中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)

中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)之一《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》希臘幾何的演繹精神，隨著希臘文明的衰微而在整個中世紀(jì)的歐洲湮沒不彰。數(shù)學(xué)史上繼希臘幾何興盛時期之后是一個漫長的東方時期。除了埃及外，河谷地區(qū)再次成為數(shù)學(xué)活躍的舞臺。中世紀(jì)（公元5-17世紀(jì)）數(shù)學(xué)的主角，是中國、印度與阿拉伯地區(qū)的數(shù)學(xué)。與希臘數(shù)學(xué)相比，中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué)表現(xiàn)出猛烈的算法精神，特殊是中國與印度數(shù)學(xué)，著重算法的概括，不講究命題的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。所謂“算法”，不只是單純的計算，而是為了解決一整類實際或科學(xué)問題而概括出來的、帶一般性的計算方法。算法傾向原來是古代河谷文明的傳統(tǒng)，但在中世紀(jì)卻有了質(zhì)的提高。這一時期中國與印度的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)建的大量結(jié)構(gòu)困難、應(yīng)用廣泛的算法，很難再僅僅被看作是簡潔的閱歷法則，它們是一種歸納思維實力的產(chǎn)物。這種實力與歐幾里得幾何的演繹風(fēng)格迥然不同卻又相輔相成。東方數(shù)學(xué)在文藝復(fù)興以前通過阿拉伯人傳播到歐洲，與希臘式的數(shù)學(xué)交匯結(jié)合，孕育了近代數(shù)學(xué)的誕生。本章介紹中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)史，分三次課。就旺盛時期而言，中國數(shù)學(xué)在上述三個地區(qū)是持續(xù)最長的。從公元前后至公元14世紀(jì)，先后閱歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時期、魏晉南北朝時期以及宋元時期，其中宋元時期達(dá)到了中國古典數(shù)學(xué)的頂峰。本小節(jié)介紹——1）先秦時期：中國古代數(shù)學(xué)的萌芽，2）漢唐時期：中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的形成（介紹《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》）數(shù)學(xué)是中國古代最為發(fā)達(dá)的學(xué)科之一，通常稱為“算術(shù)”即“算數(shù)之術(shù)”。也就是說，古代中國的術(shù)語“算術(shù)”相當(dāng)于英文單詞中的mathematics，而不是arithmetic，所探討的內(nèi)容大體上是今日數(shù)學(xué)教科書中的算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角等方面的內(nèi)容。注：arithmetic（名詞）1.

算術(shù)2.

計算3.

算術(shù)運算；四則運算后來，算術(shù)又稱為算學(xué)、算法，宋元時期起先運用“數(shù)學(xué)”一詞。此后算學(xué)、數(shù)學(xué)兩詞并用。1939年6月，經(jīng)中國數(shù)學(xué)名詞審查委員會確定用“數(shù)學(xué)”而不再用“算學(xué)”。一、先秦時期—中國古代數(shù)學(xué)的萌芽數(shù)學(xué)作為中國文化的重要組成部分，它的起源可以追溯到遙遠(yuǎn)的古代。依據(jù)古籍記載、考古發(fā)覺以及其他文字資料推想，至少在公元前3000年左右，在中華古老的土地上就有了數(shù)學(xué)的萌芽。一般認(rèn)為，這一時期的數(shù)學(xué)成就主要有以下幾點：◎結(jié)繩記事和規(guī)則的運用◎十進(jìn)位值制記數(shù)法、分?jǐn)?shù)的應(yīng)用及籌算◎精湛的幾何思想◎數(shù)學(xué)教化的起先結(jié)繩記事和規(guī)則的運用中國古代記數(shù)方法的起源是很早的。據(jù)《易·系辭傳》稱：“上古結(jié)繩而治。”《易·九家義》明確地說明白這種方法：“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡。”這種結(jié)繩記事的方法是很古老的。據(jù)《史記》記載：“伏羲始畫八卦，造書契，以代結(jié)繩之治。”這表明，在伏羲這一位中國神話中的人類始祖之前，結(jié)繩記事這種方法就已特殊流行，并且在他的的時代已起先用“八卦”和“書契”等方法來代替“結(jié)繩記事”了。注：書契，始指刻痕，后漸漸代以符號、文字。規(guī)則是中國傳統(tǒng)的幾何工具。至于它的用途，《周禮》、《荀子》、《淮南子》、《莊子》等古籍都有明確的記載：“圓者中規(guī)，方者中矩?！闭f明它們分別用于圓和方的問題。注：中(zhòng)，符合確定的標(biāo)準(zhǔn)。它們的起源也是很早的，據(jù)《史記》記載，夏禹在治水時就“左準(zhǔn)繩，右規(guī)則，載四時，以開九州，通九道”。漢武梁祠中有“伏羲手執(zhí)矩，女媧(wa)手執(zhí)規(guī)”的浮雕像，將這兩種工具的最早運用歸功于傳聞中的伏羲和女媧。規(guī)和矩的運用，對于后來幾何學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展有著重要的意義，中國傳統(tǒng)幾何學(xué)大部分內(nèi)容都是圍繞圓和勾股形綻開的，這與古代中國人擅長運用規(guī)和矩的關(guān)系是特殊親密的。十進(jìn)位值制記數(shù)法、分?jǐn)?shù)的應(yīng)用及籌算商代，甲骨文已發(fā)展成熟。河南安陽發(fā)掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古證明，中國當(dāng)時已接受了“十進(jìn)位值制記數(shù)法”，并有十、百、千、萬等專用的大數(shù)名稱。除了整數(shù)以外，中國古代對分?jǐn)?shù)概念的相識也很早，分?jǐn)?shù)的概念及其應(yīng)用，在《管子》、《墨子》(mo)、《商君書》、《考工記》等春秋戰(zhàn)國時代的書籍中都有明確的記載。到春秋戰(zhàn)國時代，算術(shù)四則運算已經(jīng)成熟。據(jù)漢代燕人韓嬰所撰的《韓詩外傳》介紹，標(biāo)記著乘除法運算法則成熟的“九九歌”在春秋時代已相當(dāng)普及?！秴问洗呵铩防锏囊粍t故事

