概率論第五章

第五章多維隨機(jī)變量在實(shí)際問題中,一些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果往往同時(shí)需要兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來(lái)描述.要研究這些隨機(jī)變量之間的關(guān)系,就應(yīng)同時(shí)考慮若干個(gè)隨機(jī)變量，即多維隨機(jī)變量及其取值規(guī)律。本章主要討論多維隨機(jī)變量的分布及其性質(zhì).本章內(nèi)容§5.1二維隨機(jī)變量的概念()§5.2邊緣分布、條件分布()

§5.3隨機(jī)變量的獨(dú)立性()

小結(jié)課程要求習(xí)題選講本章測(cè)驗(yàn)§5.4數(shù)字特征()§5.5二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布()

§5.6中心極限定理簡(jiǎn)介()

第一節(jié)二維隨機(jī)變量的概念5.1.1二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布5.1.2聯(lián)合分布函數(shù)5.1.3二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度多維隨機(jī)變量舉例:2、考察某地區(qū)學(xué)齡前童的身體發(fā)育情況：X：表示該地區(qū)學(xué)齡前兒童的身高；Y：表示該地區(qū)學(xué)齡前兒童的體重；則（X，Y）就是一個(gè)二維隨機(jī)變量。1、對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊：X：表示彈著點(diǎn)與目標(biāo)的水平距離；Y：表示彈著點(diǎn)與目標(biāo)的垂直距離；則（X，Y）就是一個(gè)二維隨機(jī)變量。3、考察某地區(qū)的氣候狀況：X：表示該地區(qū)的溫度；Y：表示該地區(qū)的濕度；則（X，Y）就是一個(gè)二維隨機(jī)變量。4、考察某鋼廠鋼材的質(zhì)量：X：表示該鋼廠鋼材的硬度；Y：表示該鋼廠鋼材的含碳量；則（X，Y，Z）就是一個(gè)三維隨機(jī)變量。Z：表示該鋼廠鋼材的含硫量；對(duì)于多維隨機(jī)變量[如二維(X,Y)]，其性質(zhì)不僅與X及Y有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.因此,逐個(gè)地來(lái)研究X或Y的性質(zhì)是不夠的,還需將(X,Y)作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行研究.1、二維離散型隨機(jī)變量的定義如果二維隨機(jī)變量的所有可能取的值是有限對(duì)或可列無(wú)限對(duì),則稱是離散型隨機(jī)變量.若及的全部不同的可能取值分別為則的全部可能取值為:2、二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布5.1.1二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布稱概率函數(shù)為二維離散型隨機(jī)變量的(聯(lián)合)概率分布(律).或列表為(概率分布也稱為聯(lián)合分布列)稱概率函數(shù)為二維離散型隨機(jī)變量的(聯(lián)合)概率分布(律).或列表為(概率分布也稱為聯(lián)合分布列)(1)(2)3、概率分布的性質(zhì)例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)與二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.解:由古典概率公式,有其中且依上式可得的聯(lián)合概率分布列如下:由已知條件，二維隨機(jī)變量所有可能的取值為：例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)與二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.解:01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101且例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)與二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101其中邊緣分布律解:例2設(shè)A,B為隨機(jī)事件,且令求:(I)二維隨機(jī)變量的概率分布;(II)X與Y的相關(guān)系數(shù).(2004)(I)易見的可能取值為:相應(yīng)概率分別為于是的概率分布為例2設(shè)A,B為隨機(jī)事件,且令求:(I)二維隨機(jī)變量的概率分布;(II)X與Y的相關(guān)系數(shù).(2004)5.1.2聯(lián)合分布函數(shù)1、聯(lián)合分布函數(shù)的定義稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)(或稱聯(lián)合分布函數(shù)).