四川大學(xué)自動控制原理課件第二章

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述引言（數(shù)學(xué)模型的概念和意義）輸入輸出描述法

數(shù)學(xué)模型的分類，傳遞函數(shù)，典型環(huán)節(jié)，

系統(tǒng)的相似性，線性化結(jié)構(gòu)圖（方塊圖）及其等效變換反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù)，特征多項式與特征方程12.1引言數(shù)學(xué)模型的定義:描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式建模方法：機理分析法、實驗法（系統(tǒng)辨識）類型：動態(tài)模型、靜態(tài)模型動態(tài)模型：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程等系統(tǒng)u(t)y(t)白箱法黑箱法灰箱法+2為何要建立數(shù)學(xué)模型？例1：椅子問題椅子在不平的地面上是否一定可以放穩(wěn)？2個簡單的靜態(tài)模型例子：3設(shè)地面光滑，椅子腿為A、B、C、D，腿長相等;椅子轉(zhuǎn)動的角度為θ,并定義f(θ)：腿A、C與地面距離之和g(θ)：腿B、D與地面距離之和θADCBADCB∵起碼三腿著地，∴必有f(θ)=0或g(θ)=0令h(θ)=f(θ)-g(θ)椅子轉(zhuǎn)動的數(shù)學(xué)模型，輸入θ，輸出h，問題：是否有h(θ)=0？設(shè)f(0)=0，g(0)≠0，則當θ=0時，h(0)＜0;4結(jié)論：即使地面不平，只要地面的曲面是連續(xù)變化的，則一定能通過轉(zhuǎn)動椅子將其放穩(wěn)。5例2：帆船推力問題航向和風向已知，如何調(diào)整風帆角度以獲得最大推力？6作用在帆上的力為帆船的數(shù)學(xué)模型，輸入β，輸出F2，問題：β=？時F2最大結(jié)論：帆與船的夾角=風向與船的夾角的一半時推力最大作用在船上的推力為對F2求導(dǎo)可得αβ風力FF1F2帆思考：風向與航程一定時，如何以最短時間走完全程？7為何要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？控制裝置受控對象檢測環(huán)節(jié)給定信號擾動－反饋信號控制量誤差被控量根據(jù)受控對象的模型和性能要求，設(shè)計控制器或控制裝置；分析反饋控制系統(tǒng)的性能，進行仿真、實驗、調(diào)整、校正、綜合等。8動態(tài)模型例:R-L-C串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型問題：求輸入u(t)與輸出uc(t)之間的關(guān)系。9線性連續(xù)時間單變量系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般形式:系統(tǒng)u(t)y(t)實際系統(tǒng)不可能出現(xiàn)m>n的情況，或者講系統(tǒng)在物理上不可實現(xiàn)102.2輸入輸出描述法數(shù)學(xué)模型的分類:111.傳遞函數(shù)的定義在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比,

G(s)=Y(s)/U(s)。對于n階線性定常系統(tǒng)，設(shè)初始條件為零，經(jīng)拉氏變換后注意系統(tǒng)u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)結(jié)構(gòu)圖12∴n階線性定常系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數(shù)為根軌跡增益系統(tǒng)增益zi、pi分別為傳遞函數(shù)的零點和極點（zi≠pi）零極點表達形式時間常數(shù)表達形式13G(s)U(s)Y(s)傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；2.關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明是復(fù)變量s的真有理分式；只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，

與輸入量無關(guān)；與微分方程可相互轉(zhuǎn)換；只適用于線性定常系統(tǒng)反映系統(tǒng)零初始狀態(tài)下的響應(yīng)；無零極點相消時傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的一種完全描述。14例:R-L-C串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)輸入u(t)，輸出uc(t)，求傳遞函數(shù)?由輸入輸出微分方程G(s)U(s)UC(s)153.系統(tǒng)的相似性及非線性系統(tǒng)的線性化例1：RC電路uoui

RC輸入輸出傳遞函數(shù)為G(s)Ui(s)Uo(s)16例2：小車速度與推力的關(guān)系設(shè)小車速度為v(t)，推力為F，屬于非線性方程，忽略風阻則為線性方程非線性方程的線性化：mFfv17輸入輸出傳遞函數(shù)為G(s)mFfv18例3：水箱系統(tǒng)H設(shè)水箱橫截面積為A，則有屬于非線性方程非線性方程的線性化：19H輸入輸出傳遞函數(shù)為G(s)Qi(s)H(s)20結(jié)論同一形式的數(shù)學(xué)描述可以代表不同的實際系統(tǒng)，這些系統(tǒng)具有相同的輸入輸出特性；對于不同的實際系統(tǒng)，只要其數(shù)學(xué)描述相同，則分析和設(shè)計的思路、方法及過程也基本一致。注：上述例子采用的是機理建模方法，但很多實際系統(tǒng)是無法進行機理建模的，而必須借助于“系統(tǒng)辨識”，即通過采集輸入輸出的實驗或運行數(shù)據(jù)，用一個最接近這些數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)方程來代表系統(tǒng)的模型，系統(tǒng)辨識可以離線或在線進行。212.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)σjω0×××××××××s復(fù)平面上

