高中數(shù)學(xué) 選考易錯(cuò)題 分類解析 10空間直線與平面易錯(cuò)題 含答案

高中數(shù)學(xué)錯(cuò)題分類解姓：***課：易錯(cuò)題分類解

教：

授時(shí)***考空直與面?間直線與平面的位置關(guān)系?間角?間距離?單幾何體?用三垂線定理作二面角的平面角?點(diǎn)到面的距離?疊問題經(jīng)易題診教學(xué)反饋教師評本周作建議11,∴EFD=所以二面角——1,∴EFD=所以二面角——的小為經(jīng)典錯(cuò)題診預(yù)（十考空直與面?間直線與平面的位置關(guān)系?間角?間距離?單幾何體?用三垂線定理作二面角的平面角?點(diǎn)到面的距離?疊問題經(jīng)易題診命角1空直與面位關(guān)1題圖四錐P-ABCD中是正方形棱PD底面ABCD，PD=DC，是PC的中點(diǎn)，作⊥于點(diǎn)F.證明：平EDB；證明：⊥面EFD；求二面角C—的小考場錯(cuò)解第2）證明：E為的點(diǎn)，∴⊥，∴DF在平面PBC上的射影為又已知EF所根據(jù)三垂線定理可得⊥，又⊥，⊥平面EFD專家把脈直在平面上的射影的概念理解錯(cuò)誤，只有DE⊥，能得出為DF在面PBC上的射影證明⊥面PBC得出EF為在面PBC上的射影，再利用三垂線定理。對癥下藥1如圖連AC交BD于連∵底面ABCD為正方形，為AC的中點(diǎn)，在PAC中EO中位線，，又EO平EDB，且面EDB，所以平面EDB∵⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，底面為正方形，∴⊥CD，BC⊥平面PCD，∴⊥，又DE⊥，⊥平面，DF在面PBC上的射影為EF又⊥，DF⊥，PB⊥，PB⊥平面；由）知PB⊥，故EFD是面角C——的面角。由2知，DE⊥EF⊥，正方形的邊長為a則PD=DC=aBD=

2

aPB=

aPC=a,DE=PC=22

a

,在eq\o\ac(△,Rt)

6PB

.在eq\o\ac(△,Rt)中∠EFD=

..DF32型題）下列五個(gè)正方體圖形l是正方體的一條對角線，點(diǎn)M、、P分為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l面MNP的圖形的序號_出所有符合要求2aa的圖形序號考場錯(cuò)解由l在MN、、所的面內(nèi)的射影分別為各面正方形的對角線，由正方形的性質(zhì)可得⊥，⊥，⊥，（）⊥面MNP中在底面的射影與MP垂，⊥，⊥面MNP）中取AB的中點(diǎn)，連接、∵在下底面的射影垂直于EN∴⊥∴⊥面MEN∴⊥同⊥，∴⊥MNP中在ADD上的射與垂，⊥，l⊥面；11（）取AA1點(diǎn)E，接，，在面ADD、面ABBA內(nèi)射影分別與1111MEEP垂，⊥，⊥面MP得⊥；綜合知，本題的答案是（專家把脈直與平面垂直的判定有誤，證一條直線與一個(gè)面垂直，應(yīng)該證明這直線與該平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而錯(cuò)解中只證一條垂直，所以出錯(cuò)。對癥下藥（1中在面ADDABD內(nèi)射影分別為ADBD而AD⊥MN，111111111B⊥，⊥，∴⊥MNP中若l⊥則取AA的中點(diǎn)，111接ME、l在A內(nèi)的射影為AD而⊥，⊥，合⊥，得l1111⊥面MEN∴⊥NE,這然不可能∴與不能垂直l與MNP不垂直類似（2）的證明，可與面MNP不直中⊥易證，而∥AC⊥，∴⊥，⊥面）中取AA1中點(diǎn)E，連接ME，可證得⊥MEP，l⊥，理可證l⊥，∴⊥，上知，本題的正答案13型題）如圖所示，在正三棱錐—中BAC=30°AB=a，行于、BC的面EFGH分交AB、、、于、、、。判定四邊形EFGH的狀，并說明理由；設(shè)P是AD上的點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，平面PBC⊥面EFGH，給出證明。考場錯(cuò)解（）∥平面EFGH，平面ACD平EFGH=HG，∴AD∥，同理∥，∥，理EH∥，四邊形EFGH為平行四邊形；（）AD中，接BP、，∵為棱錐，所以，⊥，⊥面BCP又由（1）知HG∥AD，∴⊥BCP，P為所求，此時(shí)AP=.2專家把脈正棱錐的性質(zhì)不熟悉而出錯(cuò)，正三棱錐的相對的棱互相垂直；正三錐的三個(gè)側(cè)面是等腰三角形不是等邊三角形。對癥下藥（）∥面EFGH面ACD

面EFGH=HG，∴∥，理∥，所以∥，理EH∥，EFGH為行邊形。又—BCD為正三棱錐，∴在底面BCD上的射影是△的心，∴DOBC根據(jù)三垂線定理⊥，HG⊥，四邊形EFGH為形；（）CP⊥于點(diǎn)連接BP，∵AD⊥，⊥面BCP∴HGAD，∴⊥面BCPHG

面EFGH∴⊥面EFGH在eq\o\ac(△,Rt)APC中∠CAP=30°AC=a,∴

32

a

.專會311321111132111解線面位置關(guān)系的題目，首先要熟悉各種位置關(guān)系的判定方法及性質(zhì)，其次解題時(shí)應(yīng)將判定與性質(zhì)結(jié)合起來，多用分析法，如要證a∥α則過作一平β，β

