復(fù)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型歸納

復(fù)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型歸納一、知識(shí)要點(diǎn)1．復(fù)數(shù)有關(guān)概念我們把集合C＝

{

a＋bi|a，b∈

}

中的數(shù)，即形如ababR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位．全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集．復(fù)數(shù)通常用字母表示，即z＝a＋bi(，b，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．對(duì)于復(fù)數(shù)z＝a＋bi，以后不作特殊說明都有ab∈，其中a與b別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部．說明：復(fù)數(shù)集是最大的數(shù)集何一個(gè)數(shù)都可以寫成＋i(a∈R)形式中＝00i.復(fù)數(shù)的虛部是實(shí)數(shù)非i.復(fù)數(shù)z＋i只有在ab∈R才是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形式．2．復(fù)數(shù)等在復(fù)數(shù)集C＝{＋i|a，b∈R

}

中任取兩個(gè)數(shù)a＋b＋db∈R)，我們規(guī)定：ab與c＋di相等的充要條件是＝c且b＝d.3．復(fù)數(shù)分類對(duì)于復(fù)數(shù)a＋bi，當(dāng)且僅b＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅＝＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0當(dāng)b0，叫做虛數(shù)；a＝0且≠時(shí)，叫做純虛數(shù)．這樣，復(fù)z＝a＋bi可以分類如下：復(fù)數(shù)z

b＝0)，當(dāng)＝時(shí)為純虛數(shù)).說明：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系1212121231221212121231221312311211211214．復(fù)數(shù)幾何意義一一對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)＝＋i(a，b∈R)平面內(nèi)的點(diǎn)(，)一一對(duì)應(yīng)→復(fù)數(shù)＝＋i(a，b∈R)平面向量.5．復(fù)數(shù)模定義：向量OZ的模r做復(fù)數(shù)＝a＋bi(ab∈R)的模．記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為或a＋bi|.公式：z＝a＋bi|＝r＝br≥0，∈R)．說明：實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)了原點(diǎn)外軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0)它所確定的復(fù)數(shù)是＝00i＝，表示的是實(shí)數(shù)．6．復(fù)數(shù)加、減法法則設(shè)z＝a＋bi，＝＋d，，，d∈R)，則z＋＝(a＋c＋b＋d)i，－z＝(a－)＋(b－d7．復(fù)數(shù)法運(yùn)算律設(shè)z，，∈C，有＋z＝z＋，(z＋＋＝＋(＋z)．8．復(fù)數(shù)、減法的幾何意義→設(shè)復(fù)數(shù)zz對(duì)應(yīng)的向量為OZ，OZ，則復(fù)z＋是以，OZ→→為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線OZ所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)－z是連接向量與→→的終點(diǎn)并指向OZ的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．它包含兩個(gè)方面是利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理一方面對(duì)于一些復(fù)數(shù)的運(yùn)算也可以給予幾何解釋復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中．12112312212112312212113231212129．復(fù)數(shù)數(shù)形式的乘法法則設(shè)z＝a＋biz＝＋di(，bc，d∈R)，·＝(＋i)(c＋d＝(ac－)＋(ad＋bc10復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)任意復(fù)數(shù)z，z，∈C，有交換律結(jié)合律分配律

z·z＝zz()·z＝z·z)z(z＋z)＝zz＋z共軛復(fù)數(shù)已知z＝a＋bi，＝＋d，，，c，d，則，z互為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是a＝且bd.，z互為共軛虛數(shù)的充要條件是a＝且b＝－d≠0.12復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則：a＋b＋d＝

a＋bi＋bdbc－＝＋i(c＋di≠．c＋didc2d說明：在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法時(shí)，分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)cd，化簡(jiǎn)后即得結(jié)果個(gè)過程實(shí)際上就是把分母實(shí)數(shù)化與根式除法的分母有理化”很類似．二、題型總結(jié)題型一：復(fù)數(shù)的概念及分類[例]

實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝

x2

－x－6x＋3

＋－2x－15)i是(實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？純虛數(shù)？＝0[]當(dāng)足

即x5，是實(shí)數(shù)．≠0當(dāng)足

即x≠3≠5，是虛數(shù)．所以＝－－且－＋所以＝－－且－＋30所以m22212當(dāng)足

＝，x3x2－15≠0x3≠0

即x－2＝3，是純虛數(shù)．復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式數(shù)進(jìn)行分類是根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式解參數(shù)時(shí)意考慮問題要全面條件不滿足代數(shù)形式z＋i(abR)應(yīng)先轉(zhuǎn)化形式.注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件設(shè)復(fù)數(shù)z＝＋bi(，∈，則①z為實(shí)數(shù)?b0②為虛數(shù)?b0③z為純虛數(shù)?a00.④＝0?a0且＝0題型二、復(fù)數(shù)相等[例]

已知關(guān)于x的方程

＋(1－x＋(3i)＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為________，方程的實(shí)根為．[析]

設(shè)是原方程的實(shí)根，則

＋－2i)＋(3－i)0即a2a3)－＋1)i＋0i，所以a＋3m0＋＝0111題型三：復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

