案例教案成果

第一 變化率與導(dǎo)解：∵質(zhì)點按規(guī)律??1??2（距離單位：m，時間單位：s） S=2t3+t（距離單位：m，時間單位：s）????????:??;??1=2f′（1）=2f′（x）=aa=2 表示函數(shù)在這一點到它附近一點之間的平均變化率，故C對，故選：C．??????(0)(0=1??????0:??);0)x0 解：如圖：設(shè)人的高度CD，則CD=1.6，人的長DE=h，1.6??h=1，∴h′=1m/s，故選：D．8 =xxxx∴f（x）在區(qū)間[0，2]上的平均變化率為??=(;(0=4= ∴當h無限趨近于0時??0);??0;??無限趨近于f′（x ∴當h無限趨近于0時??0);??0;??無限趨近于2f′（x 解：（1）正弦函數(shù)y=sinx，∴△x=??，△y=1，∴△??=26 △????6 ??

√ ;

-

﹣in ，∴

??2 3

1

fx1x1△2x1△﹣2x 解（1）△y=f（2）﹣f（1）=﹣22+﹣（﹣211）=﹣，△=;△??（2）△y=f（1）﹣f（﹣1）=﹣21+1﹣（2×11=﹣△??;△??;;x=﹣（1）∵s=8﹣3t2△83△2﹣12=6△3△2∴質(zhì)點在[1，1+△t]這段時間內(nèi)的平均速度為：??△???63（2）t=1時的瞬時速度為??=????????=??????63??△??→0 t=1時??2+2??+4，??≥解 37?x＞2x=2=??2:??:1=﹣24 ∵﹣√√4x＜2時，對x=2的平均定向增長率x=1??;49=813 1??;??)1??22) =2g，∵s（t）= A、B，∵f（x）ab之間的平均變化率是????;??(??gab的平均變化率是(??)??();()(??;??即二者相等；∴選項A、B錯誤 對于C、D，∵函數(shù)f（x）在x=x0處的瞬時變化率是函數(shù)f（x）在x=x0處的導(dǎo)即函數(shù)f（x）在該點處的切線的斜率，同理函數(shù)g（x）在x=x0處的瞬時變化率是函數(shù)g（x）（﹣1，0（，1）A（2，3又根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：f′（2）=??????(:△);()=故選 解：∵??1??43，∴S′=t3t=2時，S′=23=84解：∵?1??????(??0)??(??0△??=，0 ??0;??0:??=故選2→ △→ )=(?2解：∵??(??)=1??3?1??21??1f′（x）=x2﹣x+1，f″（x）=2x﹣1 2故函y=f（x）的“拐點”為（1，1）．由于函數(shù)的對稱中心為（11 ∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴??(1)+??(2)+??(3)+?+??(2012)=2×1006=2012

：△y=√?? +△??﹣√??，△??√0:??√ 0??解： (??:??);(??:△??= ????:△??;??:△a 001fx1+△xf1當x1=4，且△x=1時，△y=4×4×1+2+3=21，∴平均變化率△??（2）當x1=4，且△x=0.1時，△y=4×4×0.1+0.02+0.3=1.92∴平均變化率△??=1.92=19.2（3在（1）中△??=??(??2);??(??1)??();??()△?? 2 39）與點P1（5，60）連線的斜率，在（2）中??????2;??1=(4;它表示點P0（4，39）與點P2（4.1，40.92）連線的

21 41已知解：（1）正弦函數(shù)y=sinx，△x=??，△y=sin??﹣sin0=1，∴△??=2 1

△????6= 6 2 △????3

率分別為3， （2）由（1）知，y=f（x）在[0，??]及[??，??]上的平均變化率為33，∴33 證明(??)??(??:;??3a?? 第二 導(dǎo)數(shù)的運算及切線方故選 =

= ，則33解：∵f（x）Rx＞0時();(∴??(??)為增函數(shù)，f（x）為偶函數(shù)，??(??)為奇函數(shù) ∴??(??)在（﹣∞，0）上為增函數(shù)x＞0，??(2)=0，所以2 x0??(=0????在（﹣∞，0）上為增函數(shù)，可得 )解：∵y=f（x）=x2+1，∴f′（x）=2x，∴f′（2）=2×2=4，故選∵x1，x23x2﹣6x+2=0的兩根，∴??1??2=2，??1??2=3∴??2+??2=(??1+??2)2?2??1??2=22?2×2= f（x）=x﹣lnx，所以（x??;故選f（x）對應(yīng)的曲線在點（x0，f（x0）f′（x0曲線在點（x0，f（x0）處的切線方程為y=﹣x+1，即有f′（x0）=﹣1．故選（;3 0?? 0 4解；∵曲f（x）=exA（x0，f（x0）x﹣y+3=0）解得x0=0，f（0）=1，即切點坐標為（01）故選y﹣t3+3=（3t2﹣3（﹣t即有﹣2﹣t3+3t=（3t2﹣3（1﹣t，即為2t3﹣3t2+1=0，即有（t﹣1）2（2t+1）=0，2 00??2);??1)=a，∴f（1）＜a′2′（x）=g′x，又2

2??≤α＜π，故選3M（1，f（1）= 切點處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率，所以??′(120xx2k2把a=﹣1，代入到f（x）=x3+x﹣2得b=﹣4；a=1f（x）=x3+x﹣2P0（1，0）和（﹣1，﹣4故∵′=2b′1=2+b=3∴b=1f =1﹣1??(??)2??????: （1﹣1）+（1﹣1）+…+（1﹣1）=2011 ∵（ax）′=axlna（xex）′=ex+xex導(dǎo)函數(shù)的定義域a的符號怎樣導(dǎo)函數(shù)都是先正后負，又(??????????1a關(guān)，排除B，故選項為解：由題意，f′（x）=x2+2，∴f'（﹣1）=1+2=3，故 10(??1)′=??;′(;)??=1；(1)′=?1．(1??3=??4；= 所以滿足??′(??1f（x）為??(????; 解 = ??2y(;??2)??(??2(????);????(;??2)????故 （sinx）′=cox，∴f（x）=）′×sx=????????+√???????????

第三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)象在x∈（0，2）時為增函數(shù)．選項中只有C符合．故選C．f'（﹣2f'（﹣33）相當于;2;??;)可以看成[﹣3，﹣2]中間某點上的切線的斜率，從而有答案;(3 值．當x=2時，函數(shù)y=f（x）取得極小值．結(jié)合圖象可知選C．（x＜（ax＜b時，f（x）＞f（b，∵f（b）＞0x∈（a，b）時，f（x）＞0，故選Cy，=f（x）y，=f（x）f（x）=x2+bx+c0于0知，A滿足條件故選A．*??|???10＜?? 4+1，??≥ 解 ，∴f（8）=+1= ，(?∞?2)和(2+3解：f′（x）=3x2+af（x）=x3+ax在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴f′（x）=3x2+a≥0在[1，+∞）上恒成立，∵f′（x）=3x2+a在[1，+∞）上增函數(shù)，∴3x2+a≥3×12+a=3+a解：由條件①②，??(??)=????，又（??(??)）′=??′(??)???(??);??(??)???′(??) ???g（x，（x）?g（x）﹣f（x）?g（x）＜0 ??(1)+??(;1)5111??(1); 2 { {△=02?4×3??×(?1)≤為[1，+∞）3（2015?昌平區(qū)三模）已知函數(shù)f（x）=ex（sinx+a）在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是??≥√2 2（﹣1，+∞[3，+∞2g（x）=﹣（x+2．又f（x）=x3+ax2+3bx+c，所以??{??2=???2??=x3+3bx+2（b≠0??√???在(?√???，√???)上單調(diào)遞減，在(√???+∞)上單調(diào)遞增． （2）∵f（x）=1x2﹣lnx；函數(shù)的定義域為（0+∞2??21 當x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，（0，1第四 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極解：∵函數(shù)??(??)=1??3+1????2+ ??′(0)=又∵α∈（0，1，β∈（1，2，∴{??′(1)=1+??+??′(2)=4+2??+由圖可得：當x=﹣3，y=1時，??2取最小值 x=﹣1，y=0時??取最大值1；故選解：由于??(??)=(1??)????，則??′(?????????????2??