α，再證a∥；第三要善于轉(zhuǎn)化，如兩條羿面直線是否垂直，用三垂線定理將其轉(zhuǎn)化為兩相交直線是否垂直。線面的位置關(guān)系是立體幾何的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)予以重視?？妓加?xùn)1如10-5所示的四個(gè)正方體圖形中、為正方體的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)MP分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面的圖形的序號____________寫所有符合要求的圖形序號答案：①③解：①中平面MNP//面AB，∴AB//平面MNP；②中取下底面中心O，中點(diǎn)C，連接NONC，由已知AB//NO，■NC∴■面MNP③中AB//MP,∴AB//平面MNP；④AB■面MNP．∴填①③．2如，正三棱柱ABC-ABC中，是棱BB的點(diǎn)。11111（）證：平AEC⊥平面AACC；111答案：連接C與AC交點(diǎn)F，由條件可得EC=EA，EF⊥，同理=EA，EF111111⊥C所以EF上面AAC，111

平面EC，所以平面A⊥平面AAC.1111（）把面EC與平面ABC所銳二面角為60°時(shí)的正三棱柱稱為“黃金1111棱柱判此三棱柱是否為黃金棱柱明理由。答案延CE交C的長線于點(diǎn)H則有B=BH=AR,∠C=90°∠H=90°所以∠C為面AEC與平面AB所的銳二面角的平面角棱金柱∠CA=60°應(yīng)CC=

C1

與條件AB=AA矛盾∴此三棱柱為“黃金棱柱（）AB=a，求三棱錐A-AEC的積。1答案：VA-AEC=V-AAC=·EF··AAAC3已正棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直G是側(cè)面PAB的心，E是上的一點(diǎn)，且BE=BC，是PB上一點(diǎn)，3PF=PB，如圖3（）證GF⊥平面PBC；

且答案：連接BG并延交于M，由C為APAB的重心，則MG=BM，又由PF=，3∴GF//MP∵AP⊥⊥．AP⊥平面PBC∴⊥面PBC（）證：⊥；4111111111322111111111322答案：在側(cè)面PBC內(nèi)FD//PC交BCD∵PF=PB,DC=BC.又BE=BC,∴DE=BC.333故BE=DEE為BD的中由PBC為腰三角形△也為等腰三角形∴FB=FD．∴EF⊥．（）證GE是面直線PG與BC的垂線。答案∵⊥面PBC且EF⊥∴⊥BCPG交AB于H則GH=PH過C作GN//AB3交于N，則BN=

13

PB．∵PH⊥AB，∴PG⊥AB，∴PGGN∵PB，BC，NE//PC，PC上平面NE⊥面，PG面33∴⊥，⊥，PG⊥平面，GEC平．PG⊥GE，又由GE⊥BC，∴是面直線與的垂線．命角2空角1型題）如圖10-8，三棱錐S—中△是邊長為4的三角形，平面⊥平面ABC，SA=SC=2

，、分為AB、的點(diǎn)。證明：⊥；求二面角N—CM—的大??；求點(diǎn)B到面的離。考場錯(cuò)]第2）問過作⊥，過F作⊥交BC于點(diǎn)則NFE為面角——的平面角題只做到處，因?yàn)椴恢狤、的置NFE等于多少計(jì)算不出來專家把]求面角的大小時(shí)，顧用定義作出二面角的平面角，給計(jì)算千百萬麻煩或根本就算不出來，所以一般用三垂線定理來作二面角的平面角，就是便于計(jì)算。對癥下藥（）圖，取AC中，接SD，SA=SCAB=BC，AC⊥，且⊥，AC⊥平面SDB。又SB

平面SDB，⊥。（BD的點(diǎn)E接E作EF⊥于續(xù)NF∵平面⊥面ABCD⊥AC，∴⊥ABCD，N、分為、的中點(diǎn)，NE∥，⊥，又EF⊥，∴⊥∴∠NFE為面角CM—的面角。NE=SD=2

2

，在正△ABC中，由平面幾何知識可求得MB=，eq\o\ac(△,Rt)中tan4∠

EF

2

,∴面角—CMB的小是arctan22；（）eq\o\ac(△,Rt)NEF中，NF=

EF251212133412111111111112121334121111111111∴=CM·eq\o\ac(△,S)

32

3

，=BM·eq\o\ac(△,S)

.設(shè)B到面CMN的距離為h,∵

BCMN

=VN-CMB,NE⊥面，∴··，h=eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)CMB

43

.

即點(diǎn)到平面CMN的距離為。32型題）在長方體—BCD中，已知，，=2，、分是線段11111、上點(diǎn)，且。（）二角C——的正切值1（）直EC與FD所成角的余弦值。11考場錯(cuò)]∥∠為EC與FD所成的角11

2

，C1E=，∴∠EE=

1420214

2814

,

∴與所成角的余弦值為。11專家把]缺空間想象能力，中的DF與不行，實(shí)際上DF與DE是面直11線。對癥下]正一作CG⊥足為G接CCC⊥面ABCD，11∴是G在面ABCD上的射影，由三垂線定理得⊥G。11∴∠是面角——的平面角。11在△中，DAE=90°∴ADE=45°得CDG=45°∴CG=CD∠CDG=2

2.∴∠12∴二面角——的切值為1

22（）長BA至，AE，連接有DC∥EC=EE，四邊形EEC是111111111111平行四邊形?！郉∥，是∠EDF為EC與FD所的角。1111111在eq\o\ac(△,Rt)F中EF=，eq\o\ac(△,Rt)中E=14，eq\o\ac(△,Rt)中FD=24，以在eq\o\ac(△,E)eq\o\ac(△,)FD中由余弦定理得∠DF=1111

