電子科技桂電版-第六章線性變換

第一節(jié)線性空間的定義與性質(zhì)揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個(gè)抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，它是某一類(lèi)事物從量的方面的一個(gè)抽象，即把實(shí)際問(wèn)題看作向量空間，進(jìn)而通過(guò)研究向量空間來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．一、線性空間的定義

若對(duì)于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為與的積，記作定義１設(shè)是一個(gè)非空集合，為實(shí)數(shù)域．如果對(duì)于任意兩個(gè)元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為與的和，記作如果上述的兩種運(yùn)算滿(mǎn)足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么就稱(chēng)為數(shù)域上的向量空間（或線性空間）．

2．向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組．

3．判別線性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿(mǎn)足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．說(shuō)明

1．凡滿(mǎn)足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，稱(chēng)為線性運(yùn)算．（１）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性．例１

實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿(mǎn)足線性運(yùn)算規(guī)律．例４

正弦函數(shù)的集合對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．是一個(gè)線性空間.例５

在區(qū)間上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間．一般地例６

正實(shí)數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間．（２）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則必需檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足八條線性運(yùn)算規(guī)律．證明所以對(duì)定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉．下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律：所以對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間．不構(gòu)成線性空間．對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例７

個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體1．零元素是唯一的．證明

假設(shè)是線性空間V中的兩個(gè)零元素，由于所以則對(duì)任何，有二、線性空間的性質(zhì)2．負(fù)元素是唯一的．證明假設(shè)有兩個(gè)負(fù)元素與，那么則有向量的負(fù)元素記為證明4．如果，則或

.證明假設(shè)那么又同理可證：若則有三、線性空間的子空間定義2設(shè)是一個(gè)線性空間，是的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱(chēng)為的子空間．定理線性空間的非空子集構(gòu)成子空間的充分必要條件是：對(duì)于中的線性運(yùn)算封閉．解(1)不構(gòu)成子空間.因?yàn)閷?duì)例8有即對(duì)矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.對(duì)任意有于是滿(mǎn)足且線性空間的元素統(tǒng)稱(chēng)為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等.線性空間是一個(gè)集合對(duì)所定義的加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉所定義的加法及數(shù)乘符合線性運(yùn)算四、小結(jié)線性空間是二維、三維幾何空間及維向量空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性.思考題思考題解答第二節(jié)維數(shù)、基、坐標(biāo)揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)一、線性空間的基與維數(shù)

已知：在中，線性無(wú)關(guān)的向量組最多由個(gè)向量組成，而任意個(gè)向量都是線性相關(guān)的．

問(wèn)題：線性空間的一個(gè)重要特征——在線性空間中，最多能有多少線性無(wú)關(guān)的向量？定義１在線性空間中，如果存在個(gè)元素滿(mǎn)足：當(dāng)一個(gè)線性空間中存在任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量時(shí)，就稱(chēng)是無(wú)限維的．定義２二、元素在給定基下的坐標(biāo)注意線性空間的任一元素在不同的基下所對(duì)的坐標(biāo)一般不同，一個(gè)元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的．例２所有二階實(shí)矩陣組成的集合，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間．對(duì)于中的矩陣三、線性空間的同構(gòu)定義設(shè)是兩個(gè)線性空間，如果它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng)，那末就稱(chēng)線性空間與同構(gòu).例如與維數(shù)組向量空間同構(gòu).

因?yàn)樾纬梢灰粚?duì)應(yīng)關(guān)系；則有３．同維數(shù)的線性空間必同構(gòu)．２．同構(gòu)的線性空間之間具有反身性、對(duì)稱(chēng)性與傳遞性．結(jié)論１．?dāng)?shù)域上任意兩個(gè)維線性空間都同構(gòu)．同構(gòu)的意義在線性空間的抽象討論中，無(wú)論構(gòu)成線性空間的元素是什么，其中的運(yùn)算是如何定義的，我們所關(guān)心的只是這些運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)．從這個(gè)意義上可以說(shuō)，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的，而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù)．１．線性空間的基與維數(shù)；２．線性空間的元素在給定基下的坐標(biāo)；

坐標(biāo)：（１）把抽象的向量與具體的數(shù)組向量聯(lián)系起來(lái)；３．線性空間的同構(gòu)．四、小結(jié)（２）把抽象的線性運(yùn)算與數(shù)組向量的線性運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)．生成的子空間的基與維數(shù).思考題思考題解答第三節(jié)基變換與坐標(biāo)變換揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)一、基變換公式與過(guò)渡矩陣那么，同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢？換句話(huà)說(shuō)，隨著基的改變，向量的坐標(biāo)如何改變呢？

問(wèn)題：在維線性空間中，任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可以作為的一組基．對(duì)于不同的基，同一個(gè)向量的坐標(biāo)是不同的．稱(chēng)此公式為基變換公式．由于基變換公式矩陣稱(chēng)為由基到基的過(guò)渡矩陣．過(guò)渡矩陣是可逆的．若兩個(gè)基滿(mǎn)足關(guān)系式二、坐標(biāo)變換公式則有坐標(biāo)變換公式或證明１．基變換公式三、小結(jié)２．坐標(biāo)變換公式或思考題思考題解答第四節(jié)線性變換揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)

