2021-2022學(xué)年河北省忠德學(xué)校衡水教學(xué)部高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對的邊分別為，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．2．兩圓和相外切，且，則的最大值為（）A． B．9 C． D．13．拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．4．已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A． B． C．4 D．5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．846．已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，過的直線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則的離心率為（）A．2 B． C． D．7．設(shè)直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長為，則實(shí)數(shù)的取值為A．或11 B．或11 C． D．8．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）．若從含有兩個及以上陽爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中都恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．9．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．10．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項(xiàng)的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．1112．已知是過拋物線焦點(diǎn)的弦，是原點(diǎn)，則（）A．－2 B．－4 C．3 D．－3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在上僅有2個零點(diǎn)，設(shè)，則在區(qū)間上的取值范圍為_______．14．從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項(xiàng)活動，要求男生中的甲和乙不能同時參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）15．設(shè)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍_____．16．邊長為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實(shí)線圍成的部分，將所留部分折成一個正四棱錐.當(dāng)該棱錐的體積取得最大值時，其底面棱長為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請說明理由.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求；（Ⅱ）若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.19．（12分）已知；.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為真命題且為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρcos2θ=4asinθ?(a>0)，直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=-1+（I）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程（不要求具體過程）；（II）設(shè)P(-2,-1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．21．（12分）（1）已知數(shù)列滿足：，且（為非零常數(shù)，），求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）已知數(shù)列滿足：（ⅰ）對任意的；（ⅱ）對任意的，，且.①若，求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證：數(shù)列是等比數(shù)列，其中.22．（10分）已知，其中．（1）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值．（2）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據(jù)，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因?yàn)椋?，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.2．A【解析】

由兩圓相外切，得出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】因?yàn)閮蓤A和相外切所以，即當(dāng)時，取最大值故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，屬于中檔題.3．A【解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設(shè)點(diǎn)Q(-1,y)ΔFPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準(zhǔn)線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4．B【解析】由，可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，則，則，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，試題有一定的技巧，屬于中檔試題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程.5．D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即得解【詳解】，解得．．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.6．D【解析】

作出圖象，取AB中點(diǎn)E，連接EF2，設(shè)F1A＝x，根據(jù)雙曲線定義可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，進(jìn)而得到e的值【詳解】解：取AB中點(diǎn)E，連接EF2，則由已知可得BF1⊥EF2，F(xiàn)1A＝AE＝EB，設(shè)F1A＝x，則由雙曲線定義可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，則EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，則e故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．對于圓錐曲線中求離心率的問題，關(guān)鍵是列出含有中兩個量的方程，有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進(jìn)行整理，從而求出離心率.7．A【解析】

圓的圓心坐標(biāo)為（1，1），該圓心到直線的距離，結(jié)合弦長公式得，解得或，故選A．8．B【解析】

基本事件總數(shù)為個，都恰有兩個陽爻包含的基本事件個數(shù)為個，由此求出概率.【詳解】解：由圖可知，含有兩個及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共個，其中符合條件的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共個，所以，所求的概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題滲透傳統(tǒng)文化，考查概率、計數(shù)原理等基本知識，考查抽象概括能力和應(yīng)用意識，屬于基礎(chǔ)題．9．C【解析】

求出集合的等價條件,利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解：∵,,∴,故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

由已知先求出，即，進(jìn)一步可得，再將所求問題轉(zhuǎn)化為對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時，則，，所以，，顯然當(dāng)時，，故，，若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識，是一道較為綜合的數(shù)列題.11．B【解析】

根據(jù)題意計算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴.∵是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴.∴.∵，∴，解得.則當(dāng)時，的最大值是9.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.12．D【解析】

設(shè)，，設(shè)：，聯(lián)立方程得到，計算得到答案.【詳解】設(shè)，，故.易知直線斜率不為，設(shè)：，聯(lián)立方程，得到，故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積，設(shè)直線為可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求解出的值，然后得到的解析式，采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€零點(diǎn)，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合，其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題，難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解，關(guān)鍵是采用換元法令，然后根據(jù)，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域，同時要注意新元的范圍.14．1【解析】

由排列組合及分類討論思想分別討論：①設(shè)甲參加，乙不參加，②設(shè)乙參加，甲不參加，③設(shè)甲，乙都不參加，可得不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，得解．【詳解】①設(shè)甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，②設(shè)乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，③設(shè)甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為5，綜合①②③得：不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合及分類討論思想，準(zhǔn)確分類及計算是關(guān)鍵，屬中檔題．15．【解析】

先求出，從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)．即可得的最大值為，令，得函數(shù)取得最小值，由有實(shí)數(shù)解，，進(jìn)而得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)．所以的最大值為，令，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，又因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，那么，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.16．【解析】

根據(jù)題意，建立棱錐體積的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】設(shè)底面邊長為，則斜高為，即此四棱錐的高為，所以此四棱錐體積為，令，令，易知函數(shù)在時取得最大值.故此時底面棱長.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求解，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究體積最大值的問題，屬綜合中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）存在；實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義計算，再根據(jù)，，的關(guān)系計算即可得出橢圓方程；（2）設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出的中垂線與軸的交點(diǎn)橫，得出關(guān)于的函數(shù)，利用基本不等式得出的范圍．【詳解】（1）由題意可知，，．又，，，橢圓的方程為：．（2）若存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，則為線段的中垂線與軸的交點(diǎn)．設(shè)直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程組，消元得：，△，又，故．由根與系數(shù)的關(guān)系可得，設(shè)的中點(diǎn)為，，則，，線段的中垂線方程為：，令可得，即．，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，，且．的取值范圍是，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力．18．（Ⅰ）6（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）化簡得到直線的普通方程化為，，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，利用垂徑定理計算得到答案.（Ⅱ）設(shè)，則，得到范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意可知，直線的普通方程化為，曲線的極坐標(biāo)方程變形為，所以的普通方程分別為，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以.（Ⅱ）的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)，，因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19．（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)為真命題列出不等式，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）應(yīng)用復(fù)合命題真假判定的口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.【詳解】（1），且，解得所以當(dāng)為真命題時，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由，可得，又∵當(dāng)時，，.∵當(dāng)為真命題，且為假命題時，∴與的真假性相同，當(dāng)假假時，有，解得；當(dāng)真真時，有，解得；故當(dāng)為真命題且為假命題時，可得或.【點(diǎn)睛】本題主要考查結(jié)合不等式的含有量詞的命題的恒成立問題，存在性問題，考查復(fù)合命題的真假判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.20．（I）x2=4aya>0，x-y+1=0【解析】

（I）利用所給的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，直接整理化簡得到直角坐標(biāo)方程和普通方程；（II）聯(lián)立直線的參數(shù)方程和C的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】（I）曲線C：ρcos2可得ρ2cos2直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,x-y=-1，得x-y+1=0；（II）將x=-2+22t,y=-1+2t韋達(dá)定理：t1由題意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)和普通方程的互化，以及參數(shù)方程的綜合知識，結(jié)合等比數(shù)列，熟練運(yùn)用知識，屬于較易題.21．（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】

（1）由條件可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式，即可得到所求；（2）①若，可令，運(yùn)用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可得到所求充要條件；②當(dāng)，，，由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，化簡變形，即可得到所