1424224

21.14正解二以A為點(diǎn)，

AB,AD

分別為x軸y軸z軸的正向建立空間直角坐標(biāo),則有（32004，）（，2于是1-3，EC=(1,3,2),FD=(-4,2,2).設(shè)量n=(x,y,z)為面CDEA的向,則

DE

（，nDEEG

,得x=y=-

z

,令得

=(1,1,-2),向量

=(0,0,2)與面CDE垂,nAA

成的角為面角C——的面角。16EC105EC105c

nn

62ta;3（）EC1與FD1所成的角β，cosβ11ECFD

21.143(典例如四錐P—的底面是正方形⊥底面ABCDAE⊥，EF∥，。證明MF是面直線AB與PC的垂線；若求直線AC與面所角的正弦值。考場錯(cuò)]第2）：（）知PCMF∴AF為AC面EAM內(nèi)的射影，∴CAF為AC與面所的角，通過解三角形解得sin∠.∴與面所的角的正弦值為。10專家把]直與平面所的角不是就得不出AF為AC在內(nèi)射影，直線與平面所成的角必須是斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所夾的角，所以找射影是關(guān)鍵。對癥下（）⊥面ABCD，⊥，∵底面ABCD為方形，⊥AD∴⊥面得平面PCD⊥平面，

平面，⊥，∴AE平面PCD，∴AE⊥CD，EF∥∥，，四邊形AMFE為平形四邊形，MFAE，⊥，⊥，⊥，MF為面直線AB與PC的垂線；（）法：接BD交AC于，接，過作OH⊥為垂足，AE⊥，CD⊥∥，EF⊥，⊥面MAE又OH⊥，OH∥，⊥面MAE連接，∠是線AC與平面MAE所成的角，設(shè)則，a，eq\o\ac(△,Rt)△PDA,故OH中∠HAO=.AO

ADa1a,ED,PD2

從而eq\o\ac(△,Rt)解法二：以

、

AD

、

分別為xyz軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則（，0，（，

9a,10

∴

AF(0,

93a),AB,0,0),設(shè)1010

為平面的向量，且=（得面EAM的一個(gè)法向量為0，，∴α=。10

=（）專會空間的各種角是對點(diǎn)直線平所組成的穿間圖形的位置關(guān)系進(jìn)行定性分析和宣量計(jì)算的重要組成部分，空間角的度量都是轉(zhuǎn)化為平722222112222211面角來實(shí)現(xiàn)的，要熟練掌握種類角轉(zhuǎn)化為平面角的常用方法，為了實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，一是靠經(jīng)驗(yàn)和知識的積累；二是利祿識圖和畫圖的訓(xùn)練；三要以推理為主要依據(jù)，求角的一般步驟是出作出要求的角證它符合定義）某一三角形中進(jìn)行計(jì)算，得結(jié)果，當(dāng)然在解選擇或填空題時(shí)，一些間接方法也經(jīng)常用。考思訓(xùn)1如圖，矩形ABCD中BC=a現(xiàn)沿AC折成二面角——，BD為異面直線、BC的垂線。（）證：平⊥平面ABC；答案：解(1)∵⊥，AD⊥BDAD平面BCDBCAD，又BC上BD，BC⊥平面ABD，BC平ABC故面ABD⊥面ABC．（）為值時(shí)，二面角D——為°；答案：∵面ABD上面ABC，作DEAB于E則DE平面ABC，作EF⊥于F，由三垂線定理有AC⊥DF，∴∠為面角D---AC--B的平面角．在eq\o\ac(△,Rt)ADC中，AD=AF．，∴

a

又△∽eq\o\ac(△,Rt)∴aEF=

AF

aa

,在tDEF中,

EF2aDF2

4

2

8

.（）為可值時(shí)，異面直線與BD所成的角為60°。答案BM⊥AC于MO作BNAC與FE的長線交于點(diǎn)BMFN為矩形BN⊥DN∠DBN為異直線AC與BD所的角．MF=AC-2AF=

1

,a∴又在eq\o\ac(△,Rt)中cos∠

BNBD

,12

1a

2

,解a

155

.2如圖，長方體ABCD—BD中，E、分別為BB、上的點(diǎn)，且AEAB，1111111AF⊥D。1（）證AC⊥平面AEF1答案：在長方體ABCD--ABCD中A為C在平面BA內(nèi)的射影，AE上A1B，AE⊥A1C同理AF⊥C，∴C⊥平AEF（），，=5M是C的點(diǎn)，求與面AEF所角的大小。111答案為坐原點(diǎn)DA,DC

分別為x軸正方向建立間坐標(biāo)系，M(2，3，，A1(40，5)，∴面AEF的—個(gè)法向量，

AC(AM(由(1)

為平81122211222

C||C|

|42

495

.∴直線AM與面AEF的成的角為arcsin

495

.3

已知四棱錐PABCD，面是邊長為的正方形，側(cè)棱⊥面ABCD，、N分為、的中點(diǎn)。MQ于Q，直線PC與面PBA所角的正弦值為如圖所示。（）證平⊥面；答案：∵、分別是AD、BC的點(diǎn)，MN⊥AD又平面，∴平面⊥面（）PA的；

33答案：由已知BC⊥平面PBA，∴BPC是PC和面PBA所成的角.∴PC=

PB

可得PA=2.（）二角——的弦值。答案：由（），MN⊥，MN⊥QM.∴∠PMQ是二面角MNQ的平面角由（2）eq\o\ac(△,知)為等腰直角三形.且AM=DM=1.PM5.QM

