中的幾個圈內(nèi)各填一個數(shù),使每一條直線上的三個數(shù)中中的數(shù)是兩邊兩個數(shù)的平均數(shù),現(xiàn)在已經(jīng)填好兩個數(shù),那么x().13174.在圖的每個圓圈內(nèi)填上適當?shù)馁|(zhì)數(shù)(不得重),使每條直線上三個數(shù)的和相等,且均為偶數(shù).5.圖有五個圓,它們相交相互分成9個區(qū)域現(xiàn)在兩個區(qū)域里已經(jīng)填上10與6，請在另外七個區(qū)域里分別填進2.3.4.5.6.7.9個數(shù),使每圓內(nèi)的和都等于15.1066.10個連續(xù)的自然數(shù)中第個的數(shù)是9,把這10數(shù)填入圖中的10個方格內(nèi),每格填一個數(shù),要求圖中3×2的正方形中個之和相等,那么這個和最小值是______.7.將~10這十個數(shù)分別填入下圖中的十個○內(nèi),使每條線段上四個○內(nèi)數(shù)的和相等,每個三角形三個頂點上○內(nèi)數(shù)的和也相等8.把116這16個數(shù),填入圖中16個○內(nèi),使五個正方形的四個頂點上○內(nèi)數(shù)的和相等.9.將1-12這十二個數(shù)分別填入圖中的十二個小圓圈里使每條直線上的四個小圓圈中的數(shù)字之和26.10.在圖中的空格中填入四個數(shù),使每個橫行每個豎行的三個數(shù)的積都相等.9020365012411.在圖中分別填入,,,和,,,,,使每橫行,每豎列每斜3551515151515行的三個分數(shù)之和都相等.12.1這十二個數(shù),填入下圖中個○內(nèi)使每條線段上四個數(shù)的和相等,兩個同心圓上的數(shù)的和也相等.13.將15這五個數(shù)填入下圖中,使每行和每列的3個數(shù)的和相等.14.將19這九個數(shù)分別填入圖中○內(nèi),使每條線段三個數(shù)相等.4747——————————————答案———