數學建模第一次講座

數學建模簡介MathematicalModeling嚴培勝湖北經濟學院統(tǒng)計與應用數學系

主要內容一、數學建模的定義二、數學建模的方法三、數學建模的步驟四、數學模型的分類五、怎么樣學習數學建模六、數學建模論文寫法七、全國數學建模競賽介紹玩具、照片、飛機、火箭模型…~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機…~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖…~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征從現實對象到數學模型一、數學建模的定義你碰到過的數學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米.甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數學模型的基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常數）；用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；求解得到數學解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米）。

數學建模示例一

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數學上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是連續(xù)函數對任意,f(),g()至少一個為0數學問題已知：f(),g()是連續(xù)函數;

對任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗造的證明方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數,據連續(xù)函數的基本性質,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質與非本質考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定數學模型(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling)對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學建模背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長例二如何預報人口的增長指數增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數規(guī)律無限增長指數增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數據吻合適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預測不符合19世紀后多數地區(qū)人口增長規(guī)律不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數量）r是x的減函數dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數r或r,xm利用統(tǒng)計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數據后重新估計模型參數Logistic模型在經濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0二、數學建模的基本方法機理分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數據的統(tǒng)計分析，找出與數據擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數三、數學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數學的語言、符號描述問題發(fā)揮想象力使用類比法盡量采用簡單的數學工具模型求解各種數學方法、軟件（Matlab,Excel,SPSS，Lingo）和計算機技術如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數據的穩(wěn)定性分析(靈敏度分析)模型分析模型檢驗與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用數學建模的全過程現實對象的信息數學模型現實對象的解答數學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題選擇適當的數學方法求得數學模型的解答將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現實對象的信息檢驗得到的解答實踐現實世界數學世界理論實踐四、數學模型的分類應用領域人口、交通、經濟、生態(tài)、…數學方法初等數學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、…表現特性描述、優(yōu)化、預報、決策、…建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)五、怎樣學習數學建模數學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則想象力洞察力判斷力學習、分析、評價、改進別人作過的模型親自動手，認真作幾個實際題目六、怎樣撰寫數學建模的論文1、題目。簡短精練、高度概括、準確得體、恰如其分2、作者。注明地址（郵編）

3、3、摘要。摘要應包括以下內容：所研究的問題、建立的模型、求解模型的方法、獲得的基本結果以及對模型的檢驗或推廣。需要概括、簡練的語言反映這些內容，尤其是突出論文的優(yōu)點，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推廣等。4、主要變量及其符號和計量單位說明5、問題分析與重述。不要抄原題，應把握住問題的實質，再用較精練的語言敘述問題。6、模型假設7、分析與建立模型8、模型求解9、模型檢驗10、模型評價與推廣11、參考文獻。作者文獻名地址出版社時間12、附錄1992年由中國工業(yè)與應用數學學會(CSIAM)組織第一次競賽1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次(9月)七、全國大學生數學建模競賽http://全國高校規(guī)模最大的課外科技活動數學建模競賽(MathematicalContestinModeling)簡介內容賽題：工程技術、管理科學中經過簡化的實際問題答卷：一篇包含模型假設、建立、求解、計算方法設計和計算機實現、結果分析和檢驗、模型改進等方面的論文形式3名大學生組隊，在3天內完成的通訊比賽可使用任何“死”材料（圖書、計算機、軟件、互聯網等），但不得與隊外任何人討論宗旨創(chuàng)新意識團隊精神重在參與公平競爭標準假設的合理性，建模的創(chuàng)造性，結果的正確性，表述的清晰程度年A題B題C題D題2000DNA序列分類鋼管訂購和運輸飛越北極空洞探測2001血管的三維重建公交車調度基金使用計劃公交車調度2002車燈線光源的優(yōu)化設計彩票中的數學車燈線光源的計算賽程安排2003SARS的傳播露天礦生產的車輛安排SARS的傳播搶渡長江2004奧運會臨時超市網點設計電力市場的輸電阻塞管理飲酒駕車公務員招聘全國大學生數學建模競賽近11年的題目（本科隊從A,B題中選一題，?？脐爮腃,D題中選一題

2005長江水質的評價和預測DVD在線租賃雨量預報方法的評價

DVD在線租賃

2006出版社的資源配置艾滋病療法的評價及療效的預測易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計

煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制

2007人口預測問題乘公交，看奧運易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計

體能測試時間安排

2008

數碼相機定位

高等教育學費標準探討

地面搜索

NBA賽程的分析與評價2009制動器試驗臺的控制方法分析

眼科病床的合理安排

衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控

會議籌備2010儲油罐的變位識別與罐容表標定

2010年上海世博會影響力的定量評估

輸油管的布置

對學生宿舍設計方案的評價

美國大學生數學建模競賽(MCM)1985年開始舉辦，每年一次(2月)；現稱“國際競賽”1996年起，復旦、中國科大、華東理工、清華、浙大、國防科大、北大、東南大學、東華大學先后榮獲最高獎http:///undergraduate/contests參考書

“數學模型與數學建?！?，劉來福等編

“數學模型”(第二版)，任善強等編“數學建模”,徐全智等編“數學建模與數學實驗”，趙靜但琦編姜啟源謝金星葉俊編“數學模型通常，1公斤面，1公斤