∴二面角PMNQ的弦值為命角3空距

1010

.1型題）在空間中，與一ABC三所在直線距離都相等的點(diǎn)的集合是（）A．一條直線．兩條直線．三條直線．四條直線考錯(cuò)解設(shè)點(diǎn)為，P在面ABC上射影為，為P到△三所在直線距離都相等，所以到△的三邊直線的距離都相等，即為ABC的心，所以本題中符合條件的點(diǎn)在過且平面垂的直線上，所以選A專把脈在面上與一個(gè)三角形三邊所在直線等距離的點(diǎn)不只內(nèi)心一個(gè)，實(shí)任意兩個(gè)角的外角平分線的交點(diǎn)（我們稱其為傍心）也符合到三角形三邊所在直線等距離對下藥設(shè)點(diǎn)為，且P在平面上的射影為，因?yàn)榈饺吽谥本€距離都相等到ABC的邊所在直線的距離都相等，94561331145613311即為的心或傍心，所以本題中符合題意的點(diǎn)在過內(nèi)心或傍心且與平面ABC垂直的直線上，這樣的直線有條，所以選D。2．（型例題圖10-15在棱長為的正方體ABCD中是方形ABCD11111111的中心，點(diǎn)P在棱上且CC=4CP。11（）直線AP與面B所角的大小（結(jié)果用反三角表示11（）點(diǎn)平面上的射影為，證D⊥；11（）點(diǎn)P到平面ABD的離。1考錯(cuò)解第3問：ABCD—BC為方體，AB面BCCB，∴⊥AB，111111∴即為到平面ABD的距離，在eq\o\ac(△,Rt)中BP=1

17專把脈線垂直的判定有誤，錯(cuò)解中⊥，BP與平面ABD1不垂直，所以P到平面ABD的離不是BP1正解一如10-16，接BP∵AB⊥面BCCB，AP與平面11BCC所的角就是APB。CC=4CP，=4，CP=1。eq\o\ac(△,Rt)1111中，∠直角，，，BP=17在eq\o\ac(△,Rt)APB中，∠為直角，∠

AB4,BP17

∴∠APB=arctan.17(2)連接AC，，ABCD為正方，⊥C又AA⊥面ABCD，∴11111111111111111⊥O，∴O⊥平面AAPC，于AP1111

平面AOC，∴D1O⊥∵平面DAP的斜線DO在這個(gè)平面內(nèi)的射影是D，D⊥。111（連接平面BCCB中點(diǎn)作⊥于∵⊥平面BCCBPQ111111

平面BCC1∴PQ⊥，⊥面ABC，就P到面ABD的離，在Rt△中，∠QP=90，∠Q=45，=3，∴PQ=1111

32

2.

即點(diǎn)P到平面ABD的1離為

32

2

。正解二以DA、DC、DD分為軸y軸、軸正向建立空間坐標(biāo)系，∵⊥面BCCB，AP與平面BCCB所的角為APB。CC=4CPCC=4CP=1，111111A（000，，（，，

（，，

PB

∴∠

PB|PB

56133

∴直線AP與平面BCCB所的角為;(2)連接DO，111由1）（0422，4DO（22，因?yàn)镈AP的線DO在這個(gè)平面內(nèi)的射影是D。111∴⊥；1

O0,

又1011112222222222101111222222222210（）正方體性質(zhì)不難得出C為面ABD的一個(gè)法向量B（4，（，4，0，，∴=(-4,0,-4),BP

C|BPC1

1242

32到BD的23型題）如圖0-17，三棱錐—中底△是∠B為角的等腰直三角形又V在底面ABC上射影在線段AC上靠近C點(diǎn)，且面ABC成45°。求V到面ABC的離；求二面角——的小。考錯(cuò)解（）作⊥，足為，接BD，由已知有⊥面ABC，直三角形VBD，為直線VB與

14

VB與底面ABC所的角∠°BD=

2224

V到面的距離等于2。專把脈BD與垂直是錯(cuò)誤的≠

2224

錯(cuò)誤的原因是缺少函數(shù)方程思，VD直計(jì)算在本題中做到，而應(yīng)設(shè)未知數(shù)，建立方程來求解。對下藥（1）圖10-18，平面VAC中過作VD⊥于，連接BD，已知VD⊥平面ABC∠VBD為VB與底面所成的角∠°設(shè)則eq\o\ac(△,Rt)VAD中VD=VA-AD

=14-）=-x在角三角形中，VDB=90°，∠°=x+8-4

2

22

=x-4x+8.在直角三角VBD中°°，即x+8x-2=x-4x+8,解得x=1或又題意應(yīng)去∴此VD=

5,

V到底面ABC的離為

;(2)D作OE⊥于連VE,∵⊥面ABC,DE⊥∴⊥∴∠VED為面角V——的面角面中，CB⊥AB⊥，∴∥，1）

AD33DEBC,AC4

在eq\o\ac(△,Rt)VDE中，，∠VDE=90DE

2

，∴∠

10,arctan.33

∴二面角V—AB—的大小為arctan.3專會空間中的距離以點(diǎn)到面的距離為中心內(nèi)容，大多數(shù)距離問題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，求法比較靈活，主要有接法。過該點(diǎn)作面的垂線，求出垂線段的長，不過不能只顧作算不出來應(yīng)利用線面的位置關(guān)系判斷垂足的位置法：利用三棱錐的體積進(jìn)行等積變換來求解利用空間向量求解，公式是

d

||

，11AAP2h111111111111111AAP2h111111111111111其中n為面的法量a為該點(diǎn)的平面的一條斜線段所確定的一個(gè)向量?？妓加?xùn)1如，知正三棱柱ABCABC的各條棱長都為aP為AB上的點(diǎn)。1111（）確定1PB

的值，使得⊥；答案：過P作PM⊥于M，連CMABC-AC為三棱柱，PM⊥面ABC，PC在底面上的射影為CM，PC⊥，∴CM⊥AB，又△ABC等邊三角形，∴M為AB中，P為A的中，

