流體力學(xué)課件3

定義：任一時(shí)刻，若流場(chǎng)中各點(diǎn)的流體速度都平行于某一固定平面，并且流場(chǎng)中個(gè)物理量在此平面的垂直方向上沒(méi)有變化，則表示這種流動(dòng)為平面流動(dòng)，或稱(chēng)平面問(wèn)題。數(shù)學(xué)表示：若流體運(yùn)動(dòng)的平面為oxy平面，oz軸垂直于該平面，則對(duì)于平面流動(dòng)則要求任一物理量f應(yīng)滿(mǎn)足：且w=0

在實(shí)際問(wèn)題與自然現(xiàn)象中，并不存在嚴(yán)格的平面流動(dòng)，但是當(dāng)流動(dòng)的物理量在某一方向（例z軸方向）的變化相對(duì)于其他方向上的變化為小量，而且此方向上的速度近似等于零時(shí)，則就可以簡(jiǎn)化為平面流動(dòng)問(wèn)題。推廣應(yīng)用：在某一方向求平均，把三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題。C.H.4平面問(wèn)題

4.1流函數(shù)的定義及其性質(zhì)

1.流函數(shù)的定義據(jù)數(shù)學(xué)分子中平面曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的性質(zhì)可知，如果有P（x，y）和Q（x，y）兩個(gè)函數(shù)，而且P、Q及均在閉區(qū)域及其邊界上是單值連續(xù)的；若對(duì)于所有x，y，下等式成立：則必存在一個(gè)由如下線(xiàn)積分定義的函數(shù)F（x，y）該積分與路徑無(wú)關(guān)，而且有如下關(guān)系：流體力學(xué)中，不可壓流體的平面連續(xù)方程為：便可定義一個(gè)函數(shù)稱(chēng)為流函數(shù)，在上述線(xiàn)積分時(shí)，t作為參數(shù)。

極坐標(biāo)下的不可壓連續(xù)方程可定義流函數(shù)為：定義流函數(shù)條件：二維、不可壓，與粘性、定常、無(wú)旋等無(wú)關(guān)。

2.流函數(shù)的一些性質(zhì)1）可以差一任意常數(shù)，而不影響流體運(yùn)動(dòng)；2）等流函數(shù)線(xiàn)為流線(xiàn)不同的常數(shù)，便可得到不同的流線(xiàn);反映的是流線(xiàn)族，故稱(chēng)為流函數(shù)。3）兩點(diǎn)流函數(shù)值之差等于過(guò)此兩點(diǎn)連線(xiàn)的單位厚度曲面流量

4)與的關(guān)系5）對(duì)于不可壓平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，等速度勢(shì)線(xiàn)與等流函數(shù)線(xiàn)正交xByAdxdydl

4.2.復(fù)勢(shì)與復(fù)速度

1.復(fù)勢(shì)與復(fù)速度的定義

復(fù)勢(shì):對(duì)于不可壓流體的平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，存在速度勢(shì)與流函數(shù)，且有與均是調(diào)和函數(shù)。定義一個(gè)z的解析函數(shù)W(z)W(z)與不可壓、平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)一一對(duì)應(yīng)。復(fù)速度：定義復(fù)速度——復(fù)勢(shì)的導(dǎo)數(shù)：

復(fù)速度的共軛為：

復(fù)速度的模就是速度的絕對(duì)值

2.復(fù)勢(shì)的幾個(gè)性質(zhì)

1）W(z)可以差一任意常數(shù)而不影響流運(yùn)動(dòng)；

2)3)實(shí)部：速度環(huán)流；虛部：流量4)在無(wú)源無(wú)匯的單連通區(qū)域內(nèi)，W(z)是單值函數(shù)。4.3基本流動(dòng)及組合原理

W(z)與不可壓、平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)一一對(duì)應(yīng)；對(duì)流場(chǎng)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)W(z)的研究。因?yàn)槿粢阎猈(z),流場(chǎng)的特性均可知道。先介紹具有基本意義的解析函數(shù)以及它們所對(duì)應(yīng)的基本流動(dòng)，然后據(jù)解析函數(shù)的可疊加性，將某些基本的解析函數(shù)進(jìn)行疊加得到新的解析函數(shù)來(lái)研究較復(fù)雜一些的流動(dòng)。

1.基本流動(dòng)

