第五章-大數(shù)定律-中心極限定理

第五章大數(shù)定律及中心極限定理§1大數(shù)定律§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理問題1擲一顆均勻的正六面體的骰子,出現(xiàn)幺點的概率是1/6,在擲的次數(shù)比較少時,出現(xiàn)幺點的頻率可能與1/6相差得很大.但是在擲的次數(shù)很多時,出現(xiàn)幺點的頻率接近1/6幾乎是必然的.§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理即大量測量值的算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性。這就是大數(shù)定律所闡述的內(nèi)容。測量的經(jīng)驗就是：問題2：測量一個工件時，由于測量具有誤差，為什么以各次的平均值來作為測量的結(jié)果？而且只要測量的次數(shù)足夠多，總可以達到要求的精度？這兩個例子說明：

在大量隨機現(xiàn)象中,不僅看到了隨機事件的頻率具有穩(wěn)定性,而且還看到大量測量值的平均結(jié)果也具有穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性就是本章所要討論的大數(shù)定律的客觀背景。即,無論個別隨機現(xiàn)象的結(jié)果如何,或者它們在進行過程中的個別特征如何,大量隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果實際上與每一個別隨機現(xiàn)象的特征無關(guān),并且?guī)缀醪辉偈请S機的了。

大數(shù)定律以確切的數(shù)學(xué)形式表達了這種規(guī)律性,并論證了它成立的條件,即從理論上闡述了這種大量的、在一定條件下的、重復(fù)的隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)的規(guī)律性即穩(wěn)定性.第五章大數(shù)定律及中心極限定理§1大數(shù)定律（Lawof

BigNumbers）大數(shù)定律的定義切比雪夫大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律辛欽定律§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理定義1a是一個常數(shù)；若對任意想想：數(shù)列的收斂性定義，比較數(shù)列與隨機變量序列

收斂性的區(qū)別。一、定義意思是:,當而意思是:當a時,Yn落在內(nèi)的概率越來越大.§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理0依概率收斂的性質(zhì)：第五章大數(shù)定律及中心極限定理定義2§1大數(shù)定律定理1(切比雪夫大數(shù)定律)設(shè)X1,X2…是相互獨立的隨機變量序列,各有數(shù)學(xué)期望E(X1),E(X2),…及方差D(X1),D(X2),…并且對于所有k=1,2,…都有D(Xk)<ι,其中ι是與k無關(guān)的常數(shù),則任給ε>0,有隨機變量的算術(shù)平均值隨機變量期望的算術(shù)平均值將比較密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望的附近.它與數(shù)學(xué)期望之差,當時n→∞,依概率收斂到0.這就是大數(shù)定律.切比雪夫定理為這一定律作出了精確的數(shù)學(xué)公式.切比雪夫定理說明:在定理的條件下,當n充分大時,n個獨立隨機變量的平均數(shù)這個隨機變量的離散程度是很小的.這意味,經(jīng)過算術(shù)平均后得到的隨機變量§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理2（切比雪夫Chebyshev大數(shù)定律的特殊情形）

且具有相同的數(shù)學(xué)期望及方差，這說明：在定理成立的條件下，n個隨機變量的算術(shù)平均值，當n無限增加時，將幾乎變成一個常數(shù)?！?大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理由切比雪夫不等式得：證：第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理3（伯努利Bernoulli大數(shù)定律）證：令§1大數(shù)定律即，當試驗次數(shù)n無限增加時,事件A的頻率依概率收斂于它的概率P(A).切比雪夫定理的一個推論：第五章大數(shù)定律及中心極限定理由定理2有該定理給出了頻率的穩(wěn)定性的嚴格的數(shù)學(xué)意義?！?大數(shù)定律§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理注：伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況。定理4（辛欽大數(shù)定律）且具有數(shù)學(xué)期望比較辛欽大數(shù)定律與切比雪夫大數(shù)定律條件的差別及強弱。是不完全相同的.這些結(jié)果可以看作是服從同一分布并且期望值為μ的n個相互獨立的隨機變量X1,X2…Xn的試驗數(shù)值。由定理4可知,當n充分大時,取這一定理使算術(shù)平均值的法則有了理論依據(jù).假使要測量某一個物理量μ,在不變的條件下重復(fù)測量n次,得到的觀測值作為的μ近似值,可以認為所發(fā)生的誤差是很小的,即對于同一個隨機變量X進行n次獨立觀察,則所有觀察結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)依概率收斂于隨機變量的期望值.大數(shù)定律告訴我們兩個結(jié)論:對于同一隨機變量X的隨機變量序列1.隨機變量的算術(shù)平均值2.隨機事件的頻率第五章大數(shù)定律及中心極限定理§2中心極限定理獨立同分布的中心極限定理李雅普諾夫定理棣莫佛-拉普拉斯定理用頻率估計概率時誤差的估計第五章大數(shù)定律及中心極限定理在實際中有許多隨機變量，它們是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的。而其中每一個別因素在總的影響中所起的作用都是微小的。這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布。這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景。正態(tài)分布在隨機變量的各種分布中,占有特別重要的地位.在某些條件下,即使原來并不服從正態(tài)分布的一些獨立的隨機變量,它們的和的分布,當隨機變量的個數(shù)無限增加時,也是趨于正態(tài)分布的.中心極限定理是討論隨機變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理一、定義§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理1（獨立同分布的中心極限定理(Levy-Lindeberg)）中心極限定理說明了正態(tài)分布的重要地位，它也是統(tǒng)計學(xué)中處理大樣本時的重要工具。二、中心極限定理（CentralLimitTheorem）在一般情況下,很難求出n個隨機變量之和的分布函數(shù)，根據(jù)中心極限定理，當n充分大時，可以通過正態(tài)分布給出其近似的分布。§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理2（李雅普諾夫定理）(Liapunov定理)則服從中心極限定理，即：