,AB（）1PB

，求二面角P——的??；答案：過作PM⊥AB于N，過N作NQAC于，連結(jié)PQ，根據(jù)三垂線定理得PQN為二面角

PACB

的平角.PN=

323aa55

，在

Rt△PQN

中，tan∠PQN=

3,PQN.即二面的小a（）（）的條件下，求C到平面PAC的離。1答案：

1

13

ACC

11aa,解hC平面AC距離為.3222

長方體ABCD—D中，，AB=AC=63N為中，為AB的點(diǎn)，為D的中點(diǎn)，如圖，11（）點(diǎn)P到平面BMN的離；1答案：如圖，平面BMN截方所得的截面為NR∵CD//AB，∴D//平BNR，∴到面BMN的距離等于C到面的距CGB于G∵ABCDABCD為方體，∴G平面B1MN形BCCB中=AA=9C=BC=63N=63∠N=30°∠BG=60°，111

339.2

∴到面MN的距離為1（）PC與面BMN所的。1答案∵PC//MBPC與面BMN所的角等于MB平面所的角B作BH⊥B1N于H，作BH⊥平面BMN，∠BMH為MB與平面BMN所成的角，BH=

92

,3,sinBMH

33.PC平面BMN所角為sin443

已知斜三棱柱ABC—ABC的面，ACC與底面ABC垂，°，BC=2，11111AC=2

，且AA⊥，AA⊥C。圖所示。1111（）側(cè)與面ABC所二面角的大?。?122222答案：取AC中D，連AD，∵AA=AC，A⊥AC又側(cè)面A⊥面ABC，AD⊥平面ABC，∴∠為AA與面ABC所成的角，由已知∠°111（）側(cè)A與面ABC所二面角的大?。?1答案：作DE⊥，三垂線定理AB⊥，∴AED為側(cè)ABB與面ABC所二面角的平面角又BC⊥AB，∴DE//BC，DE=

BCD∴tan∠ED=

,∴∠A1ED=60°∴面AABB與面ABC所成二面角為60°11（）頂C到側(cè)面的距離。11答案：到平AABB的離是C該平面距離的一半（知面ED⊥平面AABB1，作DF⊥E，則DF⊥平面ABB，又DF=

∴到面AABB的離為

.命角4簡幾體1型例題如10-22在三棱柱—BC中AB=3M為AA的點(diǎn)，11111P是BC上點(diǎn)，且由P沿柱側(cè)面經(jīng)過棱CC到M的短路線長為1短路線與CC的點(diǎn)為N1

29

，設(shè)這條最求）該三棱側(cè)面展開圖的對角線長；PC與NC的；平面NMP與面ABC所二面角銳角）的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示考場錯(cuò)]（問作⊥于N則已知有MN+NP=3+NP=1

29

NP=

29

，此時(shí)為CC的點(diǎn)，，1

NC

。專家把]依意是最小值為29而錯(cuò)解中認(rèn)為最則MN+NP就最,這是錯(cuò)誤的對癥下](1)三棱柱ABC—ABC的側(cè)面展開圖是一個(gè)長為，為4的形，其對111角線長為9297

；（）圖10-23將側(cè)面BBCC繞棱CC旋120°使其與側(cè)面AACC在一平面上，11111點(diǎn)P運(yùn)動到的置，連接，則MP就由點(diǎn)沿柱側(cè)面經(jīng)過棱到M的1111最短路線。設(shè)，C=x，在eq\o\ac(△,Rt)MAP中由勾股定理得（3+x）+211

=29，得x=2,∴C=2,1

NCPC24.MA5（）法一：接，就MNP與面ABC的交線，作⊥于H，CC⊥1111平面ABC，連接CH由三垂線定理得，⊥PP，∴∠NHC就是平面MNP與面1131144541111114199221622741222111445411111141992216227412221所成二面角的平面（角eq\o\ac(△,Rt)中∵∠PCH=∠=60°∴2

PC2

、在eq\o\ac(△,Rt)中tan∠

,∠NHC=arctan∴面NMP與面ABC所成二面角CH5（銳角）的大小為。5解法2∵△MPN在△上的射影為△APC設(shè)所求的角θ則θ=故平面NMP與面ABC所二面角（銳角）的大小為.41

SSMNP

.2．型例如，直四棱柱ABCD—BD的面為行四邊形，其中2，BD=BC=1，=2，為中點(diǎn)，點(diǎn)在DD上且DF=。11（）異面直與A的距離；11（）與BC是否垂直？請說明理由；1（）二面角E——的切值?？紙鲥e(cuò)]第）問：ABCDABCD為四棱柱，∴在面BCCB上射影為CC，1111111而BC與BC不直，∴與BC不垂直。111專家把]把四棱柱看成長方了，實(shí)際上，長方體是底面為長方形的直四棱柱，本題中的底面為行邊形ABCD—BC不是長方體是說在BCCB111111上的射影不是CC。1對癥下]正一ABCD—BCD為四棱柱，∴⊥，DD⊥，DD為11111111AD與的垂線段，=2∴與BD的離為；11111（）BD=BC=1CD=，BCD為等腰直角三角形為CD的點(diǎn)，∴BE⊥，又ABCD—BCD為直四棱柱，BE⊥CDD，BE⊥EF，eq\o\ac(△,Rt)中FDE=90°，111111FD=，4

22

，EF=，eq\o\ac(△,Rt)CE中CCE=90°,EC=,CC=AA=2,∴=,11111在eq\o\ac(△,Rt)FC中∠C°DF=，C=111111