=??;??2

=????2

故函數(shù)f（x）在（﹣∞，x1（x2，+∞）上遞增，在（x1，x2）上遞x（，）＞7

≥ ??2又由?x0∈（0，+∞，x0為f（x）的一個極大值點，故 △??2?數(shù)f（x）的一個極值點”，否則x0不是函數(shù)f（x）的極值點．②“x0是函數(shù)f（x）的一個極值點”一定有故可得：“f′（x0）=0”是“x0是函數(shù)f（x）的一個極值點”的必要而不充分條件（1）當△=4a2﹣12b＞0時，f′（x）=0有兩解，不妨設(shè)為x1＜x2，列表x+0-0+①x2是函數(shù)f（x）的極小值點，但是f（x）在區(qū)間（﹣∞x2不具有單調(diào)性，故C不正確②∵??(?2?????)+f（x）=(?2?????)3+??(?2?????)2+??(?2?????)+??+x3+ax2+bx+c=4 3??(???)=(???)3+??(???)2+??(???)+??=2??3?????+ ∵??(?2?????)+f（x）=2??(? x1，x2分別為極值點，則??′(??1??′(??2)=0Dx→﹣時（x→﹣∞x→+∞（x→+∞函數(shù)f（x）必然穿過x軸，即f（xα）=0，故A正確≥3x→﹣時（x→﹣∞x→+∞（x→+∞函數(shù)f（x）必然穿過x軸，即f（xα）=0，故A正確x﹣1時，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此時f（x）增；當﹣1＜x＜0時，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此時f（x）0＜x＜1時，xf′（x）＜0，f′（x）＜0f（x）減；當x＞1時，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時f（x）增．由ex=﹣a，得a=﹣ex，∵x＞0，∴ex＞1．∴a＜﹣1．∵x∈（0，+∞x=3必定是函數(shù)??(??)=4??+??(??＞0，??＞0)的極值點 解：由題意得，函數(shù)f（x）=x3﹣6bx+3b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2﹣6b在（0，1）內(nèi)有零點，且f′（0）＜0，f′（1）＞0． 即﹣6b＜0，且（3﹣6b）＞0．∴0＜b＜1．2 解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．②f′（x）=3ax2+2bx+c=0有根，則須△=b2﹣3ac＞0∴f′（x）=3x2﹣48＜0x∈（﹣4，4）∴﹣1，1是方程x2+a=0的兩個根∴??(??)=1??3???，∴??(1)=1?1=?2，故答案為 {??′(?1)=32????={??′(3)=27+6??+??=c=2∴??1+??2=2，??1??2=3∴1+1??1223 ??2??1???23f（x）=（ex﹣1（x﹣1求導(dǎo)函數(shù)可得k=2時，函數(shù)f（x）=（ex﹣1（x﹣1）2．xex﹣）2+ex1﹣）x（exex﹣，f'（x）項．故選C．依題意可得??(1)= 1+??+??+??2= ??= ??={ ? 聯(lián)立可得 或??(1)= 3+2??+??= ??= ??=舍故選B． f（﹣2f（2解：∵f（x）=1??3+1????2+2????+ f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，即{??2??1??+??+ 表示點（a，b）到點（﹣3，0）的距離的平方 √ 由{??+2??+1=0得??+??+2=所以z=（a+3）2+b2的取值范圍為（14）故選項為2從圖象上可看出符合條件的有1點，故選D．x∈（b，a（+（＞∈（a，cax+ax+1（x﹣a）＞0（﹣∞，﹣1若a＜0時，故有（x+1（x﹣a）＜0，（﹣1，ax+1（xa＞0或者（﹣∞，﹣1c∈R，故﹣1＜a＜0符合題意解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=??(??)，則由商的導(dǎo)數(shù)，可得x??′??????′??2?? ,??(??)- ,??(??)-??2(=,??(??)-要條件應(yīng)該是（0，+∞）的一個子集，從選項判斷，C選項符合條件，故選C解：對函數(shù)f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2取對數(shù)，得{??(1)={即{3?2?????=0 ，解得，??=3，或{??=?41??????+??2= ??= ??={又∵當??= 時，f（x）又∵當??= ??=當x＞2時，f′（x）＞0，當x＜2時，f′（x）＞0，（﹣4，11解：由題意得x??2:2??;因為函數(shù)x??2??在x=1處取得極值(:2

??′(?1)=3??2?且x1∈（﹣1，2，x2∈（2，+∞，∴{ ??(2)= +12??+若a＜0，則△＞0，即0﹣12a＞0，∴??′(1)=3+2??+??=

??= ??= ，解得 或 ，驗證知，當a=﹣3，b=3時??(1)=1+??+??+??= ??= ??=x=1a+b的值第五 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最 4 則銷售甲乙產(chǎn)品所得利潤y=1（10﹣x）+5√??， y′=﹣1+5=;4 444

41616 h′（x）=x2﹣4=0，x=±2，∴h（2）h（﹣2）＜0，∴?4＜??＜28，故選 當x＜﹣1時，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此時f（x）增；0＜x＜1時，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此時f（x）減；當x＞1時，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時f（x）增．， 0 ，有最大值3

(1)??，1≤解：在①中，反例：f（x）={2，??=

在③中：在[1，3]上，（）=f??:(??）,??(??)+??(4???)- ??(??)+??(4???)≥∴{??(??)≤??(??)??????=??(2)=??(4???)≤??(??)??????=??(2)=

在④中，對任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]， ??????

(1??2):34 ?? ??有??( 2 )≤,??( 2)+??( ≤1,1(??(??1)+??(??2))+1(??(??3)+??(??4))-2 ??12:3:4≤1[fx1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）] x0-0+0-↓↑↓f（x）=1，得x33x2+=解得x=0x﹣．x＞0時，f（x）＜f（0）=1＜﹣3=3x﹣為1．所以a的取值范圍為3，]解：∵f（x）=??????，∴x＞0，??′(??)=;，由??′(??)=;0，x=e xe+0-↑↓ 共點，∴0＜b＜1．故選f（0）=﹣a，f（3）=18﹣a，（＞（f（3因此f（x）在[﹣2，0]上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，由以上分析可知函數(shù)的最小值在x=﹣2或x=2處取到，10．解：∵f'（x）=4﹣x2，∴f'（x）=0，得x=±2 ∴f（x）min=f（2）=﹣4．故選3解：??(????=??;:11 2300??????20000，0≤??≤ 60000?

