4.1.1方根與分數(shù)指數(shù)冪課件2021-2022學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

n次方根與分數(shù)指數(shù)冪

浮來山上“千年古剎定林寺”曾是南北朝時期杰出的文學評論家劉勰的故居,距今已有1500多年的歷史,院內(nèi)有一棵銀杏樹,樹齡達3500多年,號稱“天下第一銀杏樹”．

樹齡達3500多年,樹高26.3米,周粗15.7米,號稱“天下第一銀杏樹”.

銀杏,葉子夏綠秋黃,是全球中最古老的樹種.在200多萬年前,第四紀冰川出現(xiàn),大部分地區(qū)的銀杏毀于一旦,殘留的遺體成為了印在石頭里的植物化石.在這場大災(zāi)難中,只有中國保存了一部分活的銀杏樹,綿延至今,成了研究古代銀杏的活教材.所以,人們把它稱為“世界第一活化石”.

考古學家根據(jù)什么推斷出銀杏于200多萬年前就存在呢?

實際上，考古學家所用的數(shù)學知識就是本章將學習的指數(shù)函數(shù).

為了研究指數(shù)函數(shù)，我們需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實數(shù).初中已經(jīng)學習過整數(shù)指數(shù)冪.在學習冪函數(shù)時，我們把正方形場地的邊長c關(guān)于面積S的函數(shù)計作.像這樣以分數(shù)為指數(shù)冪，其意義是什么呢?下面從已知的平方根、立方根的意義入手展開研究.例如，(±2)2=4，±2叫4的平方根.我們知道:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根.例如，23=8，2叫8的立方根.②如果x3=a,那么x叫做a的立方根.類似地，(±2)4=16，我們把±2叫16的4次方根;由于25=32，2叫32的5次方根.如果xn=a,那么x叫做

a

的n次方根,其中n>1,且n∈N*.一、n次方根(2)當n為偶數(shù)時,正數(shù)a的n次方根有兩個,這兩

個數(shù)互為相反數(shù).(1)當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)；

負數(shù)的n次方根是一個負數(shù).這時,a的n次方根用符號

表示；例如，

如果xn=a,那么x叫做

a

的n次方根,其中n>1,且n∈N*.(2)當n為偶數(shù)時,正數(shù)a的n次方根有兩個,這兩

個數(shù)互為相反數(shù).

正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成.例如，(1)當n為奇數(shù)時,a的n次方根為；負數(shù)沒有偶次方根.0的任何次方根都是0,計作.正數(shù)的奇次方根是正數(shù).負數(shù)的奇次方根是負數(shù).零的奇次方根是零.n次方根的性質(zhì)(1)奇次方根有以下性質(zhì)：(2)偶次方根有以下性質(zhì)：正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)，負數(shù)沒有偶次方根，零的偶次方根是零.根指數(shù)根式二、根式的概念與性質(zhì)被開方數(shù)式子叫根式，這里n叫根指數(shù)，a叫被開方數(shù).根據(jù)n次方根的意義，可得例如，,

.結(jié)論:an開奇次方根,則有結(jié)論:an開偶次方根,則有探究！表示an的n次方根，=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么等于什么？可以得到：=-8;=10;例1

求下列各式的值：根據(jù)n次方根的定義和數(shù)的運算，我們知道(下面中的a>0)這就是說，當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時,根式可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式.思考？當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時,根式是否也可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式？我們希望整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，如(ak)n=akn，對分數(shù)指數(shù)冪仍然適用.由此，我們規(guī)定:三、分數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)3.規(guī)定0的正分數(shù)指數(shù)冪為0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.1.正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義：2.正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義以后，冪ax中的x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理指數(shù)冪也同樣適用，即對于?r,s∈Q，均有下面的運算性質(zhì).例2求下列各式的值：例3利用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(其

中a>0)：