第3章概率論基礎

第3章概率論基礎胡良劍東華大學理學院Ljhu@第2學院樓543內容提要3.2樣本空間和事件3.3文圖和事件的代數(shù)表示3.4概率論公理3.5等可能樣本空間3.6條件概率3.7貝葉斯公式3.8獨立性3.2樣本空間和事件樣本空間：一個隨機試驗所有可能結果的集合被稱為該試驗的樣本空間，用S來表示。隨機事件：樣本空間的任一子集E被稱作事件。也就是說，事件是由實驗部分可能結果構成的一個集合。如果實驗結果包含在E中，我們就說事件E發(fā)生了。基本事件：S的每個元素（或單點集）。3.2樣本空間和事件例3.2.2(修改)如果實驗是由確定編號1,2,3,4的四匹馬的比賽結果構成，那么樣本空間S包含了(1,2,3,4)的所有全排列.即S={1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321}E={3號馬贏}={3124,3142,3214,3241,3412,3421}是一個隨機事件。F={3124}是一個基本事件，也是一個隨機事件。3.2樣本空間和事件事件的并EF：事件E或事件F發(fā)生。事件的交EF或EF：事件E和事件F都發(fā)生。事件的補Ｅc：事件E不發(fā)生。事件的包含EF：若E發(fā)生，則F必發(fā)生。性質：交換律結合律分配率3.3文(Venn)圖和事件的代數(shù)表示3.3文圖和事件的代數(shù)表示3.3文圖和事件的代數(shù)表示3.3文圖和事件的代數(shù)表示德·摩根律3.4概率論公理定義：集函數(shù)P(E)稱為事件E的概率，如果它滿足下列三條公理

對于任何的互不相交(又稱互斥)事件序列(也就是說,)3.4概率論公理命題3.4.1證明：用概率的定義。命題3.4.2證法一：用文圖；證法二：用概率的定義。3.4概率論公理例3.4.1總共有28%的美國男性吸卷煙，7%抽雪茄，兩者都吸的有5%。請問既不吸卷煙也不抽雪茄的男性比例是多少？解：3.4概率論公理例：P54習題9習題P53ex2,ex12,ex133.5等可能樣本空間等可能概型：樣本空間中的每一個基本事件發(fā)生的可能性相同。等可能概型的概率（古典概率）公式：其中N(E)表示事件E中的點（基本事件）數(shù)，N(S)表示所有可能的基本事件數(shù)。3.5等可能樣本空間分類加法計數(shù)原理：完成一件事有幾類辦法（各類辦法不相交），每類辦法中又有多種不同的方法，則完成這件事的不同方法數(shù)是各類不同辦法中方法數(shù)的總和。例：網(wǎng)上預訂行程，從鄭州到上海乘火車有7種不同選擇，乘飛機有5種不同選擇，從鄭州(乘火車或乘飛機)到上海共有7+5=12種不同的行程選擇。3.5等可能樣本空間分步乘法計數(shù)原理：完成一件事，需要分成幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法，則完成這件事的不同方法總數(shù)是各步驟不同方法數(shù)的乘積。例：網(wǎng)上預訂行程，從鄭州到上海共有12種不同行程選擇，從上海到香港共有4種不同的行程選擇，那么從鄭州經(jīng)上海到香港共有4×12=48種不同的行程選擇。3.5等可能樣本空間例3.5.1一個碗里有6個白球，5個黑球?，F(xiàn)在隨機從碗里拿出兩個球，則一個是白球一個是黑球的概率有多大？兩個黑球呢？解：3.5等可能樣本空間排列：從n個不同元素中取r個(不重復)，考慮先后順序共有n(n-1)….(n-r+1)種不同結果。全排列：n個不同元素排成一列，共有n!=n(n-1)….21種不同結果。重復排列：從n個不同元素中取r個(可重復)，考慮先后順序共有nr=n

n

….