.[例]

aa－6求實(shí)數(shù)分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)＝＋(aa＋3

2

－2a15)i(a∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件：在復(fù)平面的第二象限內(nèi)．在復(fù)平面內(nèi)的軸上方121211212121211212[]

－＜0點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，aa2a15，

解得a－3.＞，點(diǎn)在軸上方，則或＜－3.題型四：復(fù)數(shù)的模

即aa5)0解得a5[例]

若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線＝x上|z＝5復(fù)數(shù)z＝()A．1＋2iC．±1±2i

B．－2iD．1＋2i或－－2i設(shè)復(fù)數(shù)＝a2i，＝－2＋i，＜z，則實(shí)數(shù)a取值范圍是()A．－∞，－1)，＋∞)C．，＋∞)

B．－1,1)D．(0，＋∞)[析]依題意可設(shè)復(fù)數(shù)za2aa∈R)z|＝5

a

24＝，解得＝±1故z＋2i或z－－因?yàn)閨z＝

a

2

＋z

2

＝

415

a

2

＋＜5a24，所以

2

＜1即－1a1.[案](1)D(2)B題型五：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系[例]

→→向量OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－4i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－＋，→→則+OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．－＋8iB．10－→→→所→→→所以O(shè)Z→→1212121121212→→→C．0D．8i[析]

因?yàn)橄蛄縊Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－＋4iOZ＝(5,＝(5,－OZ＝(5＋(－＝，+對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是[案]題型六：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算[例]

計(jì)算：－3i)＋(－4＋＝已知＝x－4y)＋(y2x)i，＝(－2＋y(x－3)i，，y為實(shí)數(shù)，若z－＝53i，則z＋＝[析](1)(23i)＋(－＋2i)＝－＋(－3＝－－i.－＝[(3x)(x)i]－[(－2)(y)i]＝[(3y)(xy)]＋[(－2－(x3)]i(5x5y)(3x＋)i－3i，所以

＋4＝－3

解得x1＝，所以z

1

＝32iz＝＋i則z＋＝－i所以＋＝2.[案]－2－i(2)題型七：復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義[例]

如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)OA，C分別表示0,3+2i-2+4i.：→(1)表示的復(fù)數(shù)；對(duì)角線CA表示的復(fù)數(shù)；→對(duì)角線OB表示的復(fù)數(shù)．[]因?yàn)锳O＝OA，所以表示的復(fù)數(shù)為－32i.→→→→→→→→→12312121231因?yàn)镃A＝－OC，所以對(duì)角線表示的復(fù)數(shù)為(32i)－(24i)＝－因?yàn)閷?duì)角線＝＋，所以對(duì)角線OB表示的復(fù)數(shù)2i)＋(24i)＝＋6i.題型八：復(fù)數(shù)模的最值問題[例]

如果復(fù)數(shù)滿足z＋＋z－i|＝2那么＋i＋1|的最小值是()A．1

B.

C．2

D.5若復(fù)數(shù)滿足|z＋3＋i|≤1，求z的最大值和最小值．[析]設(shè)復(fù)數(shù)-i，i，-1-i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z，Z，Z，因?yàn)椋瑋ZZ，所以點(diǎn)Z的集合為線段Z問題轉(zhuǎn)化為：動(dòng)點(diǎn)Z在線段Z上移動(dòng)，求|ZZ的最小值，因?yàn)閆Z所以[案]A→解：如圖所示，|OM|

－3)

＋－2

＝2.所以zmax21，zmin－＝題型九：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算2555525555[例]已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1ai)(2＋i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于()A．2

B.

C．－

D．－2蘇高)復(fù)數(shù)z＝(12i)(3－，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是________．[析](1)(1ai)(2i)2a(12a使復(fù)數(shù)為純虛數(shù)以有－＝＋≠，解得＝(2)(12i)(3－i)3i6i－2i

＝55i，所以z的實(shí)部是5.題型十：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算[例]

若復(fù)數(shù)滿足(2－i)＝＋7i(i虛數(shù)單位，則為()A．3＋5iC．－3＋5i設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)A．2

＋ai－i

B．3－5iD．－35i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a()B．C．－

1D.[析]∵(2i)117i，∴z

117i(117i)(2＋i)＝2i－i)(2i)

＝

155

＝＋(2)

＋ai＋ai)(2i)－＋a＋i2＋＝＝＋i是純虛數(shù)＝，－i(2i)(2＋i)－i≠0所以a2.[案](1)A(2)A)＋(i2016)＋(i2016題型十一：i的乘方的周期性及應(yīng)用[例]

湖北高考)i為虛數(shù)單位，i

607

的共軛復(fù)數(shù)為()A．iC．1

B．iD．－1計(jì)算i

1

＋i

2

＋i3

＋…＋

2016

＝________.[析]因?yàn)閕607i151

＝i3－i所以其共軛復(fù)數(shù)為i故選法一：原式＝

i(1－i2016)i[1－(i2)1008]i(1－＝