300???，0≤??≤．所以最小值為﹣16，最大值為20．解：設(shè)函數(shù)y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求導(dǎo)數(shù)得x=??2 √√ √√ 22√22令y'＞0，解得x＞2，或x＜﹣1，當x=0，y=5；當x=3，y=﹣4；當x=2，y=﹣15．解：∵fx;????;;又??2∴l(xiāng)nx=﹣（x+1，∴f（x）;??0,;??0:=x ∈e﹣2，e﹣1）∈e﹣2，e﹣1（x 2解：（x）??;??，在區(qū)間[﹣1，0]上f'（x）＜0，在區(qū)間[0，1]上??解得：x=1或3x∈(?1?2)33∴（）ma=（，）}max=73解：由題意得，??′(??)=???;(;?? 則函數(shù)f（x）在[1，e]上遞增，在（e，4]上遞減， 4對函數(shù)求導(dǎo)可得f′（x）=lnx+1 因為f（e﹣2）=﹣2e﹣2，f（e）=e，所以f（x）的最大值為e，最小值為f（1）=﹣1 解：f′（x）=﹣12+3x2=3（x+2（x﹣2x=﹣2f（x）f（﹣2）=22；f（﹣3）=15，f（1）=﹣5，x∈[1，+∞（﹣，﹣1]33 即有f（﹣2）=﹣2，因此有以下不等式成立3?2≤ 10?2的左側(cè)（否則最大值會超過3）x=2f′（x）＞0x＜0x＞2f（0）=a，f（2）=a﹣8，f（﹣2）=a﹣40a=43．在[﹣2，2]上最大值為f（x）max=f（0）=43．令f′（x）=0解得x=1．x≥1時，f′（x）=（x﹣1）ex＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，x≤1時，f′（x）=（x﹣1）ex＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，=0x=1時，函數(shù)有最小值xxx ?0x1x2fx1﹣（x2）=（x1x2x2+x1x2+x2﹣2）＞（x1﹣x23x =√ 由對稱性畫出草圖n∈[a﹣1，a+1]，∵12√63??1√6√6＜??1時fn）的值域最小，則????√6??(√68√6??2??=16 故答案為169y′=4x3﹣16x=0x023+0-0+y↗↘↗x=2∴y'=3x2﹣3，令 822（海淀區(qū)校級月考）??(??)=1??3???在區(qū)間（1﹣a，10﹣a2）3實數(shù)a的取值范圍是 （校級期中）當x∈[0，3]時，函數(shù)f（x）=x2（3﹣x）的最大值是 第六 定積分與微積 1 ∫∫∫∫

∫解：∫

xdx=1??2 1=1

（x+1）dx=（1??2+x） 1=3

1=1 0 0 ∫ 1dx=1 1=1．故∫ 0 1????=??????|??=???????????1=1?0=∫ 4曲線??=??????(?????)(0≤??≤3??) S=∫??（﹣??????(?????)）dx+∫??3????????(?????)dx=2?0 4 2√22解：∵??

111（0，1

∫1∫1解： （1+x）dx═（x+1x2）|∫ 2 (2??? 10 0

2∫ ∫0∴f（f（0）=2．

?2??+4，0≤??≤，???2，2≤??≤0≤x≤2

?2??+4，0≤??≤，???2，2≤??≤∴ ??(??)????=（﹣x2+4x）|2+（1??2?∫ =（﹣4+8）+[（1×36?2×6）﹣（1×4?2× 解 ????=﹣cosx|2+x|??=3? ??=??= 1，解得??

??= (??2?1)????=（1??3? 2=8?（1?????1）=7?

(?????√3√

??2

??4)|1=50402 f（a+1）≤f（n）≤（a﹣1 （2）當a﹣1≥3即a≥2時，f（x）在[a﹣1，a+1]上單調(diào)2 （3）當1≤a≤3 當3＜a＜2 綜上所述，S≥1，即S的最小值為 4 X軸的面積代數(shù)和cf（x）dx﹣ 11S= 0 =（2 1 1

(√?????

2﹣x）|0= (2?????解： (2? 32??=2k﹣3(2?????∫ 3解： （x+sinx）dx=（1??2﹣cosx）|??=1??2﹣cosπ﹣[1∫ ?? 解：由已知得 解：∫2xdx=1??2|2=1×22﹣1× 1 解：∫1（x﹣1）dx=（1x2﹣x）|1=1? 0 00Sπsinxdx=,?????????-??=(?????????)?(???????0)=1+1= 解：如圖，由曲線y=1，y=4，y=x2算，所以S=2（1×2+∫2（4﹣x2）dx=4+2（4x |2=28， ﹣3） ={??=3???設(shè)陰影部分面積為s，則1??=

(3???2?2??)????+

(3???2)?????

2??????+ (3? =52√392√3=32

?故 √4? 扇形??=4解得：??= ??=

??=??+ 或 ??= ??=

[（4﹣x （﹣

20 x1 x 3 0 3故陰影部分的面積是∫1（1﹣x2）d+∫2（﹣1+x2）d=（x﹣x3）0 x1 x 3 0 3并且當x∈（﹣∞，0）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；在若M={x|1≤??≤2}，且M∩P≠?，則a+1＜ [1，2]的最大值在 ，令 x∈[1，2]，則′x????(??)0解得， x∈（1，1，e，F(xiàn)（1）=2√??，F(xiàn)（2）=1??2，而且2√??＜1??2，故最大值為1??2a+11??2a1 1

= 00不妨取a=﹣1，b=（g﹣1）gn﹣1，則有 (??+??)=a+a+…+a+b+b+…+b (;;????=n﹣﹣故滿足題意第七 推理與證不成立，即用反證法證明“?x∈R，2x＞0”，應(yīng)假設(shè)為?x0∈R，2??0≤0，故選：D．4D符合條件．故選D打印資料甲×××乙××丙×丁××打印資料甲××√×乙××丙×√××丁××x=0，y=2，z=1x=1，y=0，z=2x=2，y=2，z=0，故不同的的種數(shù)是3種，故選：A． 222 26063??222 26063??=0??307??03362AC都是從特殊→一般的推理，均屬于歸納推理；D為，是從一般→特殊的推理，是演繹推解：①{??|n∈N}1為極限的數(shù)列，故對?a＞0，?x∈{??