設(shè)是二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)的值就是隨機(jī)點(diǎn)落在2、幾何意義區(qū)域D內(nèi)的概率。性質(zhì)1對(duì)任意的有性質(zhì)2且有是變量x和y的單調(diào)非降函數(shù);3、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)如圖：對(duì)顯然有于是我們得到考慮隨機(jī)變量落在矩形區(qū)域D的概率，其中容易得到性質(zhì)3對(duì)任意的且總有性質(zhì)4對(duì)任意的x(或y)都是右連續(xù)的,即對(duì)任意的均有4、二維離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為則有進(jìn)行的。這個(gè)求和式是對(duì)滿足及的一切下標(biāo)i和j解:由分布函數(shù)的性質(zhì)得同理由(1),(2),(3)解得(1)(2)(3)例3已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為試確定常數(shù)A,B,C的值。并求概率由(1),(2),(3)解得于是從而例3已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為試確定常數(shù)A,B,C的值。并求概率5.1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度1、聯(lián)合概率密度的定義對(duì)于二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，如果存在一個(gè)二元非負(fù)值函數(shù)使得對(duì)任意有則稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量.稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù).（簡(jiǎn)稱聯(lián)合密度函數(shù)或聯(lián)合密度）記為在空間直角坐標(biāo)系中,表示一曲面,此曲面稱為分布曲面.2、聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)（1）（2）具有性質(zhì)(1),(2)的二元函數(shù)f(x,y),必是某個(gè)注意到以及可得注:二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。分布曲面與xoy面所夾部分的體積為1.（3）設(shè)D為xoy平面內(nèi)任一區(qū)域,則有（4）在的連續(xù)點(diǎn)處，有以R為底,以分布曲面為頂?shù)那斨w的體積.P121：圖5-2由兩邊同時(shí)對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù)(假定偏導(dǎo)數(shù)存在).得幾何意義:例如，特別地例4已知二維隨機(jī)變量的密度為（書例2）試確定k的值，并求落在區(qū)域D的概率。其中解:由密度函數(shù)的性質(zhì)又記從而xyO11RxyO11R從而于是D例4已知二維隨機(jī)變量的密度為（書例2）試確定k的值，并求落在區(qū)域D的概率。其中例5(2003數(shù)一)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為則解1xyO13、幾種重要的二維連續(xù)型隨機(jī)變量（1）二維均勻分布如果的聯(lián)合密度函數(shù)為其中D是平面上某個(gè)區(qū)域。則稱二維隨機(jī)變量服從區(qū)域D上的均勻分布。表示區(qū)域D的面積.隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)的可能性都相同。3、幾種重要的二維連續(xù)型隨機(jī)變量（1）二維均勻分布如果的聯(lián)合密度函數(shù)為對(duì)于事件注1:若則有幾何概率公式落在區(qū)域的概率與的位置無(wú)關(guān),與的面積成正比.上式說(shuō)明:對(duì)均勻分布,隨機(jī)點(diǎn)隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)的可能性都相同。3、幾種重要的二維連續(xù)型隨機(jī)變量（1）二維均勻分布如果的聯(lián)合密度函數(shù)為對(duì)于事件注2:如圖:有（2）二維正態(tài)分布如果的聯(lián)合密度函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布.記為特別地,當(dāng)時(shí),（2）二維正態(tài)分布如果的聯(lián)合密度函數(shù)為特別地,當(dāng)時(shí),更進(jìn)一步,若還有則此時(shí),聯(lián)合密度函數(shù)為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的乘積.與習(xí)題5.3、5.5

