實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形_第1頁(yè)
實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形_第2頁(yè)
實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形_第3頁(yè)
實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形_第4頁(yè)
實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形_第5頁(yè)
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實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形第一頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日§9.6對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形一、實(shí)對(duì)稱矩陣的一些性質(zhì)二、對(duì)稱變換三、實(shí)對(duì)稱矩陣可正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣四、實(shí)二次型的主軸問(wèn)題第二頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日一、實(shí)對(duì)稱矩陣的一些性質(zhì)引理1

設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣,則A的特征值皆為實(shí)數(shù).證:設(shè)是A的任意一個(gè)特征值,則有非零向量滿足第三頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日其中為的共軛復(fù)數(shù),又由A實(shí)對(duì)稱,有令第四頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日第五頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日由于是非零復(fù)向量,必有故

第六頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日引理2

設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣,在

n

維歐氏空間上定義一個(gè)線性變換如下:則對(duì)任意有

或第七頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日證:取的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,則在基下的矩陣為A,即第八頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日任取即第九頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日于是又是標(biāo)準(zhǔn)正交基,第十頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日二、對(duì)稱變換1、定義則稱為對(duì)稱變換(symmetrictransformation).設(shè)為歐氏空間V中的線性變換,如果滿足

2、基本性質(zhì)第十一頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日(1)n維歐氏空間V的對(duì)稱變換與n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下是相互確定的:

1)

實(shí)對(duì)稱矩陣可確定一個(gè)對(duì)稱變換.

正交基.證:設(shè)為V的一組標(biāo)準(zhǔn)定義V的線性變換:則即為V的對(duì)稱變換.第十二頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日2)

對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣.為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,證:設(shè)為n維歐氏空間V上的對(duì)稱變換,為

在這組基下的矩陣,即或第十三頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日于是第十四頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日即所以A為對(duì)稱矩陣.由是對(duì)稱變換,有第十五頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日(2)(引理3)對(duì)稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)也是它的不變子空間.對(duì)任取即證:設(shè)是對(duì)稱變換,W為的不變子空間.

由W是子空間,有因此故也為的不變子空間.第十六頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日1、(引理4)實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量分別是屬于的特征向量.

三、實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化是正交的.

基下的矩陣,證:設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A為上對(duì)稱變換的在標(biāo)準(zhǔn)正交是A的兩個(gè)不同特征值,第十七頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日又即正交.有即由第十八頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日(定理7)對(duì)總有正交矩陣T,使2、證:設(shè)A為上對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣.由實(shí)對(duì)稱矩陣和對(duì)稱變換互相確定的關(guān)系,只需證有n個(gè)特征向量作成的標(biāo)準(zhǔn)正交基即可.第十九頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日n=1時(shí),結(jié)論是顯然的.

對(duì)的維數(shù)n用歸納法.

有一單位特征向量,其相應(yīng)的特征值為,即假設(shè)n-1時(shí)結(jié)論成立,對(duì)設(shè)其上的對(duì)稱變換設(shè)子空間顯然W是子空間,第二十頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日則也是子空間,且

又對(duì)有所以是上的對(duì)稱變換.由歸納假設(shè)知有n-1個(gè)特征向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.第二十一頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日從而就是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,又都是的特征向量.即結(jié)論成立.第二十二頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日3、實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似實(shí)對(duì)角矩陣步驟設(shè)

(1)

求出A的所有不同的特征值:其重?cái)?shù)必滿足;

(2)

對(duì)每個(gè),解齊次線性方程組

求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系:第二十三頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日它是A的屬于特征值的特征子空間的一組基.正交基把它們按正交化過(guò)程化成的一組標(biāo)準(zhǔn)(3)因?yàn)榛ゲ幌嗤?,且所以第二十四?yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日則T是正交矩陣,且將的分量依次作矩陣T的第1,2,…,n列,使為對(duì)角形.就是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.第二十五頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日例1

設(shè)

求一正交矩陣T使成對(duì)角形.解:先求A的特征值.第二十六頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日A的特征值為(三重),其次求屬于的特征向量,即求解方程組第二十七頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日得其基礎(chǔ)解系

把它正交化,得

第二十八頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日再單位化,得第二十九頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日這是特征值(三重)的三個(gè)單位正交特征向量,也即是特征子空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.第三十頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日再求屬于的特征向量,即解方程組第三十一頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日得其基礎(chǔ)解

再單位化得

這樣構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,它們都是A的特征向量,正交矩陣

第三十二頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日第三十三頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日使得

第三十四頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日注意成立的正交矩陣不是唯一的.1.對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A,使而且對(duì)于正交矩陣T,

還可進(jìn)一步要求第三十五頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日證:如果由上述方法求得的正交矩陣T

取正交矩陣則是正交矩陣且第三十六頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日同時(shí)有第三十七頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日2.如果不計(jì)較主對(duì)角線上元素的排列的次序,與實(shí)對(duì)稱矩陣A正交相似的對(duì)角矩陣是唯一確定的.3.因?yàn)檎幌嗨频木仃囈彩腔ハ嗪贤?,所以可用?shí)對(duì)稱矩陣的特征值的性質(zhì)刻畫其正定性:第三十八頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣A的所有特征值(i)A為正定的(ii)A為半正定的(iii)A為負(fù)定(半負(fù)定)的

(iv)A為不定的且

第三十九頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日4.實(shí)對(duì)稱矩陣A的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為正、負(fù)特特征值的個(gè)數(shù)(重根按重?cái)?shù)計(jì)).n-秩(A)是0為A的特征值的重?cái)?shù).第四十頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日1、解析幾何中主軸問(wèn)題將上有心二次曲線或上有心二次曲面通過(guò)坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形,這個(gè)變換的矩陣是正交矩陣.四、實(shí)二次型的主軸問(wèn)題2、任意n元實(shí)二次型的正交線性替換化標(biāo)準(zhǔn)形(1)正交線性替換如果線性替換X=CY的矩陣C是正交矩陣,則稱之為正交線性替換.第四十一頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日(2)任一n元實(shí)二次型

都可以通過(guò)正交的線性替換變成平方和

其中平方項(xiàng)的系數(shù)為A的全部特征值.第四十二頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日例2

在直角坐標(biāo)系下,二次曲面的一般方程是

則①式可以寫成

令第四十三頁(yè),共四十七頁(yè),2022年,8月28日對(duì)②中的有正交矩陣C(且)確定的坐標(biāo)變換公式

或這樣由②知道經(jīng)過(guò)由的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn),第四十四頁(yè),共

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