線性空間中向量之間的聯(lián)系，是通過(guò)線性空間到線性空間的映射來(lái)實(shí)現(xiàn)的．１．映射一、線性變換的概念變換的概念是函數(shù)概念的推廣．2．從線性空間到的線性變換說(shuō)明３．從線性空間到其自身的線性變換下面主要討論線性空間中的線性變換．證明設(shè)則有例３定義在閉區(qū)間上的全體連續(xù)函數(shù)組成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間，在這個(gè)空間中變換是一個(gè)線性變換.故命題得證.證明則有設(shè)例４線性空間中的恒等變換（或稱(chēng)單位變換）：是線性變換．所以恒等變換是線性變換．證明設(shè)則有所以零變換是線性變換．例５線性空間中的零變換：是線性變換．證明證畢.例６在中定義變換則不是的一個(gè)線性變換．二、線性變換的性質(zhì)證明從而由于由上述證明知它對(duì)中的線線性運(yùn)算封閉，故它是的子空間．證明則則三、小結(jié)要證一個(gè)變換是線性變換，必須證保持加法和數(shù)量乘法，即若證一個(gè)變換不是線性變換，只須證不保持加法或數(shù)量乘法，并且只須舉出一個(gè)反例即可．思考題思考題解答第五節(jié)線性變換的矩陣表示式揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)一、線性變換的矩陣表示式二、線性變換在給定基下的矩陣定義１設(shè)是線性空間中的線性變換，在中取定一個(gè)基，如果這個(gè)基在變換下的象為其中上式可表示為那末，就稱(chēng)為線性變換在基下的矩陣．結(jié)論此例表明：同一個(gè)線性變換在不同的基下一般有不同的矩陣．

同一個(gè)線性變換在不同的基下有不同的矩陣，那么這些矩陣之間有什么關(guān)系呢？三、線性變換在不同基下的矩陣上面的例子表明定理１設(shè)線性空間中取定兩個(gè)基由基到基的過(guò)渡矩陣為，中的線性變換在這兩個(gè)基下的矩陣依次為和，那末于是證明因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以證畢.定理表明：與相似，且兩個(gè)基之間的過(guò)渡矩陣就是相似變換矩陣．例４解解

由條件知給定了線性空間的一組基以后，中的線性變換與中的矩陣形成一一對(duì)應(yīng)．因此，在線性代數(shù)中，可以用矩陣來(lái)研究變換，也可以用變換來(lái)研究矩陣．同一變換在不同基下的矩陣是相似的．四、小結(jié)思考題思考題解答第六章習(xí)題課揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)１線性空間的定義那么，就稱(chēng)為（實(shí)數(shù)域上的）向量空間（或線性空間），中的元素不論其本來(lái)的性質(zhì)如何，統(tǒng)稱(chēng)為（實(shí)）向量．簡(jiǎn)言之，凡滿(mǎn)足八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，就稱(chēng)為線性運(yùn)算；凡定義了線性運(yùn)算的集合，就稱(chēng)為向量空間．２線性空間的性質(zhì)３子空間定義設(shè)是一個(gè)線性空間，是的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱(chēng)為的子空間．定理線性空間的非空子集構(gòu)成子空間的充分必要條件是：對(duì)于中的線性運(yùn)算封閉．定義４線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)定義一般地，設(shè)與是兩個(gè)線性空間，如果在它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)線性空間與

同構(gòu)．線性空間的結(jié)構(gòu)完全被它的維數(shù)所決定．任何維線性空間都與同構(gòu)，即維數(shù)相等的線性空間都同構(gòu)．５基變換６坐標(biāo)變換７線性變換的定義變換的概念是函數(shù)概念的推廣．８線性變換的性質(zhì)９線性變換的矩陣表示10線性變換在給定基下的矩陣同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的，反之，相似矩陣也可以看成是同一線性變換在不同基下的矩陣．11線性變換在不同基下的矩陣典型例題一、線性空間的判定二、子空間的判定三、求向量在給定基下的坐標(biāo)四、由基和過(guò)渡矩陣求另一組基五、過(guò)渡矩陣的求法六、線性變換的判定七、有關(guān)線性變換的證明八、線性變換在給定基下的矩陣九、線性變換在不同基下的矩陣線性空間中兩種運(yùn)算的８條運(yùn)算規(guī)律缺一不可，要證明一個(gè)集合是線性空間必須逐條驗(yàn)證．若要證明某個(gè)集合對(duì)于所定義的兩種運(yùn)算不構(gòu)成線性空間，只需說(shuō)明在兩個(gè)封閉性和８條運(yùn)算規(guī)律中有一條不滿(mǎn)足即可．一、線性空間的判定解解二、子空間的判定證一三、求向量在給定基下的坐標(biāo)證二四、由基和過(guò)渡矩陣求另一組基解五、過(guò)渡矩陣的求法解一

由過(guò)渡矩陣的定義有整理得從上面的解法可以看到，由定義出發(fā)，利用解方程組，求出線性表達(dá)式中的系數(shù)，得到過(guò)渡矩陣，這種方法計(jì)算量太大，因此，當(dāng)線性表達(dá)式不容易得到時(shí)，可采用下面的解法．解二

引入一組新的基解六、線性變換的判定七、有關(guān)線性變換的證明解解八、線性變換在給定基下的矩陣九、線性變換在不同基下的矩陣解第六章測(cè)試題一、填空題(每小題4分，共24分