第二節(jié)邊緣分布、條件分布5.2.1邊緣分布的概念5.2.2條件分布續(xù)例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)及二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101求隨機(jī)變量(或)的分布列.解:5.2邊緣分布、條件分布01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101即續(xù)例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)及二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.求隨機(jī)變量(或)的分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101同理續(xù)例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)及二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.求隨機(jī)變量(或)的分布列.1、邊緣分布的定義則稱隨機(jī)變量或的概率分布為它的邊緣分布。一般地，對(duì)于二維隨機(jī)變量,若已知其聯(lián)合分布，2、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布列設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布為則隨機(jī)變量的邊緣概率分布律為同理隨機(jī)變量的邊緣概率分布律為3、邊緣分布函數(shù)若二隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，則稱隨機(jī)變量或的分布函數(shù)或?yàn)榈耐碛羞吘壏植己瘮?shù)。由分布函數(shù)的定義，有問題：已知的聯(lián)合分布函數(shù),如何求邊緣分布？例3已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為試確定常數(shù)A,B,C的值。并求（1）概率（2）求邊緣分布Fξ(x),Fη(y)解（2）邊緣分布Fξ(x)因?yàn)閺亩碛杏忠驗(yàn)楣释斫o出聯(lián)合密度函數(shù)時(shí)，邊緣密度函數(shù)的計(jì)算例1（書例4）已知二維隨機(jī)變量的密度為分別求出及的邊緣概率密度。解：（1）當(dāng)時(shí)，有（2）當(dāng)時(shí)，有故xyO11R根據(jù)公式同理,由根據(jù)公式（1）當(dāng)時(shí)，有（2）當(dāng)時(shí)，有故例1（書例4）已知二維隨機(jī)變量的密度為分別求出及的邊緣概率密度。xyO11RR例2設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為求:(I)的邊緣概率密度(II)的概率密度(2005)y=2x解如圖:當(dāng)時(shí),當(dāng)或時(shí),從而(1)先求當(dāng)時(shí),當(dāng)或時(shí),從而(2)下面求例2設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為求:(I)的邊緣概率密度(II)的概率密度(2005)Ry=2x例3設(shè)二維隨機(jī)變量（書例5）試求及的邊緣概率密度.解:的聯(lián)合密度函數(shù)為于是,由公式將被積函數(shù)的指數(shù)可變形為記則例3設(shè)二維隨機(jī)變量試求及的邊緣概率密度.解:的聯(lián)合密度函數(shù)為于是則例3設(shè)二維隨機(jī)變量試求及的邊緣概率密度.例3設(shè)二維隨機(jī)變量試求及的邊緣概率密度.解:的聯(lián)合密度函數(shù)為于是令則例3設(shè)二維隨機(jī)變量（書例5）試求及的邊緣概率密度.注意到從而類似有例3設(shè)二維隨機(jī)變量（書例5）試求及的邊緣概率密度.結(jié)論:則若例3設(shè)二維隨機(jī)變量（書例5）試求及的邊緣概率密度.5.2.1條件分布1、條件分布的定義對(duì)二維隨機(jī)變量,在一個(gè)隨機(jī)變量取固定值的條件下,另一隨機(jī)變量的概率分布,稱為條件概率分布(簡(jiǎn)稱2、二維離散型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為則關(guān)于的邊緣分布律為關(guān)于的邊緣分布律為條件分布)若，則由條件概率的定義知稱之為在條件下的條件分布律。類似地，當(dāng)時(shí)，在條件下的條件分布律為續(xù)例1已知10件產(chǎn)品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽出4件,求其中一等品件數(shù)及二等品件數(shù)的聯(lián)合分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101求隨機(jī)變量(或)的分布列.(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.解:(1)所求概率分布律為于是同理01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.解:(1)所求概率分布律為01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件產(chǎn)品中有2件二等品,求一等品件數(shù)的概率分布.(2)已知抽取的4件產(chǎn)品中有1件一等品,求二等品件數(shù)的概率分布.解:(2)所求概率分布律為3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，由于對(duì)任一特定值x或y，均有及，故對(duì)二維連續(xù)型隨機(jī)變量，不能直接套用條件概率來(lái)定義條件概率分布。下面我們利用極限來(lái)定義二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布：設(shè)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為,邊緣密度在條件下,連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布函數(shù)定義為:若連續(xù),則對(duì)使的點(diǎn)

