【教案】向量的減法運算教學(xué)設(shè)計-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

8/86.2.2向量的減法運算一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：向量的減法運算．內(nèi)容解析：本節(jié)課先引出相反向量，再類比實數(shù)的減法運算，通過相反向量將減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算，體現(xiàn)了減法運算和加法運算之間的內(nèi)部聯(lián)系.借助相反向量理解向量減法運算的幾何意義，掌握平面向量減法運算及運算規(guī)則，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).二、目標和目標解析目標：（1）借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量減法運算及運算規(guī)則，并理解其幾何意義.（2）理解和體驗實際問題抽象為數(shù)學(xué)概念的過程和思想，增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.培養(yǎng)類比、遷移、分類、歸納等能力.目標解析：（1）學(xué)生能類比數(shù)的減法定義向量的減法，能畫圖表示兩個向量減法的結(jié)果．能依據(jù)向量減法的定義，并借助其幾何意義探討向量減法的運算規(guī)則.（2）研究平面向量的減法運算時，借助與數(shù)的運算的類比，如借助與數(shù)的運算的類比，定義向量的減法.本節(jié)的內(nèi)容蘊含了數(shù)形結(jié)合、類比、歸納、抽象等數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的極好載體.基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點定為：向量減法的運算法則及其幾何意義.三、教學(xué)問題診斷分析1.教學(xué)問題一：向量與學(xué)生在物理中學(xué)習的矢量非常類似，物理中許多有關(guān)矢量的合成、分解、力做的功等實例可以作為向量有關(guān)運算的模型，但這個從物理背景引出向量運算的過程對學(xué)生來說仍然存在困難．特別是向量既有大小，也有方向，在向量的線性運算中，對于方向如何參與運算，學(xué)生沒有直接的經(jīng)驗．解決方案：在類比中抽象出共性，通過圖形體現(xiàn)其相同點.2．教學(xué)問題二：向量的運算性質(zhì)的探究過程是類比實數(shù)的運算性質(zhì)．類比數(shù)的運算，學(xué)生能夠想到向量的線性運算可能會有一些類似的運算性質(zhì)，雖然名稱相同，但運算的原理、方法、運算規(guī)律都有較大的區(qū)別，學(xué)生很容易帶著實數(shù)運算的思維定勢來理解平面向量運算，導(dǎo)致學(xué)生對向量的運算偏于形式化記憶，對于平面向量的線性運算概念、算理的理解不深刻．解決方案：緊扣向量概念中的兩個要素，大小和方向來研究向量的加法．3．教學(xué)問題三：向量的減法的定義是用通過相反向量來引入的，學(xué)生在做減法運算時，會有一定的困難．解決方案：將減法轉(zhuǎn)化為加法，通過圖形刻畫其幾何意義輔助理解.基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點定為：對向量減法運算法則的理解．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示.為了讓學(xué)生通過觀察、類比從物理、幾何、代數(shù)三個角度理解平面向量的運算，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺，引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)的運算研究向量的運算.通過直觀形象→具體→抽象→再具體的反復(fù)過程，正向思考與逆向思考相結(jié)合，使學(xué)生逐步理解概念，克服思維的負遷移.在教學(xué)設(shè)計中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點．在教學(xué)過程中，讓學(xué)生體會用聯(lián)系的觀點、類比的方法研究向量，通過類比“數(shù)及其運算”而獲得研究的內(nèi)容與方法的啟發(fā),再一次體會研究一類新的數(shù)學(xué)問題的基本思路，因此，本節(jié)課的教學(xué)是實施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機結(jié)合的嘗試.五、教學(xué)過程與設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情境引入概念[問題1]類比實數(shù)的相反數(shù)是，對于向量，你能定義“相反向量”嗎？它有哪些性質(zhì)？[問題2]你認為向量的減法該怎樣定義？教師1：我們知道，數(shù)的運算中，減法是加法的逆運算，其運算法則是“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”．我們能否類似地定義向量的減法呢？提出問題1．學(xué)生1：學(xué)生思考．大小相等，方向相反的向量叫做相反向量.教師2：提出問題2．學(xué)生2：學(xué)生思考．定義,即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.問題引入：類比實數(shù)x的相反數(shù)是-x，定義相反向量，為幫助學(xué)生探討向量的減法法則做準備．引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)的減的減法定義向量的減法．動手實踐理解幾何意義[問題3]已知向量和，的幾何意義是什么？[問題4]能否概括向量減法的作圖步驟？[問題5]若a，b是不共線的向量，則|a＋b|與|a－b|的幾何意義是什么？[問題6]若a，b是不共線的向量，則|a＋b|與|a－b|的幾何意義是什么？教師3：提出問題3．學(xué)生3：動手實踐，小組交流，代表展示：如圖1，設(shè)a,b,-b,連接AB，由向量減法的定義知，．在四邊形OCAB中，，所以O(shè)CAB是平行四邊形．所以．教師4：提出問題4：學(xué)生4：如圖2，已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點O，作a,b,則a-b,即a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量．教師5：我們也可以通過：“作平移，共起點，兩尾連，指被減.”的記憶口訣來輔助記憶.教師6：提出問題5學(xué)生5：如圖所示，設(shè)a,b,則＝a+b，＝a-b.因為四邊形OACB是平行四邊形，所以|a+b|＝，|a-b|＝，分別是以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長.教師7：提出問題6學(xué)生6：(1)當向量a,b不共線時，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)當向量a,b共線且同向時，前一個等號成立；當向量a,b共線且反向時，后一個等號成立.讓學(xué)生明確向量減法的幾何意義．在理解向量減法幾何意義的基礎(chǔ)上，通過口訣輔助記憶.通過探究讓學(xué)生理解向量的減法法則，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).鞏固法則綜合應(yīng)用1.向量減法法則的應(yīng)用例1.(1)在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋bB．－a＋(－b)C．a(chǎn)－bD．b－a(2)如圖所示，O為△ABC內(nèi)一點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，求作向量b＋c－a.2.向量的加減法運算例2.(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))可以寫成：①eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))；②eq\o(MO,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))；③eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))；④eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)).其中正確的是________(填序號).(2)化簡：①eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))；②(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))).3.向量加減法的應(yīng)用例3.如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→)).[課堂練習]1.化簡下列式子：(1)eq\o(NQ,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))).2.如圖所示，解答下列各題：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用c，d表示eq\o(EC,\s\up6(→)).教師8：展示例題1．學(xué)生7：（1）選B，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a－b＝－a＋(－b)．學(xué)生8：(2)以eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))為鄰邊作?OBDC，連接OD，AD，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝b＋c，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b＋c－a.教師9：展示例題2．學(xué)生9：①eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；②eq\o(MO,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝－(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))≠eq\o(MN,\s\up6(→))；③eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))；④eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，故填①④.學(xué)生10：①eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).②(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.教師10：展示例題3．學(xué)生11：因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.教師11：布置課堂練習1、2．學(xué)生12：完成課堂練習，并訂正答案．1.(1)原式＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NP,\s\up6(→))＝0.(2)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.2.(1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a＝a＋d＋e.(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝－c－d.理解向量減法的幾何意義，掌握作兩個向量的差的基本方法．明晰概念:讓學(xué)生借助向量的加、減運算用已知向量表示其他向量．課堂練習1:掌握作兩個向量的差的基本方法．課堂練習2:讓學(xué)生借助向量的加、減運算用已知向量表示其他向量．課堂小結(jié)升華認知[問題7]通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習]1.化簡eq\