實際問題的函數模型

實際問題的函數模型第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日【學習目標】

1.通過一些實例來感受一次函數、二次函數、指數函數、對數函數以及冪函數的廣泛應用，體會解決實際問題中建立函數模型的過程，從而進一步加深對這些函數的理解與應用. 2.了解分段函數、指數函數和對數函數等函數模型的應用. 3.初步了解對統計數據表的分析與處理.

4.體會函數的零點與方程的根之間的聯系，掌握零點存在的判定條件，能用二分法求方程的近似解，初步形成用函數觀點處理問題的意識.

5.結合實際問題，感受運用函數概念建立模型的過程和方法，體會函數在數學和其他學科中的重要性，初步運用函數思想理解和處理現實生活和社會中的簡單問題.第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日

根據收集到的數據作出________，并通過觀察______判斷問題所適用的__________，利用計算器的數據擬合功能得出具體的函數解析式.散點圖圖象函數模型

練習1：已知y與x是一次函數關系，當x＝2時，y＝6；當x＝3時，y＝8，則y與x的函數關系式是____________.

練習2：計算機成本不斷下降，若每隔3年計算機價格降元.y＝2x＋22400第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日【問題探究】

某商品進價每個80元，零售價每個100元，為了促銷，擬采取買一個這種商品，贈送一個小禮品的辦法，實踐表明：禮品價值1元，銷售量增加10%，且在一定范圍內，當禮品價值為n＋1元時，比禮品價值為n(n∈N*)元時的銷售量增加10%. (1)寫出當禮品價值為n元時，利潤f(n)(單位：元)與n的函數關系式；(2)請你設計當禮品價值為多少元時，商店獲得最大利潤.第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日

解：(1)設禮品價值為n元，則每個商品獲利20－n元，當商品的銷售量為a，故當禮品價值為n元時，商品的銷售量為a(1＋10%)n，其利潤為f(n)＝a(20－n)(1＋10%)n. (2)為了使商店獲得最大利潤，有f(n)≥f(n－1)且f(n)≥f(n＋1)，

9≤n≤10，∴n＝9或n＝10.故當n＝9或n＝10時，商店獲得的利潤最大.第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日題型1利用給定的函數模型解決實際問題

【例1】某市場調查發(fā)現，某種產品在投放市場的30天中，其銷售價格P元和時間t天(t∈N)的關系如圖3-2-4所示.圖3-2-4第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日(1)寫出銷售價格P(單位：元)和時間t(單位：天)的函數解析式；

(2)若日銷售量Q(單位：件)與時間t(單位：天)的函數關系是Q＝－t＋40(0≤t≤30，t∈N)，求該商品的日銷售金額y(單位：元)與時間t(單位：天)的函數解析式；(3)問：當該產品投放市場第幾天時，日銷售額最高，最高為多少元？第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日

當0≤t<25，t∈N時，由二次函數的性質，可知：當t＝10或t＝11時，y有最大值為870元； 當25≤t≤30，t∈N時，70>30，函數在[25,30]上是減函數，因此當t＝25時，y有最大值為1125元，因為1125>870，所以在第25天時，日銷售額最大，最大值為1125元.第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日

二次函數是我們比較熟悉的函數模型，建立二次函數模型可以求出函數的值域.在解決實際中的優(yōu)化問題時，一定要分析自變量的取值范圍.在利用配方法求最值時，一定要注意對稱軸與給定區(qū)間的關系：若對稱軸在給定的區(qū)間內，可在對稱軸處取一最值，在離對稱軸較遠的端點處取另一最值；若對稱軸不在給定的區(qū)間內，最值在區(qū)間的端點處取得.另外在實際問題中，還要考慮自變量是否只能取整數.第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日

【變式與拓展】

1.某西部山區(qū)的某種特產由于運輸的原因，長期只能在當地銷售，當地政府通過投資對該項特產的銷售進行扶持，已知扣除投資，下同)，當地政府擬在新的十年發(fā)展規(guī)劃中加快發(fā)展此特產的銷售，其規(guī)劃方案為：在未來10年內對該項目每年都投入60萬元的銷售投資，其中在前5年中，每年都從60萬元中撥出30萬元用于修建一條公路，公路5年建成，通車前該特產只能在當地銷售；公路通車后的5年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售，在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，10年的累積利潤看，該規(guī)劃方案是否可行？第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日

設在公路通車的后5年中，每年用x萬元投資于本地的銷售，而剩下的(60－x)萬元用于外地區(qū)的銷售投資，∴該規(guī)劃方案有極大實施價值.第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日題型2建立確定性的函數模型解決問題

【例2】我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價格調控等手段來達到節(jié)約用水的目的.某市用水收費的方法是：水費＝基本費＋超額費＋損耗費.

若每戶每月用水量不超過最低限量a(單位：m3)時，只付基本費8元和每戶每月的定額損耗費c元；若用水量超過a(單位：m3)時，除了付同上的基本費和損耗費外，超過部分每1m3付b元的超額費.已知每戶每月的定額損耗費不超過5元.第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日月份

用水量/m3水費/元1992151932233該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費用如下表所示：(1)請根據上表中的數據，求a，b，c的值；(2)寫出某戶在一個月中的水費y(單位：元)與在這個月中的用水量x(單位：m3)的函數關系式.第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日

【變式與拓展】

2.設不法商販將彩電先按原價提高40%，然后在廣告上寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結果是每臺彩電比原價多賺270元，那么每臺彩電的原價為________元.2250

解析：設原價為a元，依題意，有a(1＋40%)×80%＝a＋270，解得a＝2250.第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日

3.在本埠投寄平信，每封信不超過20g時付郵資0.80元，超過20g而不超過40g時付郵資1.60元，依次類推，每增加20g時需增加郵資0.80元(信的重量在100g以內).如果某人所)D寄一封信的質量為82.5g，那么他應付郵資( A.2.4元

B.2.8元

C.3.2元

D.4元第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日題型3建立擬合函數模型解應用題

【例3】某工廠今年1月、2月、3月生產某產品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件，為了估計以后每月的產量，現以這三個月的產量為依據，用一個函數模擬該產品的月產量y與月份x的關系，模擬函數可以選用二次函數或函數y＝a·bx＋c(a，b，c為常數).已知4月份該產品的產量為1.37萬件，請問用以上哪個函數作模擬函數較好？說明理由.第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02

【變式與拓展】

4.在一次數學實驗中，運用圖形、計算器采集到如下一組數據： 則x，y的函數關系與下列哪類函數最接近(其中a，b為待定系數)()BA.y＝a＋bxB.y＝a＋bxC.y＝ax2＋b解析：由表，可知：y的增長速度越來越快.第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日t/年123456h/米0.611.31.51.61.7

5.某人對東北一種松樹的生長進行了研究，收集了其高度h(單位：米)與生長時間t(單位：年)的相關數據，選擇y＝at＋b與y＝loga(t＋1)來刻畫h與t的關系，你認為哪個符合？并預測第8年的松樹高度.第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日

解：根據表中數據作出散點圖如圖D26.

由圖可以看出，用一次函數模型不吻合，選用對數型函數比較合理.圖D26不妨將(2,1)代入到y＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函數y＝log3(t＋1)來擬合這個實際問題.當t＝8時，h＝log3(8＋1)＝2.故可預測第8年松樹的高度為2米.第二十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日

【例4】某商店將進價為8元的商品，按每件10元售出，每天可銷售200件，若每件售價漲價0.5元，則其每天銷售量就減少10件，問應將售價定為多少時，才能使所得利潤最大，并求出這個最大利潤.

易錯分析：每天銷售200件是在定價10元時的情況，故所設