,(利用積分中值定理)條件分布函數(shù)記為即對(duì)使的點(diǎn)

,在條件下,連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布函數(shù)為:條件概率密度函數(shù)為在條件下,條件概率密度函數(shù)為連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布函數(shù)為:同理,對(duì)使的點(diǎn)

,例4已知二維隨機(jī)變量的密度為（書例8）試求及解：由例1知于是，對(duì)有試求及解：由例1知對(duì)有類似地,例4已知二維隨機(jī)變量的密度為（書例8）試求及例5設(shè)二維隨機(jī)變量（書例9）試求解:由及(見例3)有=容易看出,此條件分布仍是正態(tài)分布:類似可以得到也是正態(tài)分布:二元正態(tài)分布的條件分布仍是正態(tài)分布.例5設(shè)二維隨機(jī)變量（書例9）試求的條件例6設(shè)X在區(qū)間上服從均勻分布，在(5-12)(2)Y的概率密度；(3)概率(1)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度；下，隨機(jī)變量Y在區(qū)間服從均勻分布，求解：（1）隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為在的條件下，Y的條件概率密度函數(shù)為當(dāng)時(shí)，X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為在其它點(diǎn)處，有(2004)從而（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，因此的條件例6設(shè)X在區(qū)間上服從均勻分布，在(2)Y的概率密度；(3)概率(1)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度；下，隨機(jī)變量Y在區(qū)間服從均勻分布，求(2004)從而（3）的條件例6設(shè)X在區(qū)間上服從均勻分布，在(2)Y的概率密度；(3)概率(1)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度；下，隨機(jī)變量Y在區(qū)間服從均勻分布，求(2004)作業(yè)5-85-11由二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布可求出隨機(jī)變量問題:若隨機(jī)變量和的概率分布已知,是否可求出二維和的邊緣分布.例?隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布?問題：在什么條件下，邊緣分布可完全決定聯(lián)合分布？第三節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性1、事件的相互獨(dú)立性事件A與B相互獨(dú)立2、二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量,若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有則稱隨機(jī)變量與是(相互)獨(dú)立的.3、離散型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件4、連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件與相互獨(dú)立(2)實(shí)際使用時(shí)往往從直觀上去判斷隨機(jī)變量的獨(dú)立性.(1)判斷隨機(jī)變量的獨(dú)立性一般有兩種方法:B:由問題的性質(zhì)從直觀上去判斷.A:由定義判斷,是否滿足公式;6、隨機(jī)變量獨(dú)立性的判斷5、二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件與相互獨(dú)立7推廣:n個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性如果對(duì)任意實(shí)數(shù)總成立則稱n個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立.(1)定義或其中為的聯(lián)合分布函數(shù),為隨機(jī)變量的分布函數(shù).n個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)(2)n個(gè)離散型隨機(jī)變量相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)(3)例3已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為試確定常數(shù)A,B,C的值。并求（1）概率（2）求邊緣分布Fξ(x),Fη(y)解（2）邊緣分布Fξ(x)（3）問隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立？與是(相互)獨(dú)立的.解（3）的概率分布為例2設(shè)A,B為隨機(jī)事件,且令求:(I)二維隨機(jī)變量的概率分布;(2004)(2)求邊緣分布律;10/122/129/123/12邊緣分布律;X，Y非獨(dú)立（3）問離散型隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立？例1已知二維隨機(jī)變量的密度為分別求出及的邊緣概率密度。解：xyO11R問隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立？ξ，η非獨(dú)立例設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布為0100.410.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立,求(2005)解:由隨機(jī)事件與相互獨(dú)立,有由得:又所以由解得例2設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式例2設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。解：利用下列公式即得。例3設(shè)二維隨機(jī)變量（書例10）試證與相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng).解:的聯(lián)合密度函數(shù)為若則顯然有從而與相互獨(dú)立.5-17，5-22第四節(jié)數(shù)字特征5.4.1數(shù)學(xué)期望5.4.2二維隨機(jī)變量的協(xié)方差一、二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、離散型設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為5.4.1數(shù)學(xué)期望則有2、連續(xù)型設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則有即有同理二、二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1、離散型設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為記則有2、連續(xù)型設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則有記三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理1兩個(gè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于它們各自數(shù)學(xué)期望即之和。證明設(shè)(1)離散型設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為則有(2)連續(xù)型設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則有證畢.推論對(duì)任意常數(shù)有推廣對(duì)任意n個(gè)隨機(jī)變量及個(gè)常數(shù)有定理2兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望，等于它們各自數(shù)學(xué)期望之積。即證明(1)離散型有已知與獨(dú)立,于是設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為定理2兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望，等于它們各自數(shù)學(xué)期望之積。即證明（就連續(xù)型證明）設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則有已知與獨(dú)立,于是證畢。一、方差1、離散型設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為則有同理有5.4.2二維隨機(jī)變量的協(xié)方差2、連續(xù)型設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為則有同理有1.問題的提出協(xié)方差記Cov(

,

).二、

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)