2

，∴FC

8116

∴=EF+EC，∴⊥11EC，⊥面BEC∴⊥BC11

1（）圖10-24過E作，過作⊥BF于M連接EM易證得EO⊥面BDF，∴EMO為二在角——D的平面角，∵DBC=90⊥，∥BC，又為CD中∴

12

在△BDF中eq\o\ac(△,，)△∴OM=

12

在eq\o\ac(△,Rt)中tan∠

17

,∴EMO=arctan

17

,∴二面角——的大小為

.(1)同解一；(2)由知可得°DD⊥平面ABCD以1

DA

、

、

分別為軸y,軸的正方向，建立空間坐標(biāo)系（0，（4

1,,02

（，，011411221122（，，

EF

=

11()224

AD

=（，0，）EFAD

1)EFAD22

又BC，∴EF⊥。111(3)可得平面BDF的一個(gè)法向量為

AD,AD

=（，，0（，，111BEEF,,)22

，設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為由⊥n

11xxz222

,令x=1,得y=-1,z=-4,∴平面的個(gè)向量為=

nADnAD|

26

求面角E——的小為

26

.專會棱柱、棱錐、球是幾何中的重要載體，學(xué)習(xí)中除了牢固掌握有關(guān)概念、性質(zhì)、面積體積公式之外，還要靈活運(yùn)用有關(guān)知識進(jìn)行位置益壽延年斷與論證，進(jìn)而達(dá)到計(jì)算的目的，在計(jì)算時(shí)要注意把某些平面圖形分離現(xiàn)來運(yùn)用平面幾何的知識來進(jìn)行計(jì)算是體幾何中計(jì)算問題的重要方法和技巧?？妓加?xùn)1如，四面體的棱長為PQ分別為ABCD上點(diǎn)，且AP=CQ=λ，求出正四面體側(cè)面上從P到的小距離。答案：解析：由對稱性知，在側(cè)面上從PQ只需考慮兩種情形，即從P到經(jīng)棱AC或經(jīng)過棱AD.①當(dāng)經(jīng)過棱AC時(shí)，圖1沿AD把側(cè)展開，λ，AP//CQ.∴四形APCQ為平行四邊形，E是PQ的點(diǎn)，PQ=2PE在APE中∠PAE=60°，AP=λ，1弦定理，有PE=∴PQ=

，由余②當(dāng)經(jīng)過棱

AD

時(shí)，如圖2，沿AC

展開，此時(shí)PQ=1，又∵λ

1時(shí),當(dāng)時(shí)2

∴的最小值為

1

4

2如斜三棱柱—BC中為AB的點(diǎn)面BC平ABBA，11111111異面直線BC與AB互垂直。11（）證：⊥面ACD11答案：取AB中點(diǎn)D，連結(jié)BD、CD可證明CD⊥面ABBA，而CD1111111111111C1111又由垂線定理可得AB⊥BD，CD//C，∴CD⊥AB，AC//BD，∴C⊥AB，⊥面ACD.（）CC與平面ABBA的離1，C=，，求三棱錐A—ACD的積。答案：由（）C1D1⊥平面ABB1A1∴⊥面ABBA，∵平面ABBA，∴到面ABBA的離為CD.為AD的高∴CD=1,在eq\o\ac(△,Rt)ACD中，AC=

,

∴D=

6.

設(shè)交AD、DB于點(diǎn)E、F.∵D//DB，AD=DB，∴AE=EF，理EF=FB，∴AE=

1533

A

AAE5,V

1ACDAD333如所，正三棱柱ABC—BC的棱長為2，面邊長為1M是的點(diǎn)，111在直線CC上一點(diǎn)N，使MN。11答案：解析：ABCBC為正棱柱MBC中點(diǎn)∴⊥BC，又側(cè)面BCCB⊥面ABC，∴⊥面BCCB∴AB在面BCC上射影為BM要MN⊥AB，只MN⊥即.如圖所示建立直角坐標(biāo)系，M（1111,0),B設(shè)Ny),(,y)得y.在C一個(gè)等分點(diǎn)處.28）探開題測預(yù)角1利三線理二角平角1如10-28正三棱術(shù)ABC—BC的所有棱長均相等D是上點(diǎn)，⊥D1111（）二面角C—的大?。?（），直線B與面ADC的距離11解題思路求面角的大小，一般先利用三垂線定理作二面角的平面角，再通過解三角形得出結(jié)果面有兩個(gè)平面要分析過哪個(gè)半平面內(nèi)有一點(diǎn)能方便地作出另外一個(gè)半平面的垂線，一般利用“有兩個(gè)面垂直，在一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線，則這條線垂直另外一個(gè)面”這個(gè)性質(zhì)來作。本題中可以先證平面ADC⊥面BCCB，過111作CD的垂線，則這條線與平面ADC垂直，再利用三垂線定理出平面角，第）問可11求B到平面ADC的距離。1解答（）圖ABC—BC為三柱CC⊥，⊥，⊥面11111B。平面ADC⊥平面BCCB。C作⊥D于，CE平面，E11111116101101作⊥，連接，由三垂線定理知CFE為二面角C——的面角。設(shè)AB=a，11D是BC的點(diǎn)CE=

CCCD5ACCC2aaCD1

在eq\o\ac(△,Rt)中，∠,5∴二面角C——的小為arcsin1

105(1)連AC∩=O接DOBDOAB∥面ADCB到面ADC1111111

1的距離等于B到ADC的離B作BHCC的長線于H1面ADC111

1⊥平面BCCB得⊥平面BH為B到的離BH=EC=111125線AB與面的離為115

2

5.55

∴直2

如圖10-30，ABCD中，⊥面ABCD，、、分是AB、的點(diǎn)，（）證：直∥平面PMC；求證：直線⊥直線AB；若平面PDC與平面ABCD所的二面角（銳角）θ，束確θ使線是異面直線AB與PC的公垂線，若能確定，求θ的；若不確定，說明理由。解題思路證面平行，先證線線平行，證線線垂直，通過線面垂直轉(zhuǎn)換，這是一般的解題思路，用這種解題思路證1，第（）問先作（或找）出這個(gè)二面角的平面角，再通過解方程的方法求θ的。解答（）如圖，ABCD為矩形、分別為AB、的點(diǎn)，AM