這個定理的實際意義是:如果一個隨機現(xiàn)象由眾多的隨機因素所引起,每一因素在總的變化里起著不顯著的作用,就可以推斷,描述這個隨機現(xiàn)象的隨機變量近似的服從正態(tài)分布.由于這些情況很普遍,所以有相當多一類隨機變量遵從正態(tài)分布,從而正態(tài)分布成為概率統(tǒng)計中最重要的分布.這個定理對離散的和連續(xù)的隨機變量都適用.§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理2表明，在定理的條件下，隨機變量第五章大數(shù)定律及中心極限定理由定理1有結(jié)論成立。定理3（棣莫佛-拉普拉斯定理）(DeMoivre--Laplace)證明：由二項分布和兩點分布的關(guān)系知其中相互獨立且都服從于兩點分布，且§2中心極限定理§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理推論：說明：這個公式給出了n較大時二項分布的概率

計算方法。定理（拉普拉斯定理）（1）局部極限定理：當n→∞時（2）(積分極限定理)：當n→∞時二項分布的近似分布§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理例1車間有200臺車床，它們獨立地工作著，開工率為0.6,開工時耗電各為1千瓦，問供電所至少要供給這個車間多少電力才能以99.9%的概率保證這個車間正常生產(chǎn)。設(shè)至少要供給這個車間r千瓦電才能以99.9%的概率保證這個車間正常生產(chǎn)。由題意有解：記某時刻工作著的車床數(shù)為X，則X~B(200,0.6).第五章大數(shù)定律及中心極限定理即供給141千瓦電就能以99.9%的概率保證這個車間正常生產(chǎn)?！?中心極限定理§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理用頻率估計概率時誤差的估計：由棣莫佛-拉普拉斯定理知§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理第一類問題是第二類問題是問最少應(yīng)做多少次試驗？這時只需求滿足下式的最小的n,第三類問題是用這個關(guān)系式可解決許多計算問題。§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理例2今從良種率為1/6的種子中任取6000粒，問能以0.99的概率保證在這6000粒種子中良種所占的比例與1/6的差的絕對值不超過多少？相應(yīng)的良種粒數(shù)在哪個范圍內(nèi)？解：由棣莫佛-拉普拉斯定理（第三類問題）第五章大數(shù)定律及中心極限定理故近似地有§2中心極限定理§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理良種粒數(shù)X的范圍為§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理例3系統(tǒng)由100個相互獨立起作用的部件組成，每個部件的損壞率為0.1。系統(tǒng)要正常工作，至少有85個部件正常工作，求系統(tǒng)正常工作的概率。解：由棣莫佛-拉普拉斯定理有則X~B(100,0.1)。則整個系統(tǒng)能正常工作當且僅當設(shè)X是損壞的部件數(shù)，一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的。假設(shè)每箱平均重50千克，標準差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977。例5解：設(shè)最多可裝n箱，保障不超載的概率大于0.977。由中心極限定理有第五章大數(shù)定律及中心極限定理§2中心極限定理因此最多可裝98

箱，保障不超載的概率大于0.977。第五章大數(shù)定律及中心極限定理§2中心極限定理例.將一顆骰子連擲100次，則點數(shù)之和不少于500的概率是多少？解:設(shè) ξk為第k次擲出的點數(shù),k=1,2,…,100,則ξ1,…,ξ100獨立同分布.由中心極限定理標準化變換(1)直接計算:(2)的計算結(jié)果與(1)的相差較大,這是由于n不夠大.一般要求n至少為50,有時也放寬到n≥30使用.例10部機器獨立工作,每部停機的概率為0.2.求3部機器同時停機的概率解10部機器中同時停機的數(shù)目(2)若用局部極限定理近似計算:解：例設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈,夜晚每一盞電燈開燈的概率都是0.7,而假定開關(guān)時間彼此獨立,估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率.解10000件產(chǎn)品中的廢品數(shù)ξ服從二項分布,例產(chǎn)品為廢品的概率為P=0.005,求10000件產(chǎn)品中廢品數(shù)不大于70的概率正態(tài)分布和Poisson分布雖然都是二項分布的極限分布,但Poisson分布以n→∞,同時p→0,np→λ為條件,而正態(tài)分布則只要求n→∞這一條件.一般說來,對于n很大,p(或q)很小的二項分布(np≤5)用正態(tài)分布來近似計算不如用Poisson分布計算精確.解設(shè)ξ為500發(fā)炮彈命中飛機的炮彈數(shù)目(1)用二項分布公式計算:例每顆炮彈命中飛機的概率為0.01,求500發(fā)炮彈命中5發(fā)的概率(2)用Poisson公式計算,直接查附表一可得:P5(5)≈0.175467(3)用拉普拉斯局部極限定理計算:下面用三種方法計算并加以比較:例在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問：(1)保險公司虧本的概率有多大？(2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多少？于是由中心極限定理(1)P{η<0}=P{1000012-1000ξ<0}解：設(shè)ξ表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則ξ~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，設(shè)η表示保險公司一年的利潤，

η=1000012-1000ξ=1P{ξ120}1

(7.75)=0;=P{ξ≥120}P{η>60000}=P{1000012-aξ>60000}=P{ξ60000/a}0.9;（2）設(shè)賠償金為a元，則令由中心極限定理,上式等價于小結(jié)