第07講 不等式若含參數(shù) 轉化與化歸相依 講義-高考數(shù)學二輪復習經(jīng)典微專題

第07講不等式若含參數(shù)，轉化與化歸相依一、攻關方略高中數(shù)學中解不等式部分包括解一元二次不等式、可分解因式的高次不等式與分式不等式、含絕對值符號的不等式、無理不等式、指數(shù)對數(shù)不等式，每一類不等式的求解過程都有其本身特有的規(guī)律可循，關鍵是不等式的同解變形，如果上述不等式中還含有參數(shù)，則解題難度肯定會增大，技巧性也會加強.本講重點探討含參數(shù)不等式的解法以及已知含參數(shù)不等式成立的條件，求參數(shù)的范圍.對參數(shù)的分類討論是解答含參數(shù)不等式的最為重要、最為核心的思想方法，當然，分類要全面，要做到不重不漏，含有參數(shù)的不等式恒成立問題的討論和求解，途徑之一是轉化為函數(shù)，結合函數(shù)的圖像，正確運用函數(shù)的性質(zhì)再一次轉化為不等式組求解，有時候需轉化為多個不等式組，運算量較大；途徑之二是運用參變分離法.通常解答含參數(shù)數(shù)學問題總是把注意力集中在主變元上，思考探求參變元的取值或其范圍，這種思考當然是可以的，正如上面所言，有時解題過程會非常煩瑣.若注意考查命題的求解趨勢，依從條件與結論的內(nèi)在聯(lián)系變換思考方向，視其參變元為主元進行研究、推導，也能找到解決問題的途徑，有時還能獲得問題的妙思巧解，這就是“反客為主”分離參數(shù)的方法，參變分離法就是把所求參變量與其他變量分離開來，通過研究其他變量構成的解析式的性質(zhì)來確定所求參變量的范圍.參變分離的過程實質(zhì)是把原問題化歸為另一領域的數(shù)學問題，通常是一個全新的、容易操作的問題.這一解法具有思路清晰、有章可循、解法簡潔的特點，且又帶有創(chuàng)造性.真可謂：不等式若含參數(shù)，可考慮參變分離.函數(shù)方程融一體，轉化與化歸相依.二、例題展示例1求使恒成立的的最小值.解題策略本例解題實質(zhì)是給定條件求參數(shù)的最值，所求的最值蘊含于恒成立的不等式中，因而利用不等式的有關性質(zhì)把呈現(xiàn)出來，等價轉化與化歸是解決題目的突破口.策略一對所給不等式平方變形結合均值不等式，通過比較確定的最小值,策略二由題設條件構造函數(shù)，由均值不等式求函數(shù)最值，進而確定的最小值,策略三通過對題設不等式變形，運用三角換元法求解.解法一：由于的值為正數(shù),將已知不等式兩邊平方,得,即,=1\*GB3①∵=2\*GB3②當且僅當時,=2\*GB3②式中等號成立,比較=1\*GB3①式,可得的最小值滿足.即（∵），∴的最小值為.解法二設.∵，，∴，當且僅當時等號成立，∴.的最大值是1,從而可知,的最大值為.又由已知得，∴的最小值為.解法三∵,,∴原不等式可化為,設,,∴,即.∴=3\*GB3③又∵的最大值為(此時),故由=3\*GB3③式可知的最小值為.例2設,若時均有,求的值.解題策略本例是含參數(shù)不等式在恒成立，求參數(shù)的值，難點有兩個，所給不等式是高次的(好在已分解成兩個因式之積)，變量是受范圍限定的，但是如果解題方向對頭，困難總是可以解決的.策略一直接把所給不等式變?yōu)榈葍r的兩種不等式組，通過參變分離，構造函數(shù)，用研究函數(shù)的最值確定的值，策略二：變更主元,解關于的不等式得,通過求的最大值、的最小值確定的值.策略三視為主元，得到一種更妙的解法，思路與策略二相似.策略四：把不等式問題轉化為函數(shù),通過研究兩函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定的值.策略五通過討論高次不等式的解結合方程的根求的值(注意不等式中的“＝”).策略六轉化為直線介于兩函數(shù)與圖像之間.策略七轉化為直線介于兩函數(shù)與圖像之間.策略八轉化為關于的二次不等式，利用特殊值確定的值.策略九直接利用特殊值法求解.解法一不等式等價于如下兩種情況：(i),(ii)對于（i）,有.這時,對,有.易知,函數(shù)在上為增函數(shù),在區(qū)間右端點取到最大值,函數(shù)在上為減函數(shù),在區(qū)間右端點取到最小值.有,得.對于(ii),有這時,對,有.易知,函數(shù)在上為?函數(shù),在區(qū)間左端點取到最大值,函數(shù)在上為增函數(shù),在區(qū)間左端點取到最小值,有,得,合并兩種情況,求并集得.又當時,對均有∴為所求.解法二變更主元.將已知不等式變形為關于的不等式,對有，比較與的大小知,當時,有;當時,有，當時,解關于的不等式,得,有,得，當時,解關于的不等式,得.有,得，∴.又當時,對均有.∴為所求.解法三視為主元,原不等式變形為,,比較與的大小知,當時,有;當時,有.當時,解關于的不等式,得.即.有,得.當時,解關于的不等式,得.即.有,得，又當時,對均有.∴為所求.解法四令,則兩函數(shù)圖像都經(jīng)過同一點.當時,對一切有,需不等式在時恒成立,而二次函數(shù)的圖像開口向上,顯然在時不能恒成立,即不成立.(ii)當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增.且在時,在時.故只需在時,,在時,,∵二次函數(shù)的對稱軸方程為,函數(shù)圖像開口向上,且過點,∴只需,即,整理得,故舍去.解法五由題意分析可得,則方程有兩個異號的實數(shù)根,不妨設、是方程的兩個異號根,且,,則原不等式可轉化為對一切恒成立,∴,將其代入方程,得,整理得,故舍去).解法六對,已知條件可以變形為關于的不等式,即直線介于兩函數(shù)與的圖像之間(如圖所示),故直線過兩圖像與的交點,得.解法七視為主元,原不等式變形為，.這表明介于與之間,即在右半平面上.直線介于兩函數(shù)與的圖像之間(如圖7-2所示).故直線過兩圖像與的交點,代入,得.解法八將原不等式看成關于的二次不等式.即，當時,;當時,.∴當時,,故.解法九由題意知時不等式成立.即,∴,故.又當,時,有.∴.例3已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù),若關于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.解題策略本例是含參數(shù)不等式恒成立問題,可以有如下幾種思考.策略一運用換元法轉化為函數(shù)圖像的討論，則分類與整合的思想必不可少.

策略二：采用參變分離，結合換元法，解題過程則顯得簡捷明快.策略三：參變分離后，換元的方法并非上述一種,采用不同的換元法可以感受不同的解題過程.解法一由題意得在上恒成立.令,即在上恒成立,設(1)當時,在上不恒成立,故.（2）當時,易知.函數(shù)的對稱軸,當,即時,若在,上恒成立,則只需,解得;當,即時,若在,上恒成立,則只需,此時恒成立.綜上,,即實數(shù)的取值范圍是.解法二由條件知在上恒成立.令,則，∴對任意成立,，∴.當且僅當,即時等號成立.因此,實數(shù)的取值范圍是.解