//

，四邊形ARCM為平行四邊形，AR∥，∥面。由已知可得⊥AB⊥平面，AB，又為△的中位線，∥，AB平面MNR，AB⊥。∵⊥平面ABCDADDC∴∠PDA為面PDC與平面ABCD所成的二面角（銳角）的平面角，∴θ=∠。（）MN⊥，ABCD，⊥，MN⊥，∴⊥面PCD，∴MN⊥，∴°，在eq\o\ac(△,Rt)中設(shè)AD=a，PD=在eq\o\ac(△,Rt)中

a

，PD=2

2cos

NR12MRaNRM,得2cos24

能使直線是異面直線AB、的垂線。預(yù)測角度2求點(diǎn)到面的距離1．如圖，⊥面，邊形是矩形E、分是AB、的點(diǎn)。求證：平面；若二面角P—CD—為45°，AD=2，。求二面角P——的??；求點(diǎn)F到面PCE的離。解題思路過作一個(gè)平面與平面相，證明AF與線平行，由于EF為點(diǎn)，所以取PC的中點(diǎn)即可；分別作出P——和—A的面角，求點(diǎn)F到面PCE171151324324B111a0110143411151324324B111a011014341的距離可用直接法，也可以用間接解法。解答（）圖，取PC的中點(diǎn)M，連接ME、MF，∵∥，F(xiàn)M=CD，AE∥，2AE=CDAE∥且AE=MF四形是平行四邊形∥EM2∵

平面CPEAF∥面。（）⊥平面AC，AD，根據(jù)三垂線定理知CD⊥，∠PDA是二面角P—B的面角，則PDA=45°，于是△為腰直角三角形，過A作CE的線交CE的延長線于，接PG根據(jù)三垂線定理知∠為面角—EC—的大小為.3解一：AF⊥，AFCD，∴⊥面PCD，EM，∴EM平面PCD，又EM

平面∴面PEC⊥平面在面內(nèi)作⊥于H則為點(diǎn)F到面PCE的距離，由已知PD=2

2

，PD=2

2

，

，知

32417

，∴F到平面的離為。17解法二：由EM∥，點(diǎn)F到面PCE的離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面PCE的距離，過點(diǎn)A在面PAG內(nèi)⊥，AN為點(diǎn)到平面的距離，可算得AN=。172．如圖，棱長為a的正方體ABCD—BD中，、F分為AB和BC的1111中點(diǎn)，與BD相于。（）二面角B—B的?。?（）在棱BB上找一點(diǎn)M，使M⊥面B1EF，并證明你的結(jié)論；11（）D到面BEF的離。11解題思路面——的面角為B面DDBB⊥面B，11111∴過D作DNB并長交于M利用平面幾何的識判斷M的置（1111問即求N。1解答（）已知∥，ABCD—BC為正方體，⊥面B，EF111111⊥平面BDDBB為面角B——的面角eq\o\ac(△,Rt)中B=a111111

24

a,∴∠BH

2.

∴∠BHB=arctan2即二面角B——的大小為arctan.(2)由1）EF⊥平面B，平面B⊥平面B，過D作NBH，垂足11111111為，長N交BB于M，得，M⊥平面B，圖，建立坐標(biāo)系，則D（，1111D（1

324

a,0

),設(shè)Ma,y）由D⊥得y,∴為BB的點(diǎn)。2（）（）N為D到直線BH的距離，由點(diǎn)到直線的距離可=N=a，∴到11111面BEF的離為a3182232∴二面角A——的大小為2222232∴二面角A——的大小為222預(yù)角3折問1．如圖，BCD內(nèi)于直角梯形AD，知三把eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BD、1231△BC△ACD翻折上去，恰好使AA、重于A23123求證：⊥；若D=10A=8，二角A——的小。112解題思路這一個(gè)折疊問題，解這一類題的關(guān)鍵是分析折疊前后不變的量，不變的位置關(guān)系，利用這些不變來解題，第）問可證⊥面，⊥平面，用三垂線定理可作出二面角——的面角。解答（）如圖10-36，平面圖形中A⊥ADAB⊥知立體圖形中ABAC1112⊥，AB平面，ABCD（）作AE⊥CD于，接BE，⊥平面，∴AEB=θ為面ACD—B的平面角，在平面圖形中AB=4AD=A，過作DD⊥A，eq\o\ac(△,Rt)121312331中可得D=6∴A=16。C=A，312323

64217

。在立體圖形中

ACD

8(217217

1,sinACD1717在eq\o\ac(△,Rt)AEC中，·∠,在eq\o\ac(△,Rt)中，θ∠17AEB=

AB1717,arctanAE882．如圖，知中，AD=BC，∥，，3，6，沿將折成一個(gè)二面角—BD—，得AB⊥。（Ⅰ）求二面角A—BD—的?。唬á颍┣笳酆簏c(diǎn)A到BCD的距離。解題思路先平面圖形的性質(zhì)研究清楚，在立體圖形中將垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以得出結(jié)果。解答（）平面圖形中

+BD

=AB，⊥，⊥，立體圖形中，如圖10-38，作⊥面BCD于H，連、，交CD于。AD⊥得∠為二面角——的平面角?！摺停唷虲D，在eq\o\ac(△,Rt)中DE=DB112CE22D//BC,DH3,在RtADH,DCCB2AD3∠°∴二面角——的大小為60°（）（）知AH=ADsinADH=2