２、協(xié)方差的定義的數(shù)字特征.的數(shù)學(xué)期望為與的協(xié)方差。記為即2、簡(jiǎn)單性質(zhì)稱函數(shù)對(duì)給定的二維隨機(jī)變量，對(duì)于二維隨機(jī)變量,我們不僅關(guān)心隨機(jī)變量和也關(guān)心反映隨機(jī)變量與之間關(guān)系的數(shù)字特征.反映隨機(jī)變量之間關(guān)系的數(shù)字特征主要有協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。定義2定理3對(duì)給定的二維隨機(jī)變量，成立（1）若獨(dú)立，則有（2）證明若獨(dú)立，則(1)(2)有即對(duì)任意常數(shù)a，有證畢。３、相關(guān)系數(shù)的定義隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)（簡(jiǎn)記為r)定義為或記為標(biāo)準(zhǔn)尺度下的協(xié)方差（1）若獨(dú)立，則（2）定理4對(duì)給定的二維隨機(jī)變量，r為的相關(guān)系數(shù)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)間有嚴(yán)格線性關(guān)系時(shí)則成立證明若獨(dú)立，則有從而(1)達(dá)到.即當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得（1）若獨(dú)立，則（2）定理4對(duì)給定的二維隨機(jī)變量，r為的相關(guān)系數(shù)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)間有嚴(yán)格線性關(guān)系時(shí)則成立證明(2)有即證畢。也就是等號(hào)成立,當(dāng)且僅當(dāng)即存在常數(shù)a,b,使得達(dá)到.即當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得（1）若獨(dú)立，則（2）定理4對(duì)給定的二維隨機(jī)變量，r為的相關(guān)系數(shù)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)間有嚴(yán)格線性關(guān)系時(shí)則成立達(dá)到.即當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得由定理4(1)知,若獨(dú)立，則相關(guān)系數(shù)問題1:若相關(guān)系數(shù)則是否相互獨(dú)立?由定理4(2)知,問題2:這里的a=?,b=?.當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得例11設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布,設(shè)（書例13）討論隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)及獨(dú)立性.解隨機(jī)變量的密度函數(shù)為于是例11設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布,設(shè)（書例13）討論隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)及獨(dú)立性.從而有而由知與不獨(dú)立.解隨機(jī)變量的密度函數(shù)為若獨(dú)立，則有反之,時(shí),不一定獨(dú)立.上例說(shuō)明:與有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，（1）若獨(dú)立，則（2）定理4對(duì)給定的二維隨機(jī)變量，r為的相關(guān)系數(shù)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)間有嚴(yán)格線性關(guān)系時(shí)則成立達(dá)到.即當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得由定理4(1)知,若獨(dú)立，則相關(guān)系數(shù)問題1:若相關(guān)系數(shù)則是否相互獨(dú)立?由定理4(2)知,問題2:這里的a=?,b=?.當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,使得若獨(dú)立，則有反之,時(shí),不一定獨(dú)立.４.相關(guān)系數(shù)的意義不相關(guān)若相關(guān)系數(shù)則稱不相關(guān).不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系:相互獨(dú)立不相關(guān)5、二維正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù):從而相關(guān)系數(shù)于是其聯(lián)合密度函數(shù)為解例則相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)由5.3節(jié)例10，知于是，我們又有則相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)不相關(guān)．獨(dú)立一定不相關(guān),不相關(guān)不一定獨(dú)立.通過(guò)以上討論,我們得到如下結(jié)論:但如果服從二維正態(tài)分布,則相互獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)．三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（續(xù)）定理5若是二維隨機(jī)變量，則（1）（2）推論2若是兩兩獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有推論1若隨機(jī)變量,則有相互獨(dú)立(不相關(guān))三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（續(xù)）定理5若是二維隨機(jī)變量，則（1）（2）證明(1)由協(xié)方差定義,有(2)由方差定義,有移項(xiàng)即得.證畢.四.協(xié)方差的性質(zhì)（續(xù)）

（自證）解例2（5-27）(1)不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系小結(jié)相互獨(dú)立不相關(guān)(2)不相關(guān)的充要條件例12設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為(書例14)試求數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)r,并求．解例12設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為（書例14）試求數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)r,并求．例12設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為（書例14）試求數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)r,并求．完例12設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為（書例14）試求數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)r,并求．5-25，5-27第五節(jié)二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布5.5.1和的分布5.5.2商的分布5.5.1和的分布一、離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為考慮的分布律.若相互獨(dú)立,則有此時(shí)于是例1概率解等價(jià)于概率例2設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律.得因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以解可得所以例13已知相互獨(dú)立，分別服從參數(shù)為及的泊松分布，（書例16）試求的分布律。即解即服從參數(shù)為的泊松分布。由有結(jié)論:若相互獨(dú)立,且推廣二、連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求的密度函數(shù).思路:先求分布函數(shù),再求密度函數(shù).從而由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系得下面考慮特殊情形:由分布函數(shù)的定義,有即有若進(jìn)一步有相互獨(dú)立,令下面考慮特殊情形:此時(shí)卷積:

稱為函數(shù)與的卷積或摺積.記為即卷積性質(zhì):獨(dú)立隨機(jī)變量之和的概率密度是各概率密度的卷積,即結(jié)論:(類似可得到)例14已知獨(dú)立且同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即（書例17）試求的分布律。解依公式,有即有由已知結(jié)論:若且相互獨(dú)立,則進(jìn)一步推廣:推廣:若且相互獨(dú)立,則則例15已知相互獨(dú)立，均服從正態(tài)分布又（書例18）其中a,b是常數(shù).(1)求的相關(guān)系數(shù);(2)問是否相關(guān),是否獨(dú)立;(3)當(dāng)獨(dú)立時(shí),求的聯(lián)合密度函數(shù).解(1)由已知,有于