1)均勻流動(dòng)W表示的是沿x軸的均勻流動(dòng)，流速為U。因?yàn)椋核运俣葎?shì)與流函數(shù)分別為：

流線(xiàn)：即平行于軸的直線(xiàn)。xyo

2)點(diǎn)渦旋設(shè)渦旋只在一點(diǎn)存在，除此以外流體均是無(wú)旋的，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)作為點(diǎn)渦旋運(yùn)動(dòng)。若點(diǎn)渦在原點(diǎn)，則復(fù)勢(shì)為：若點(diǎn)渦在，則復(fù)勢(shì)為：其中是點(diǎn)渦的強(qiáng)度由復(fù)勢(shì)可得到與為：則流動(dòng)沿逆時(shí)針?lè)较?/p>

則流動(dòng)沿順時(shí)針?lè)较?/p>

3)源與匯m為源或匯的強(qiáng)度用極坐標(biāo)的形式表示速度勢(shì)與流函數(shù)分別為：

速度分量為：

速度方向與同向，這時(shí)流體沿一族射線(xiàn)（流線(xiàn)）從不斷向外流出，似乎源泉一樣，所以這種流動(dòng)成為點(diǎn)源。速度方向與反向，即向園心，這時(shí)流體沿流線(xiàn)流向一點(diǎn)，這種流動(dòng)稱(chēng)作點(diǎn)匯。

4)任意拐角繞流流線(xiàn)：

等勢(shì)線(xiàn)：零流線(xiàn)：即平行于x軸的直線(xiàn)，均勻流流線(xiàn)：

雙曲線(xiàn)，零流線(xiàn):x=0,y=0速度：

無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為奇點(diǎn):

原點(diǎn)為駐點(diǎn):零流線(xiàn):N=1N=2N=32.基本流動(dòng)的疊加任意兩個(gè)或兩個(gè)以上解析函數(shù)的線(xiàn)性疊加（組合）仍然是解析函數(shù)，所以?xún)蓚€(gè)或兩個(gè)以上復(fù)勢(shì)的線(xiàn)性組合仍能代表某一流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)，于是，可以利用簡(jiǎn)單的基本流動(dòng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)木€(xiàn)性組合來(lái)描述較復(fù)雜一些的流動(dòng)1）偶極子定義：兩個(gè)強(qiáng)度同樣很大而又無(wú)限接近的源和匯構(gòu)成的流場(chǎng)成為偶，或偶極子。設(shè)源在原點(diǎn)，匯在處，則其復(fù)勢(shì)為：如果zo在x軸上，則

流線(xiàn)：等勢(shì)線(xiàn):速度：

2）圓柱繞流在偶極子的基礎(chǔ)上，再疊加一個(gè)沿x軸的均勻流，這時(shí)流場(chǎng)復(fù)勢(shì)應(yīng)為：流線(xiàn)

零流線(xiàn)

若以零流線(xiàn)作為邊界，便可得繞過(guò)半徑為得圓柱體的均勻繞流;若柱體的半徑用a表示，即

園柱面上，

可見(jiàn)，在繞圓柱流動(dòng)中，沿圓柱體表面流體只有切向速度而無(wú)經(jīng)向速度。稱(chēng)A,B點(diǎn)為駐點(diǎn)；

最大

ABCD4.4平面壁鏡像與圓定理1.平面壁鏡緣

1）y=0的平面壁緣（對(duì)稱(chēng)于軸）若在的域中存在若干源、匯、偶極子或其它奇點(diǎn)，其復(fù)勢(shì)為f(z)，則在流場(chǎng)中插入y=0的平面壁后，在的域中，復(fù)勢(shì)變?yōu)椋浩渲惺菍?duì)f(z)中除z以外的復(fù)數(shù)取共軛。例設(shè)在z0處有一強(qiáng)度為m的點(diǎn)源，求地面(取x軸)對(duì)它影響。解已知不考慮地面時(shí)，點(diǎn)源的復(fù)勢(shì)為：考慮地面后，據(jù)上面的公式可知復(fù)勢(shì)應(yīng)變?yōu)椋嚎紤]地面后的復(fù)勢(shì)相當(dāng)于在的共軛點(diǎn)上z0放置了一同等強(qiáng)度的點(diǎn)源。2)X=0的平面壁像（對(duì)稱(chēng)于y軸）若在的域中存在若干源、匯、偶極子或其它奇點(diǎn)，其復(fù)勢(shì)為f(z)，則在流場(chǎng)中插入x=0的平面壁后，在的域中，復(fù)勢(shì)變?yōu)椋菏街斜硎緦?duì)f(z)中除z以外的復(fù)數(shù)取共軛，并以-z代替z。例設(shè)在z0處有一強(qiáng)度為m的點(diǎn)源，求放入壁面x=0后流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)。解已知插入壁面x=0以前的復(fù)勢(shì)為：插入壁面后的復(fù)勢(shì)變?yōu)椋?.園柱面的鏡像-園定理若f(z)為沒(méi)有園柱邊界時(shí)流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)，而且在中f(z)沒(méi)有奇點(diǎn)，則在此流場(chǎng)中插入的不動(dòng)園柱后，在園柱外的復(fù)勢(shì)為：式中表示對(duì)f(z)中除z以外各復(fù)數(shù)值取共軛，并以取代z。例在均勻流場(chǎng)中，于處加上一園柱，求該園柱影響后的流場(chǎng)。解已知均勻流復(fù)勢(shì)為：據(jù)園定理，園柱影響后的復(fù)勢(shì)為：aoyx