n種不同結果。3.5等可能樣本空間例3.5.2瓊斯先生有10本書要放在書架上，其中有4本數(shù)學書，3本化學書，2本歷史書，還有1本語言書。(1)瓊斯想把同一種類的書放在一起，共有幾種不同的可能結果？(2)如果是隨意放置，恰好同一種類的書放在一起的概率多大？3.5等可能樣本空間組合：從n個不同元素中取r個，不考慮先后順序共有種不同情況?；蛘哒f，從n個元素中選擇r個組成一組，共有不同的組合數(shù)3.5等可能樣本空間例3.5.4要從6個男性9個女性中選擇5人組成委員會。如果隨機選取，那么委員會中有3個男性2個女性的概率是多大？解：3.5等可能樣本空間例3.5.7如果一個房間里有n個人，沒有兩個人的生日是同一天的概率是多大？如果希望概率小于0.5，需要多少人？解：當n23,P<0.5.注：P(50)=0.03,P(60)=0.006.習題P55ex18,ex203.6條件概率引例：（1）假設某人投擲一對骰子，兩個骰子點數(shù)之和為8概率多大？（2）如果已知第一個骰子點數(shù)為3，那么兩個骰子點數(shù)之和為8的概率為多少？3.6條件概率引例：(1)樣本空間:點數(shù)之和為8:概率(2)縮減的樣本空間:點數(shù)之和為8（縮減的事件）:條件概率注意：3.6條件概率定義：當P(F)>0,F發(fā)生的條件下E發(fā)生的條件概率為3.6條件概率例3.6.2瓊斯工作的機構正在籌備一場親子(父子)晚宴，參與者是至少有一個兒子的雇員。每一個滿足條件的雇員都被邀請攜他們年齡最小的兒子參加晚宴。瓊斯有兩個孩子，在瓊斯被邀參加晚宴的前提下，他的兩個孩子都是男孩的條件概率是多少？3.6條件概率乘法公式：例3.6.3佩雷斯女士所在的公司有30%的可能在鳳凰城設立分公司。如果這個分公司設立，那么她有60%的把握成為這個新公司的經(jīng)理。那么佩雷斯女士將會成為鳳凰城新公司經(jīng)理的概率為多少？3.7貝葉斯(Bayes)公式全概率公式：如果直接計算事件E的概率較困難，可以間接利用條件事件F:分別在事件F發(fā)生或不發(fā)生兩種條件下計算條件概率，然后再加權平均。3.7貝葉斯(Bayes)公式Bayes公式(逆概率公式)：注意區(qū)分：求結果發(fā)生的(無條件)概率,用全概率公式；已知結果，求原因的條件概率，用Bayes公式。3.7貝葉斯(Bayes)公式例3.7.1一個保險公司把投保的人群分為了兩類——事故敏感型和非事故敏感型。保險公司的數(shù)據(jù)顯示事故敏感型人群一年內發(fā)生事故的概率為0.4，而這個數(shù)據(jù)對于非事故敏感型人群減少至0.2。假設30%的人群為事故敏感型人群，那么一個新的投保人在購買保險的這一年中發(fā)生事故的概率是多少？例3.7.2（續(xù)上例）假設新的投保人在投保的這一年中已經(jīng)發(fā)生過了一次事故,那么這個人屬于事故敏感型人群的概率是多少？3.7貝葉斯(Bayes)公式投保人敏感型(F)非敏感型(Fc)0.30.7發(fā)生事故(E)0.40.2全概率公式P(E)=0.3×0.4+0.7×0.2=0.26Bayes公式P(F|E)=P(EF)/P(E)=0.3×0.4/0.26=0.46153.7貝葉斯(Bayes)公式例3.7.4一個實驗室提出了一種99%有效的血液測試來檢測某種疾病。但是，對健康人來說這個測試也有1%的可能會產(chǎn)生``假陽性”.如果人群中有0.5%患病，則在一個人的測試結果是陽性的條件下他患病的概率是多大？如果這個測試是在的高危人群（50%患病）中測試的呢？3.7貝葉斯(Bayes)公式例3.7.5在某一個犯罪調查的階段，當值的調查員60%確信嫌疑犯有罪。假設現(xiàn)在一個新的顯示罪犯有某個特征(例如，左撇子，禿頭，棕色頭發(fā)等)的證據(jù)未被揭露。如果20%的人群擁有這個特征，若這個嫌疑人屬于擁有這個特征的人群，調查員現(xiàn)在應如何對待這個犯罪嫌疑人(有多大把握確信嫌疑犯有罪)?3.7貝葉斯(Bayes)公式推廣的全概率公式：假設F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n是互斥(不相交)的事件，且那么推廣的Bayes公式：3.7貝葉斯(Bayes)公式例3.7.7一架飛機失蹤了，據(jù)推測，他有相同的概率著落在三個可能的地點。令1-i表示飛機著落在第i個地區(qū)條件下在第i個地區(qū)被找到的概率，i=1,2,3。已知對地區(qū)1的搜尋是失敗的，飛機落在地區(qū)1的概率是多少？習題P56ex25,ex29,ex31,ex33,ex353.8獨立事件定義：若則稱E與F相互獨立。性質1：若P(E)>0,P(F)>0,有性質2：如果E與F獨立，則E與Fc也獨立，進而Ec與F也獨立,Ec與Fc也獨立。3.8獨立事件例3.8.1一張卡片是隨機從一副52張的撲克牌中選取的。如果事件A表示抽出來的牌是A，事件H表示是抽出來的牌是紅桃，那么A和H是獨立的.因為P(AH)=1/52，而P(A)=4/52，P(H)=13/52。所以P(AH)=P(A)P(H)。3.8獨立事件定義(三個事件的獨立性)稱三個事件E,F,G相互獨立，如果定義(n個事件的獨立性)稱事件E1，E2,…，En獨立，若對{1,2,…,n}的任意子集{1’,2’,…r’},3.8獨立事件例3.8.8拋擲兩顆均勻骰子。讓E7表示事件：骰子的總和是7。用F表示第一顆骰子等于4，用T表示第二顆骰子等于3?？梢宰C明：E7，F(xiàn)，T兩兩獨立但三者不獨立。因為：P(E7)=6/36,P(F)=1/6,P(T)=1/6,P(E7F)=1/36,P(E7T)=1/36,P(FT)=1/36,P(E7FT)=1/36。這樣P(E7F)=P(E7)P(F),P(