22 AD⊥BC（結(jié)論）符號三斷論，，形．故選A．f（x+c）＞fx﹣cf（x）不具有具有性質(zhì)P．c （xc＞（x﹣c （c＞（解：觀察三角形數(shù)陣，知第n行（n≥3）前共有++3（n﹣1=??(??;1)個連2n行（n≥3）4????;1+]12所以用反證法證明“a，b∈R，|a|+|b|＜1，a2﹣4b≥0x2+ax+b=0的兩根的絕對值都小1”時，應(yīng)先假設(shè)方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值至少有一個大于等于1．故選B．解：55=3125的末四位數(shù)字為3125，56=15625的末四位數(shù)字為5625，57=78125的末四位數(shù)字為8125，58=390625的末四位數(shù)字為0625，59= 的末四位數(shù)字為…，根據(jù)末四位數(shù)字的變化，3125，5625，8125，0625即末四位的數(shù)字是以4為周期的變化的，故2013除以4余1，即末四位數(shù)為3125．則52013的末四位數(shù)字為3125．故選A．?????an+1=1，0＜，且??=??= ????≤ =1=1=5 =???1=5?1= 5

1??=1=1= 343由a3=2，若a3=a2﹣1=2，則a2=3，若a1﹣1=3，則1=3，則??1= a3=2，若??3=1=2，則??2=1，若??1?1=1，則??1= 1=1a1=2 B若??1=??=√2＞1，則??2=??1?1=√2??3=1 =√2+ 所以??4=??3?1=√21?1=選項是D．故選D．BC000NNNN第四 解：A選項是演繹推理，是“兩條直線平行，同位角相等”，是“∠A與是歸納推理；故錯；C選項“由圓的性質(zhì)，推出球的性質(zhì)”是類比推理；故錯；D選項“在數(shù)列{an}中，??12，????+1+2????(??2)S1，S2，S3，S4 3、4題應(yīng)為一對一錯，所以丙和丁得分相同，所以，丁的得分也是6分．x1，x2，x3的值分別為：1，2，2時，2x1+2x2+4x3=14；x1，x2，x3的值分別為：3，1，2時，2x1+2x2+4x3=16；x1，x2，x3的值分別為：2，3，1時，2x1+2x2+4x3=14；x1，x2，x3的值分別為：4，2，1時，2x1+2x2+4x3=16；x1，x2，x3的值分別為：6，1，1時，2x1+2x2+4x3=18，且A2的專家評分＞A1的專家評分，則優(yōu)秀影片最多可能有2部；部．以此類推可知：這5部微中，優(yōu)秀影片最多可能有5部拿一次后）84a8﹣a即可，保證每一輪兩人報的和為8即可，最終只能甲搶到100．故先開始甲應(yīng)取4個．2、p＞q＞0第一次得：c1=p++=（+1（p+）﹣12（11（（p+++p++c4c3c253﹣6次擴充，所得數(shù)為：（q+1）8（p+1）13﹣1解：根據(jù)A大學的各專業(yè)的男比例均高于B大學的相應(yīng)專業(yè)的男比例（男女生比例是指男生人數(shù)與人數(shù)的比，可知甲、丙不一定正確，A大學的男比例有可能等于B大學的男比例，即A大學的男比例不一定高于B大學的男比例2，2:22，

=72:2:2:

22322

=11…，， 31: : :: :::: ，依此規(guī)律，可得 個等式為2:2:2:2:::? 故答案為2:2:2???2:::? 第八 數(shù)學歸納左側(cè)：每一項分別有：22﹣1，23﹣1，24﹣1，…項，每一項中最后一項的分母為： :1∴由此歸納第n個不等式為：1+1+1+? ＜??+1(??∈?? 1第二空：左邊的特點：分母逐漸增加1，末項為 :1由n=k，末項為 ??1 :1;::故答案為：1+1+1+? ＜??+1(??∈???)；2k+1（注：每空2分 1（x2，y2=（，0，）=（0，4故a2=（6，0）或（04即?bi∈D，=1，2，…，k﹣1（k≥2，使1 ????=ak，化簡得 ????=（5，0

故假設(shè)不成立，即：?k∈N*，ak≠（5，0（Ⅲ）kmin=5，a1=（0，0，a2=（04，a3（4，，a4（4，4，a5（62（Ⅱ）②假設(shè)當n=k（k∈N*）時猜想成立，即ak=k!．n=k+1時，ak+1=（k+1）ak=（k+1）k!=（k+1）!n=k+1 n∈N*．以下用數(shù)學歸納法證明那么，當n=k+1時，ak+1=√??2?4????+5+√(2√??)2?4(2√??5+2=√4??4√??84√??5+2=√??1+2，所以，當n=k+1時猜想也成立；根據(jù)（1）和（2），可知猜想對于任意n∈N*都成立11223a3=4，得a4=a3+1=k+2n=k+1時，ak+1=（k+1）+1據(jù)①和②，對于所有n≥1an=n+1．12+7=13（3an4ak=4k﹣3（8n=k+1時，ak+1=2ak﹣4k+7=2（4k﹣3）﹣4k+7=4k+1=4（k+1）﹣3，所以，當n=k+1時，猜想也成立．（12分）1

（Ⅱ）??(??) 由（Ⅰ）知，0＜x2＜1，f（x2）=3x22﹣????2即??(??2

??2=??2…（2分0＜g（0）＜g（a1）＜g（x2即0＜a1＜a2＜x2，所以，當n=1，2時，命題成立0＜a1＜a2＜a3＜…＜ak＜ak+1＜x2

1??2h（x）R上單調(diào)遞減，由于﹣1x10，所以?1＜??(0)=即﹣1＜b1＜b3＜x1＜b4＜b2＜0，所以可得b1＜b3＜…＜b2n﹣1＜x1＜b2n＜…＜b4＜b2…（3分12﹣22+32﹣…+（2k﹣1）2﹣（2k）2=﹣k（2k+1）成立，=（k+1（﹣2k﹣3）綜合（1（2）可知等式12﹣22 2a2=2，a3=4，a4=8（3分

;解：由a，a，a，a，猜a= n1

（5分n∈N*，a=

n1 :;②假設(shè)當n=k（k∈N*）時等式成立，即a=

2×

k;1

:; 則n=k+1時 = ??12;

;1;11??1:;1解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=??????∴a2=??1??1 a3=??2=4=1，a4=7=1231 31 （Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：an=1??n=k時，ak=1??1則當n=k+1時，ak+1=????= =1 1??

3×1

??1??n∈N*，an=1??可得，n=1時，a2=9﹣4=5；n=2（Ⅱ）an=2n+1．…（4分…（6分n=k（k∈N*）ak=2k+1．…（7分）n=k+1時，ak+1=3ak﹣4k=3（2k+1）﹣4k=2k+=2（k+1）+1n=k+1解：根據(jù)已知，a2=7，a3=10，a4=13．…（3分）猜想an=3n+1．…（5分）②假設(shè)當n=k（k∈N*）時猜想成立，即ak=3k+1，…（7分）n=k+1時，ak+1=4ak﹣9k=4（3k+1）﹣9k=3k+4=3（k+1）+1，所以當n=k+1時，猜想也成立．…（12分）可得，m=n=1時，a2=2a1=4；m=1，n=2時，a3=a2+a1=6；（Ⅱ）an=2n．…（4分…（6分n=k+1時，ak+1=ak+a1=2k+2=2（k+1解：（1）n=2，∵??1=1，∴??2=×(:)??2a1+a2=3a2．∴??2=1 n=3，得??3×(:??3，即a1+a2+a3=6a3，∴??3=1 n=4，得??44×(:1??4，a1+a2+a3+a4=10a4，∴??4=1 （2）猜想???? :??:①當n=1時，??1=1 :(:②假設(shè)當n=k時，結(jié)論成立，即???? ??:)??:)則當n=k+1時，????=(??:????=????: ::=

=??(?? ??

即??+

=??:??2 ??

∴ +

=??(??(??:)

: :12 ?????? ??:)??:)2由①②可知，對一切n∈N+都有???? ??:??:1+??2=2× { a2=3，??2=??2= 25（2 =(??)=??)2 n=k時結(jié)論成立，即????=1??(??1)，????=1?? n=k+1時，ak+1=2bk﹣ak=(??1)2

??(??+

(??+1)(??+2)bk+1=??:

(??+22（?。áⅲ???::) （3）1+1+?+1 ＜即證1+1+? ??:2 n=1時，左1=1，右=1 假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即1+1+? ＜當n=k+1時1+1+?