例在園柱外x=b處()有一強(qiáng)度為m的源，求考慮園柱后的復(fù)勢(shì)。

解已知強(qiáng)度為m的源的復(fù)勢(shì)為：據(jù)園定理，園柱影響后的復(fù)勢(shì)為：abyx4.5保角變換方法

對(duì)于理想不可壓平面無(wú)旋流動(dòng)的問(wèn)題，可歸結(jié)為尋求滿(mǎn)足邊界條件能反映流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)。對(duì)于較簡(jiǎn)單的邊界，用前面介紹的方法便可求得復(fù)勢(shì)，但當(dāng)邊界較復(fù)雜時(shí)，尋求復(fù)勢(shì)較困難，再簡(jiǎn)單介紹一個(gè)利用復(fù)變函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)工具即通過(guò)保角變換求復(fù)勢(shì)的方法?；舅枷耄海?）通過(guò)一個(gè)解析變換，,把實(shí)際平面上較復(fù)雜的物面邊界變成輔助平面上較簡(jiǎn)單形狀的邊界，即把復(fù)雜的不易求得的流場(chǎng)變成簡(jiǎn)單的易確定的流場(chǎng)。（2）確定實(shí)際平面及輔助平面上的對(duì)應(yīng)關(guān)系（3）在輔助平面上，復(fù)勢(shì)比較容易確定;于是利用上面的關(guān)系就可確定z平面上的W(z).

該方法的關(guān)鍵在于導(dǎo)求適當(dāng)?shù)慕馕鲎儞Q，將復(fù)雜的物面形狀變成簡(jiǎn)單的物面形狀。下面我們先介紹一個(gè)最有名的變換。

可證明，該變化是把平面上中心在圓點(diǎn)半徑為的圓變成z平面上的橢圓，其中長(zhǎng)、半軸分別為a、b。則上式的反演（取正號(hào)，使橢圓內(nèi)變成圓內(nèi)，橢圓外變成圓外）就是把z平面上的半軸分別為a與b的橢圓外部區(qū)域變成平面上半徑為的圓的外部區(qū)域1、茹柯夫斯基變換2、橢圓柱繞流

在z平面上有一以勻速U，方向與x軸同方向的均勻流繞橢圓柱的流場(chǎng)，求其復(fù)勢(shì)。

(1)首先通過(guò)茹柯夫斯基變換，把z平面上半軸分別為a與b的橢圓外部區(qū)域變成平面上的半徑為的圓外部區(qū)域，即：(2)確定在平面上的復(fù)勢(shì)

因?yàn)樵谄矫嫔鲜蔷鶆蛄骼@圓柱的流動(dòng)，故其復(fù)勢(shì)可寫(xiě)成：利用變換關(guān)系

,代入上式，便可得在z平面上均勻流繞橢圓柱的復(fù)勢(shì)：所以，均勻流繞橢園柱的復(fù)勢(shì)可寫(xiě)成：

4.6定常流場(chǎng)中的物體受力

作用在物體上力和合力矩的計(jì)算。先求物體表面上的速度分布，然后據(jù)伯努力積分求出物體表面的壓力分布。本節(jié)介紹的Blasius-恰普雷金公式給我們提供了一個(gè)據(jù)已知的柱外部平面的復(fù)勢(shì)W（z）來(lái)求作用在這一任意形狀柱體上的力和力矩。

勃拉休斯-恰普雷金公式假定：理想流體、不可壓縮、平面定常運(yùn)動(dòng)、無(wú)旋、不考慮質(zhì)量力，流體無(wú)分離地繞過(guò)不動(dòng)物體，物體上受到的合力及合力矩可表示為：知道復(fù)勢(shì)