332考高解綜訓(xùn)1在斜三柱—BC的面中，∠°且⊥，C1作⊥底面111，則在（）A．直線AC上19ABC，正四面體123123．θ+ABC，正四面體123123．θ+θ≤12D解：如圖，過A作AA．直線AB上．直線BC上．△的內(nèi)部答案：B解：連AC，AC⊥AC⊥BC且∩AB=B，AC⊥面ABC，又AC∴一定交線AB上2正四面內(nèi)任意一點(diǎn)到各面的距離和為一個(gè)常量，這人常量是（）．正四面體的一條棱長．正四面體后條斜高的長．正四面體的高．以上結(jié)論都不對

平面答案：C解：正四面體的四面都全等，設(shè)其面積都為，四面體的高為h，并設(shè)正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的離分別為、、h、h,則V

=

13

1(h)shh.33設(shè)是三棱錐—底面ABC的中心，過的平面與P—的條棱或其延長線的交點(diǎn)分別記為Q、、，則和式

11PRPS

滿足（）．有最大值而無最小值．有最小值而無最大值．既有最大值又有最小值，最大值不等于最小值．是一具與平面RS位無關(guān)的常量。答案：D解：如圖，四面體可以分為O為式共頂點(diǎn)，分別eq\o\ac(△,以)PQR、△PRS、△PQS為底的三個(gè)三棱錐由知可設(shè)QPR=∠RPS=∠又是P-ABC底eq\o\ac(△,面)的中心，O點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離相等，設(shè)為d,則V=V+V+V=

16

11PQPRaPQa6

設(shè)PA與平面PBC所成的角為,是VPQRS=VQ-PRS=

1sinPRPQ為量d4直線AB與直二面角α——β的兩個(gè)地平面分別相交于、B兩點(diǎn)，且、線AB與α、β所成的角分別是θ和θ，則θθ（）122

l，果A．0<θθ<π12

．θ+=12

2C．θ+θ>12答案：

22⊥于A，B作BB⊥于B，連結(jié)ABAB，則由⊥β,可得AA⊥β，BB⊥a,得∠BAA=θ1，在Rt△AAB

中,cos∠20ABA=111121122，截面賀圓的面積等πABA=111121122，截面賀圓的面積等π）=（R）1181ABB在tABB,sinBABAB

又ABB

,又為銳,0

25已知P為二面角α——β內(nèi)點(diǎn)且P到α、β及棱l的離之比為：2：，此二面角的大小____________.答案°解過P作PA⊥

PB⊥PA確的平面與l交則l⊥面PAB，∴⊥PC,∠∠為α-l-β的面角，分別算出∠PCA、PCB，二面角的大小為75°6球面上三點(diǎn)A、、，每兩點(diǎn)間的球面距離都等于R，中R為的半徑，則A、2B、三的截面圓的面積等___________.答案：3

解析：由已知∠AOB=∠AOC=∠∠,∴AB=AC=BC=R，ABC外接圓2的半徑為

662R337如圖，正四棱錐S—中，是BC的點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動，并且總有⊥。（）明SB⊥；答案∵S-ABCD為四棱錐為的中心SO⊥平面ABCDOB為SB在ABCD上的射影，∵⊥，∴⊥（）出動點(diǎn)P的軌跡，并證明你的結(jié)論；答案：如圖NG分為SC、DC的點(diǎn)，則的軌為△的中位線GN證明：設(shè)H為CD的點(diǎn)，則GH∥，GH⊥平面ABCDGN，在下底央上的射出影為NE，∵ABCD為正形，∴NEAC，由三垂線定理知PEAC.（）軌跡上動點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三棱錐—的大體積為V，正四棱錐—ABCD的1體積為，V：等于多少？1答案：△的積為定值，當(dāng)P在G時(shí)，三棱錐P-CDE的體積最大，此時(shí)PH=SO，2又

eq\o\ac(△,S)

：

ABCD

=1：4，∴三棱錐P-CDE的大體積是四棱錐體積V的，V：11V=1：8如圖，三棱柱ABC—BC底邊長為a，側(cè)棱長為111

22

a

，是A1C1的點(diǎn)。（）證BC∥平面B；11答案：如圖，連結(jié)AB交AB于E則E為AB的中點(diǎn)，又為C的中，DE∥又

面ABD，∴∥平ABD.（）證：平D⊥平面AACC；11答案：∵eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC為正三角形D為AC點(diǎn)，BD⊥AC，又ABC-A為正棱柱，B2112112eq\o\ac(△,S)ABCD1]所求二面角的范圍是[AE61212112eq\o\ac(△,S)ABCD1]所求二面角的范圍是[AE612⊥平面CCA，又BD平AB⊥平面AACC（）二角A——的小。11答案：過A作AF⊥AD于F，由2）知AF平面ABD，過F作FG⊥AB于G，據(jù)三垂線定理AG⊥∴AGF為二角A-AB-D的平角在eq\o\ac(△,RT)D中F=

AAAB

,在eq\o\ac(△,RT)AFG中，sin∠GF=

A2A

∠GF=45°二面角A-AB-D為45.9菱形的AB=5，對角線，BD折得四面ABCD，已知四面體積不小于8，求二面角——的值范圍。答案：解：如圖：設(shè)BD的點(diǎn)，連結(jié)、CO則AO=OC=BD，⊥∴∠θ為面角A-BO-C的平角.

AB

且AO⊥=∠·4=8sinθ,V=S23

θ依題意16sinθ8，θ≥又0<θπ∴2

5,666

].10已△中，∠°，BC=CD=1，⊥面，∠ADB=60°、F分是AC上動點(diǎn)，且AD如圖。

（λ<1（）證：不λ為值，恒有平面BE