＜

??:2

??:2 ?? ??而?? ? 2????所以?? ＜ ??: 即1+1+? ＜ ?? ?? 綜合（?。áⅲθ我鈔∈N*，都有1+1+? ＜亦即1+11＜2??．（12分

??:2 猜測

:2??:n=k時，猜測成立，即S2:1)K??:2 =S :2 ?? ??: 4(??)2;??:2 ?? =12-(2(??: ??:2: :2??:=??)2 =??)2;2??12(2??2??:2??:解：（1）∵a1=1，an+1=2????，∴a2=2??1=2:同理可求，a3=4，a48…（2分

:1: （2）由（1）an

…（5分n=1時，a

=1=1，猜想成 111;n=k（k＞1k∈N*）a

成立…（8分k

=2????=2??; ?; = =;k+1:2??:??

??;:?;???1:1 …（12分綜上所述：當n∈N*時a= 成立 …（13分n 分右邊1:)(=16（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時結(jié)論成立??:??:+6??:::??6:??::6=??(:1-(??)6

S=??(??:1:)，…1分6（1（2）=∴a2=1=1；a3=1=2；a4=1

34;;; 2 234;;ann=kak=??:;n=k+1時，ak+1=1=

;

綜合①②可得，對任意正整數(shù)n，an．解：根據(jù)已知，??23，??341，??4

=√??:．…分n=1時，由已知，左邊=√2，右邊√:1=√2，猜想成立．…（4分 ②假設(shè)當n=k（k∈N*）時猜想成立，即??=??:，…分 那么????:1=√??:????=√??:???: 1=√:2=√: ??2 ??2 ??

，…（7分：（1）n=1，??1=1，??2=??1:1=1n=2，??2=1，??3=??2:1=3 3;?? 3;2 4??=343??a2，a3，a4的值分別為：13 （2）由（1）可知數(shù)列的前4項為：1234 2an的表達式為：????=??n=k時，猜想成立，即：????=????1??

那么，n=k+1時????:= :?? ???? ??3??:)2（Ⅰ）解：由題意知，????=2(????+??(????))=2(????+1（i=1，2，…，n??C=4Si（=，2，，n所以2????=????+1（i=1，2，…，ni=1，得2??1=??11又S1=x1，且x1＞0，故（Ⅱ）i=2，得2??2=??2+1i=3，得2??3=??3+1，S3=x1+x2+x3，x1=1，??2√21x3＞0，故??3√32（4分）由此猜想，????=√???√???1（nN5分）（7則當n=k+1時，:??:+1Sk+1=Sk+xk+1，2????=????1??

??故(????+1????:??:1 :由????=√???√???1，得??2 +????:1?1=0，（8分）所以:=√??+1?√??（?√??+1?√??舍去9分）即當n=k+1時命題成立．n，都有????=√??√??16②假設(shè)n=k時，等式成立，即2??:(??:6 時22+++2+::+（+6??:26:2++6:??:=::??: n::6√2 n=k+1時，1+1111＜2√??+12????::1??√2 √?? ＜ =2√??+1．√2 1:

11;:??:1;??:n=1時，由2+1＜21+1)＜2+1，即有212+2＜2+1 ． n=2時，由2+1＜6(1+1)＜2 8＜a3＜10a3=9．…（4分（2）a1=1，a2=4，a3=9，猜想：????=??2…（5分）1°n=1，2，3時，由（1）知????=??2均成立．…（6分2°n=k（k≥3）成立，則????=由條件得2+1＜??(??+1)1+1)＜2+1: 所以??3:) ＜(??2;， 分2 所以(??+1)2? ????:1＜(??+1)2+1

…（9分

因為k≥3，0＜ ＜1，0＜1

??

又:∈???，所以??:=(??+1)2n=k+1時，????=??2也成1°，2°n∈N*，????=??2．…（10分解：（1）∵a1=1，an+1????∴a2=??1=1，a3=??2=1，a4=??3=12?? 2?? 2??（2）由（1，a1=1，a2=1，a3=1，a4=1

1??

2 3

41kn=k（k∈N*）a=1k

=????=??;

1:

:1由?。┖廷ⅲ┛芍孪雽θ我獾膎∈N*

1??2（2）a=﹣??

k

得k1=??1:1，即n=k+1時等式也成立????)a=﹣?? （43113（11110000．方法T（2115T（211T（11T（10，00，0．．…（4分 取??1=1??1+??2)，則??(1??(11|??1???2|T1（c1） 取??=1(??(1??(1))，則??(2)=??(2)=??(2)=1|??(1??(1)|T（c）3 …

Tk（ck）????=1??(;+??;) ??(??)，??(??)，??(??)，??(??)，??(??)，??(??)，則??(??)= 那么，進行第k+1次變換時，取??:1=1(??(??)+??(??)) 則變換后數(shù)列變?yōu)?)，??:)????:)?，??:1????:)????:)???) 顯然有??(:=??(??:=??(??:=?=??(??: … 經(jīng)過n﹣1次變換后，顯然有??(??;)=??(??;=??(??;=?=??(??;)=????;)；最后，取????=??;)，經(jīng)過Tn（cn） 使數(shù)列化為全零），設(shè)先進行Tj（cj）后，再進行Tj1（cj+1），由||ai﹣cj|﹣cj+1|=|ai﹣（cj+cj+1）T（c+cj+1 ，2233，，kkk+1k+1≤????≤因為|||(??+:???1|???2|???????|=(??+):?(??1+??2+?+????)（k+1k+1﹣k?kk盾．所以，當n=k+1時不存在“k次歸零變換”．（1（2） …（13分）n代入上式，得Sn﹣1Sn+2Sn+1=0（*）n=an﹣（n2，n∈N ??2 ??:，∈ 3②假n=k時猜想成立K??，n=k+1時，∵Sn1=an2:1+1= :: :?:

1=??:??????2，∴1:﹣??: :1 ﹣??:，∴當n=k+1時，猜想仍然成立

??:，∈ 2n=2時，a2+S2=2，∴??2=4n=3時，a3+S3=3，∴??3=8n=4時，a4+S4=4，∴??4=15；…（2分（2）猜想：????=1?1，下面用數(shù)學歸納法證明：…（3分n=1時，??111=1， n=k時猜想成立，即????=1122則當n=k+1時????:??:1????=(??1??:??+????=?????11?12即:=2?1????:=1?1n=k+1 ∴由①②知：n∈N*時????=1?1都成立．…（8分2∵bn+1=an+1﹣an，∴????=???????;=1（n≥22∵??1=??11，∴????=1（n∈N*．…（10分 當n=k+1時，左邊＜2?1+ ??: 下證：2?1 ＜2? (??) 即證：1?1 (??)即 ＜ (??) ??第九 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引解：∵i（3+4i）=3i+4i2=﹣4+3i，∴復(fù)數(shù)i（3+4i）的虛部為3．故選解：復(fù)數(shù)z=??=?? 1??=1i，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為（﹣1，11??;1 2 2z=（1+（2﹣）3+解∵(;??)2??2??=a;??2=﹣+∴﹣a=2;2=，解得 a=2，b=﹣3 2解??( ::??=2??=i∴i2012=（i2）1006=1故選;?? ?? 解：復(fù)數(shù);??;??)(;??)﹣;?1=﹣1﹣i，復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標（﹣1，﹣1