零極點的分布典型環(huán)節(jié)的零極點主要分布在虛軸及其以左

的復(fù)平面上22動態(tài)方程：y(t)=Ku(t)傳遞函數(shù)：G(s)=K1、比例（放大）環(huán)節(jié)比例系數(shù)Ku(t)y(t)KU(s)Y(s)G(s)uouiR1++－R0RbF1F2杠桿系統(tǒng)例：其他如齒輪系統(tǒng)、電位器、純電阻電路等。23比例（P）控制作用誤差幅度越大，控制量越大，是最基本的控制方式；即時是恒值控制系統(tǒng)，調(diào)節(jié)過程結(jié)束、系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)后仍有誤差（穩(wěn)態(tài)誤差≠0）。比例控制受控對象檢測環(huán)節(jié)給定信號擾動－反饋信號控制量誤差被控量242、慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)很多實際系統(tǒng)都可近似看作慣性環(huán)節(jié)，如RC電路、爐溫系統(tǒng)、水箱系統(tǒng)、汽車的加減速過程等。K=1時的單位階躍響應(yīng)曲線T1T2T=2T1=T20.6321.0t0y(t)斜率1/TT=T1特點：T越大，響應(yīng)速度越慢。253、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)例：特點：只要輸入不為零，輸出就會變化，輸入為零后，輸出不再變化；常用來消除跟蹤誤差。水箱系統(tǒng)hquouiC++－R0Rb26比例+積分（PI）控制作用比例控制的作用同前，是最基本的控制方式；對于恒值控制系統(tǒng)，積分控制可使誤差最終為零，即穩(wěn)態(tài)誤差=0。積分控制受控對象檢測環(huán)節(jié)給定信號擾動－反饋信號控制量誤差被控量比例控制274、微分環(huán)節(jié)①理想微分②一階微分③二階微分環(huán)節(jié)uouiR++－CRb特點：反映輸入的變化率，有超前作用，常用來改善動態(tài)性能注：微分對信號的高頻噪聲很敏感，實際使用時通常加慣性環(huán)節(jié)28比例+積分+微分（PID）控制作用

Proportional-Integrel-DerivativeControl

比例控制提供最基本的控制作用；積分控制用來消除穩(wěn)態(tài)誤差；微分控制反應(yīng)誤差變化率，具有“超前”或“預(yù)測”作用，可抑制被控量的變化。積分控制受控對象檢測環(huán)節(jié)給定信號擾動－反饋信號控制量誤差被控量比例控制微分控制295、振蕩環(huán)節(jié)ζ稱為阻尼比，

ζ<1時傳遞函數(shù)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，響應(yīng)為衰減振蕩型。ζ：決定振蕩幅度

T：決定響應(yīng)快慢uiuoRLCRLC串聯(lián)電路單位階躍響應(yīng)0tK例：（復(fù)阻抗法）繼續(xù)仿真圖30MATLAB仿真結(jié)構(gòu)圖31振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)（K=1,T=1）ytimeζ=0.1ζ=0.4ζ=0.6ζ=132振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)（K=1,ζ=0.6）ytimeT=0.5T=1T=2返回336、純滯后環(huán)節(jié)u(t)y(t)τt滯后環(huán)節(jié)u(t)y(t)例：溫控開關(guān)期望溫度測溫元件冷水熱水電加熱器水箱水溫控制系統(tǒng)電功率與溫度檢測此外如計算機控制、測控衛(wèi)星、網(wǎng)絡(luò)控制、過程控制等。滯后時間越大，控制難度越大軋輥厚度檢測鋼板軋制過程燃氣熱水器進氣與水溫冷水熱水進氣34練習：

B2.9（2），（3）；

B2.12；

B2.14(c)35實驗1：典型環(huán)節(jié)的電模擬（3學(xué)時）聯(lián)系：李亞力老師電氣信息學(xué)院專業(yè)實驗樓40385466288→8216，1333096180236例：RC電路的結(jié)構(gòu)圖Uo(s)相加點或綜合點引出點2.3.1結(jié)構(gòu)圖（方塊圖）及其等效變換uiuoCiRUi(s)I(s)Uo(s)37i1R1U1R2C1C2uouii2例：兩級RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖

Uo---UiU1I1I2注意：兩級RC≠2個單級RC的串聯(lián)，∵有“負載效應(yīng)”38串聯(lián)連接并聯(lián)連接結(jié)構(gòu)圖的等效變換G1(s)+G2(s)G1(s)G2(s)G1(s)·G2(s)G1(s)G2(s)39反饋連接（重要，很常用）前向通道傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)G

(s)H

(s)40綜合點前移后移引出點后移前移相鄰引出點的移動交換或合并相加點相鄰引出點之間或綜合點之間可任意交換或合并41注意例：化簡下面結(jié)構(gòu)圖引出點和綜合點之間不能交換!G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A42A點后移G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A1/G4G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A43Y(s)G1G2G3G41+G3G4G5G6/G4-G7-R(s)Y(s)G1G2G3G41+G3G4G51+G6G3G4G2G4(1+G3G4G5)-G7Y(s)R(s)反饋公式反饋公式反饋公式Y(jié)(s)G1G2G3G4G6/G4-G5-G7-R(s)44課堂練習：通過結(jié)構(gòu)圖化簡求兩級RC網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出傳遞函數(shù)，并與單級RC網(wǎng)絡(luò)進行比較。45解：46比較：單級RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為練習：B2.15(a),(c)472.3.4反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)R(s)：參考輸入Y(s)：輸出信號B(s)：反饋信號E(s)：跟蹤誤差G(s)=G1(s)G2(s)：前向通道傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù):Y(s)/R(s),Y(s)/D(s)，E(s)/R(s)等H(s)：反饋支路的傳遞函數(shù)G(s)H(s)：開環(huán)傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-E(s)B(s)術(shù)語介紹：D(s)：擾動輸入48輸入信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)：2.3.4反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)運用反饋公式分母為1+開環(huán)傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-49擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)：G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-分母同樣為

1+開環(huán)傳函50閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)：分母同樣為

1+開環(huán)傳函G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-E(s)51G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-F(s)復(fù)合控制系統(tǒng)的