:; （﹣（+2）（2+）+（4a）i解得a=﹣1．解：原式=??(:)??;=1+i故答案為????)解2??=)

;??() 解：∵1??）2??2=1 解：由圖可知，2﹣，2i，∴1;;??=;;??;??=?1+ ?? ，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點構(gòu)成的區(qū)域的面積為：π． ??陰影1 S陰影=π﹣，∴則y≥x的概率為P= 2=? （m﹣1，m+2由題意可得2（m﹣1）﹣（m+2）﹣2=0，解得：m=6．A中不等式變形得：√(??1)2??2??)2≤1，（1，2aB中不等式變形得：√(????)2??1)2≤2，（a，﹣1∴√(??1)2?12??)2＞3①，或√(???1)2?12??)2＜1②，解①得：a?7a1；解②得：a∈?． ∴a的取值范圍是a?7a

=（2，﹣1，即

????:=解：∵m∈R，復(fù)數(shù)??=(:??2???2)??為純虛數(shù)，∴{

??2+???2≠??????)? ??: 故它對應(yīng)點在第三象限，故答案為三．解：復(fù)數(shù):??1:??)(34=51=?12??，它的實部是：34??;: ??≠??≠=(=由{ ??≠??2+2???1≠令x2+3x+2=0，解得x=﹣2，x=﹣1．x≠﹣2x≠﹣1時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；??2?25≠（2）zm2+3m﹣10≠0，即{??23??10??2?25≠2??2?3???2=m≠2m≠±5m≠2m≠±5時，z為虛數(shù)．{??23??10≠??2?25≠ （Ⅰ）復(fù)數(shù)③當{2??23??20m=1??2?3??+2≠ 2??2?3???m滿足 ??2?3??+?1解得{ ??＞2或即122解：（Ⅰ）復(fù)數(shù)z=（2+i）m2﹣6??﹣2（1﹣i）=2??2?2?6: +??2??+ m2﹣3m+2=0，∴m=2∴m≠12m2﹣3m﹣2=0，m22 2?3???有 ???3??+22???1≠x2+x﹣2＞0x﹣1＜0x＜﹣2z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限．…12z=x+yi（x，y∈R∴√(2??)2??)2+x=3，y=5，y=5，x=﹣10．第十 計數(shù)原某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學從中共選3門，若要求兩類課程 A．30 B．35 C．42 D．48 計數(shù)原理知不同的選法共有C1C2+ 1 （2C（3，f（，△AB=∈ A．6 B．10 C．12 D．16 =∈=f（3，f（1）≠f（2 B．10 C．12 D．16AAABBBCCCDDDBCDACDABDABC果．故選C．若由三個數(shù)字1、2、3組成的五位數(shù)中，1、2、3都至少出現(xiàn)一次，則這樣的五位數(shù)的 1、2、3都至少出現(xiàn)一次，即含有3個數(shù)字的有243﹣3﹣90=150A．從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都 A．70 B．80 C．100 D．140 84 某師范大學的2名男生和4名被分配到兩所中學作實習教師每所中學分配1名男生和2名，則不同的分配方法有（ A．6 B．8 C．12 D．1624242 242A2=122要有A型和B型筆記本電腦各一臺，則不同的共有（ A．140 B．84 C．70 D．35【解析】3AB型筆記本電腦各一臺，共有兩種類型：A2臺、B1臺；A1臺、B2臺．A2臺、B1C42C51=30種；A1臺、B2C41C52=40種．共有40+30=70種，故選C（東城區(qū)期末）已知集合M={1，2，3}，N={1，5}，從這兩個集合中各取一個元素作 53X2=632X3=6（1，1從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺， A．140 B．84 C．70 D．355544 A．60 B．48 C．36 D．24 1，2，3，4，5，6，7，8，93×3的方格中，使得每一行，每一列及對（834159672 492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276816、357、492；618、753、294672、159、834；834、159、67現(xiàn)有5名同學去聽同時進行的6個課外知識講座，每名同學可其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是（） 2

形的個數(shù)為n，設(shè)在所有不同情況中的“零三角形”個數(shù)的最大值為m，則??等于 2

4

442 們站成兩排，前排11人，后排10人，人站在第一排正中間位置，美俄兩國排法共有 A．??18 B．??2??18 C．??2??8??10 D．??20 2 318 2某中學從4名男生和3名中推薦4人參加活動，若這4人中必須既有男生 A．140 B．34 C．35 D．120773 20??+10??≤由題意得：{3??≤??≥

2×20+6×10=100A，B，Cx=2時，y6，7，8，9，（2015春?東城區(qū)期末）要從、、、、小王五名中選派四人分人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（）A．48 B．36 C．18 D．12 2 222（2015春?西城區(qū)期末）甲、乙兩人分別從四種不同品牌的商品中選擇兩種，則甲、乙所選的商品中恰有一種品牌相同的選法種數(shù)是（） 443則甲、乙所選的商品中恰有一種品牌相同的選法種數(shù)是4×6=24種；3（2016春?東城區(qū)期末）有3個電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的 B．15 C．35 D．53（2014春?東城區(qū)期末）6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本，不同的分法種 C2×C2×1=90 （2014春?西城區(qū)期末）若5個人站成一排，且要求甲必須站在乙、丙兩人之間，則不 A．80 B．40 C．36 D．20 有??2???1??? A．24 B．20 C．18 D．1533 A．8 B．10 C．18 D．242222 4444（2010春?豐臺區(qū)期末甲乙丙三家公司承包6項工程甲承包3項乙承包2項，丙承包1項．不同的承包方案有（ A．720 B．127 C．60 D．24

??3??2=6063663個盒子中至少放一個球，且A、B兩個球不能放在同一盒子中，則不同的放法有（ 4A、BC2=6，4AB6﹣1=5那么共有A33=6種．設(shè)a、b∈{1，2，3}，則方程ax+by=0所能表示的不同直線的條數(shù)是 a，b1種．故方程ax+by=0所能表示的不同直線的條數(shù)是7．（2014?附模擬）用“秦九韶算法”計算多項式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1，當 （x=x5+4x4+3x3+2x2+x+1（5x+4x+3x+2+1+1現(xiàn)要經(jīng)過5次乘法5次加法運算．（201?四中擬）將一個四棱錐的每個頂點染上種顏色，并使同一條棱兩端異色．只五顏可使用則同染方數(shù)為 ． （1）P：C1，A：C1，B： 3BD同色：D：1，C：C3 （2）P：C1，A：C1，B： BD不同色：D：C1，C：C C1?C1?C1?1?C1+C1?C 將取出4個球分成三類情況44 31C3C1種；22C42C6 ∴C4+C3C1+C ??+??=5(0≤??≤（2）x個紅球，y個白球，則2??+??≥7(0≤??≤∴??= ??= ??= 或 或??= ??= ??=∴符合題意的取法種數(shù)有C42C63+C43C62+C44C61=186第十一 排列與組若??:=??:則實數(shù)x的值為 C．4或 【解析】解：由????1=??2得{0≤2??+1≤15①或{0≤2??+1≤ 2??+1=??+ 2??+1+??+2=（2015春?四中期中）從4個男生，3個中挑選4人參加智力競賽，要求至少有一個參加的選法共有（ B．34 C．35 D．367474 A．6 B．24 C．36 D．120【解析】AA3個位置可選，BB3個位置可選，A，BA32=6，剩下的三個位置有三個元素進行全排A33=6，根據(jù)分類計數(shù)原理計算可得共有6×6=36種結(jié)果．故選C 7x從中取出2本數(shù)學書，1本外文書，有Cx2?C﹣1種情況，7x 7

1=72????;7??)=2x（x﹣1（7﹣x）=242（順義區(qū)校級期中）有三張卡片，正分別寫有6個不同的數(shù)字1，3，5和2，4，6， 3322×2×2=8種情況，則可以組成不同的三位數(shù)的個數(shù)為6×8=48個；故選C．（2016春?師大附期末）有不同的紅球5個，不同的白球4個．從中任意取出兩個不同 A．9 B．16 C．20 D．32（2016春?四中期末）甲、乙兩組各有6人，現(xiàn)從每組中分別選出3人參加科普知識競 A．400 B．200 C．40 D．20活動，各有C63=20種結(jié)果，∴根據(jù)分步計數(shù)原理得到共有20×20=400，故選A． A．72 B．36 C．18 D．12故第一步三人綁定在一起的方法有2×3=6335B }i34的數(shù)組（x1，x2，x3，x4，x6）的個數(shù)為 ∴xi214031、1個﹣120412個共有??2??3??2??4=90x1+x2+x3+x4+x5+x6=2的數(shù)組（x1，x2，x3，x4，x6） 6 色后，既有紅色魚又有藍色魚的涂色方法種數(shù)為（） （2016春?校級期末）在小組的4名男生和3名中選取3人參加某競賽，要求男生都至少有1人，則不同的有（）種． ∴不同的選法共有：??2??1+??1??2=30（種4 4位數(shù)，其中大于3200的數(shù)有（ A．36 B．30 C．28 D．2444333236種結(jié)果，綜上可知共有24+6+6=36A． 434+3+3=10C．（2016春?西城區(qū)期末）5名大學生被分配到4個地區(qū)支教，每個地區(qū)至少分配1人， 240﹣24=216種，故選：C．（2015春?西城區(qū)期末）從0，1，2，3，4中選取三個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù)，其 B．27 C．36 D．604420不在末位時，組成三位數(shù)，其中偶數(shù)有??133=182 3﹣C2=4×3×2﹣4×3=24﹣6=18．故選 （2014秋?房山區(qū)期末）從A，B，C，D，E5名學生中選出4名分別參加數(shù)學、物理、化學、外語競賽，其中A不參加物理、化學競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（ 4444123456781-╳╳╳╳2╳-╳╳3╳╳-╳╳4╳-╳5╳╳-╳6╳-╳7╳╳╳-╳8╳╳- （2015秋?石景山區(qū)期末）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動的實線不能穿過，則從走到出口共有多少種不同走法？（） ③從﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣出口④從﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣出口⑦從﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣出口⑧從﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣出口，共有8種，（2013秋?海淀區(qū)期末）3個水果，且從或“少一個”，那么，小明在這一周中每天所吃水果個數(shù)的不同選擇方案共有（）A．50 B．51 C．140 D．141所以共有??0+??1??1+??2??2+??3??3=141種．6

6 6 6 A．C 3

1．故選 （2013春?西城區(qū)期末）63所學校的自主招生不同的報考方法種數(shù)是（） 44 A．（2013春?西城區(qū)期末）從0，1，2，3，4中隨機選兩個不同的數(shù)字組成一個兩位數(shù)， B．10 D．12434+3+3=10B．（2013春?東城區(qū)期末）用數(shù)字0，1，2，3組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù) 3【解析】解：最只能填1、2、3，有3種方法，其余的位置沒有限制，任意排有3 【解析】解：根據(jù)題意，13個乒乓球運動員中有3個選手，則有10個普通運動員，將10個普通運動員分成4，3，3的三組，有1C4?C3?C3種分組方法，再對應(yīng)3個選2 A3A3×1×C4?C3?C3=12600 3 （四中期中）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教（每地1人 ．556644少有1人參加，則不同的挑選方法有 ． C4=8×7×6×5=70812????2????33333=3 3分3種情況討論：55 C4?C1?C1?C 33A、B、C顏色互不相同，DB顏色相同，CE顏色相同，則有C53?A3=60種涂色方法，3第十二 二項式定x（n （1+x（x+ （ =???xn﹣r(1)??=???xn﹣3r（r=012…， x+115=a0+a1x+a2x2++a15x15a0+a1+a2+…+a7（ 【解析】解：∵（x+1）15=?0+?1??+?2 令x=1，則?0?1?6?7?8?15=215，又?0?15?1?14 ?0+?1+…+?6+?7=1215=214．∴a0+a1+a2+…+a7=214 15 （2015秋?房山區(qū)期末）在(??+2)6的展開式中，常數(shù)項為 【解析】解：在(??+2)6的展開式中，由通項公式 66則f（3，0）的值為（ 66（2015春?東城區(qū)期末若二項（2x+??）7的展開式中1項的系數(shù)是84則實數(shù)a

224

（2013秋?海淀區(qū)期末）(??2?2)3的展開式中的常數(shù)項為 （2013春?西城區(qū)期末）(???1)8展開式中的常數(shù)項等于 88（西城區(qū)期末）若（2x+1）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，則 的值為 a3．兩邊同時乘以﹣1可得﹣a0+a1﹣a2+a3=1，故選D．（豐臺區(qū)期末）已知(??+1)6的展開式中的常數(shù)項為 【解析】解：由于二項式(??+1)6的展開式的通項公式為 66（密云縣期末）若(??2+1)??展開式的各項系數(shù)之和為32，則n等于 +（懷柔區(qū)期末已知二項式(???1)??的展開式中含x3的項是第4項則n的值 （石景山區(qū)校級期末若(1?2??)7=??0+??1??+??2??2+?+??7??7則a2的值 【解析】解：根據(jù)題意（1﹣2x）7T=Cr17﹣r（﹣2x）r=C a2=7

2（﹣2）2=84，故選（2+x）5 【解析】解（2+x）5展開式的通項 =Cr25﹣rxr所以展開式的第三項的系數(shù)是C （2x﹣1）5 55（豐臺區(qū)期末）設(shè)（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，則a1+a2+a3+…+a6的值為 （1+x6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6a0=1∴a1+a2+a3+…+a6=63，故選（西城區(qū)校級期末）(1+√??)4(1?√??)4的展開式中x的系數(shù)是 4【解析】解：(1√??)41√??)4=（1﹣x）4x的項是：C14（朝陽區(qū)期末）（2x﹣1）6展開式中含x2項的系數(shù)為 66【解析】r????)????令6﹣r=2，得r=4x2項的系數(shù)為??4;4故選C．66（東城區(qū)期末）二項式(2√???1)6展開式中x2項的系數(shù)是 【解析】解：(2√???1)6的展開式的通項為 =???????1)??=（﹣1）r26﹣rC 66（東城區(qū)期末）（x﹣2）5的展開式中含x3項的系數(shù)是 （x﹣） =Crx5﹣r（﹣2）r=C 55（東城區(qū)期末（x﹣1）10展開式中系數(shù)最大的項是 （石景山區(qū)期末）(??+1)6的展開式中的常數(shù)項等于 【解析】解：(??+1)6的展開式的通項為 =????????(?? 66（豐臺區(qū)期末）（2x+1）6的展開式中x2的系數(shù)為 【解析】T=Cr（2x）6﹣r?1rx26﹣r=2r=4；x2的項為，T5=C64（2x）2?14=60x2x260 （西城區(qū)期末）在（1﹣2x）6的展開式中x3的系數(shù)是 66 44 即T5=?????（﹣2）??? 2（宣武區(qū)期末若二項（x﹣2）n的展開式的第5項是常數(shù)項整數(shù)n的值 （x﹣1）3=x3，則a0的值為 ；a2的值為 333﹣1）r∴a2=C3（2016春?校級期末）二項式（3√??﹣1）6的展開式中各項系數(shù)的和是 【解析】解：令x=1，得二項式（3√??﹣1）6的展開式中各項系數(shù)6=64．故答第十三 離散型隨量及其分布隨量X的概率分布規(guī)律為P（X=n）= （n=234??:

（1＜X＜5）的值為

（n=1234??+??+=1a=5（1＜X＜5=（X=1+P??: 2612 4246 X1234P1614m13

6m=1﹣（1+1+1）=1，64 64X 1

339 ∴P（X=4）=??2??1=339 ??12 有試驗結(jié)果．故選D X01P2或 【解析】解：由隨量的分布列知，9c2﹣c≥0，3﹣8c≥0，9c2﹣c+3﹣8c=1，∴c=1．故3C設(shè)隨量X的分布列為P（X=i）=??，??=1，2，3，則 9

6

3

4【解析】解：∵P（X=i）??，??1，2，31+2+3=16==2=1

X1234P1p31則p等于

5

2【解析】解：由離散型隨量X的概率分布列，知：1+??+3+1=1，解得p=1． 5

2

5

D．【解析】解：∵??(??=??)=??(??=∴P（X=2）2P（X=3）3，∴P（1＜X≤3）2+3=1故 X1234Pa則實數(shù)a等 X3b8Pa 【解析】解：由題意知：{0.20.5??=3×0.2+??×0.5+8??=

ξ01xP15p3 【解析】解：由1??+3=1 Eξ=0111+3??=1.1 X1234P12a1555則 5（2009春?校級期末）甲乙兩市位于長江下游，根據(jù)一百多年的記錄知道，一年中雨天的比例，甲為20%，乙為18%，兩市同時下雨的天數(shù)占12%．求：①乙市下雨時甲市也下雨的概率為 ；②甲乙兩市至少一市下雨的概率為 ξ012P771%= p，q（p＞q2X0123P19mn19則 18

1(1???)(1???)=1????= ??= 3∴m=1×1×1+1×1×2+1×2×2=7n=1﹣×2?7=?? 18 X123P1213m【解析】解：由題意，11??= 6某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，如圖其中次品ξ的概率分布是 ζ012P22 ξ12345P則P（2≤ξ＜4）= X123P11m64【解析】解：離散型隨量X的分布列如表格，可得1+1+??=1，解得m=7 ξ01Pabc {【解析】??????=1{??+??= 已知隨量X的分布列如圖所示，則E（6X+8）= X123P（i=1，2，3，4， （i=1，2，3，4∴P（X＞2）=P（X=3）+P（X=4）=3+4

∴P（2＜X≤4）=P（X=3）+P（X=4）=1+1=32324 7 量是ξ的概率分布為P（ξ=k）=1;2P（ξ=3）=122P（ξ=4）=123P（ξ=5）=1=12411=74 816ξ0123P134121P（ξ2＞x）1x的取值范圍是4，9）．ξ2的可能取值為0，1，4，9，P（ξ2=0）=4，P（ξ2=1）=3+1=41212P（ξ2=4）=1+2=31212P（ξ2=9）=1∵P（ξ2＞x）=19故答案為：49η0123P則當P（η＜x）=0.8時，實數(shù)x的取值范圍是 ξ01234Px則 ，P（2≤ξ≤4）= 【解析】解：由隨量ξ的分布列的性質(zhì)可知：∑5 解得：x=0.2，由P（2≤ξ≤4）=1﹣[P（ξ=0）+P（ξ=1）]=1﹣0.1﹣0.2=0.7，p=P（X≥3p則 1 X1234P14mm712??+7=1m1 ∴P（ξ=3）=m=1ξ01P12則 2 222設(shè)X是離散型隨量，其分布列為其中a≠0，b≠0，則1+1的最小值為??X012Pab12??+??=2∴X的分布列性質(zhì)得：∴1+1=2（1+1（a+b）=2（2+??+??）≥2（2+2√????? ?? ?? ??4??X1234P14a38b若E（X）=2.5，則a﹣b的值為 1+??+3+??= 1×+2??+34

+4??=8a3，b3 ∴a﹣b=3?3 第十四 二項分布及其應(yīng)（2016秋?昌平區(qū)月考）為了了解所加工的一批零件的長度，抽測了其中200個零件的長度，在這個問題中，200個零件的長度是（ 總 B．C．總體的一個樣 ，200個零件的長度是總體的一個樣本，一個零件的長度是，到6點”不相互獨立的是（ 2

B．

8

8【解析】解：拋擲一枚均勻的硬幣4次，滿足獨立重復(fù)試驗，X～B（4，1，則恰有2次2面向上的概率：??2?(1)4=3 2

4

6

8【解析】解：由題意知本題是一個條件概率，第一次出現(xiàn)正面的概率是1，第一次出現(xiàn)正2=且第二次也出現(xiàn)正面的概率是11=1，∴P（B|A）=??(????)=411= 2（2016春?校級期末）同時投擲三顆一次，設(shè)A=“三個點都不相同“，B=“至少有一個6點，則P（A|B）為（ 2

D．即在“至少出現(xiàn)一個6點”的情況下，“三個點數(shù)都不相同”的概率，

5 5 125定甲每局比賽獲勝的概率均為2，則甲以3：1的比分獲勝的概率為（ 3

9

9因此所求概率為：P=??1?(2)3?1=8．故選：A． 3（2013春?西城區(qū)期末）對同一目標進行兩次射擊，第一、二次射擊命中目標的概率分別為0.5和0.7，則兩次射至少有一次命中目標的概率是（ 1﹣.5（1.701故兩次射至少有一次命中目標的概率是1﹣0.15=0.85，故選C．在每個十字路口遇到紅燈的概率都是1，且在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，那么3 3

9

D．【解析】解：由題意可得甲在每個十字路口遇到紅燈的概率都是1，甲在每個十字路口沒33才首次遇到紅燈的概率是2214 3某住宅小區(qū)有居民2萬戶，從中隨機抽取200戶，是否安裝，的結(jié)果如 A．300 B．6500 C．9500 D．19000一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右的概率都是1，質(zhì)點P移動五次后2于點（2，3）的概率為

（2，323次．則其概率為??=??2(1)2(1?1)355．5 B（n，pDξ=1.28=np（1﹣p，②XB（2，pY～B（3，p，4則 2【解析】解：∵隨量服從X～B（2，P，∴PX1）=1﹣P（X=0）=1﹣??2 8在10個球中有6個紅球和4個白球，不放回地依次摸出2個球，在第一次摸出紅球的 【解析】解：先求出“第一次摸到紅球”的