在春秋戰(zhàn)國時代的齊國，齊桓公執(zhí)政的時候，有一個人熟背“九九歌”，便向齊桓公毛遂自薦，齊桓公問他：“莫非僅僅因為你精通九九之術(shù)，我便要重用你嗎？”這個人答道：“假如君王對我這樣一個僅會九九歌的人都能禮遇重用，還怕真正有才能的人不來為君主效力嗎？”齊桓公是否厚待此人不得而知，但這至少從一個側(cè)面說明白在當(dāng)時九九歌已被人們廣泛地應(yīng)用了。算籌是中國古代的計算工具?；I，籌算。從春秋戰(zhàn)國時期始終到元代末年，算籌在我國沿用了兩千多年。1983年陜西出土的西漢象牙算籌運籌帷幄《史記·太史公自序》：“運籌帷幄之中，制勝于無形，子房(張良，劉邦的謀臣)計謀其事，無知名，無勇功，圖難于易，為大于細(xì)?！薄妒酚洝ち艉钍兰摇?、《漢書·張良傳》：劉邦曾贊“運籌帷幄之中，決勝于千里之外，子房功也。”張良坐在軍帳中運用計謀，就能確定千里之外戰(zhàn)斗的成功。這說明張良心計多，善用腦，善用兵。后來人們就用“運籌帷幄”表示擅長策劃用兵，指揮斗爭?！胺菜阒?，先識其位。一(個)縱十橫，百立千僵。千十相望，百萬相當(dāng)?！?《孫子算經(jīng)》)用籌算表示數(shù)有縱橫兩種擺法：縱式用來表示個位、百位、萬位……，橫式用來表示十位、千位、十萬位……，犬牙交織，零則用空位。記數(shù)時與十進(jìn)位值制相協(xié)作，接受從左到右（或從上到下）縱橫相間的擺法。如6724表示為；如遇零時則空出一格，如76031，表示為。精湛的幾何思想戰(zhàn)國時期的諸子百家，理論數(shù)學(xué)的萌芽。《墨經(jīng)》記載了很多幾何概念，如“平，同高也”；“中，同長也”；“圓，一中同長也”；……這些都是中國古代學(xué)者試圖用形式邏輯的方法定義幾何概念的明證。在這部著作中甚至還涉及到有窮和無窮的概念，稱“或不容尺，有窮；莫不容尺，無窮也?！标P(guān)于此條，注家的說明眾說紛紜。一般認(rèn)為錢寶琮(cong.中國數(shù)學(xué)史探討的奠基人，校點《算經(jīng)十書》等)的說明最為精當(dāng)：“用尺來度量路程，假如量到前面只剩不到一尺的余地，那末，這路程是‘有窮’的。假如接著量前面總是長于一尺，那末，這路程是‘無窮’的”。名家——先秦時期以辯論名實問題為中心的一個思想派別,重視“名”(概念)和“實”(事)的關(guān)系的探討——以善辯著稱，對無窮的概念有著更深刻的相識?！肚f子》，惠施：“至大無外謂之大一，至小無內(nèi)謂之小一”?！耙怀咧ⅲ杖∑浒?，萬世不竭”；“飛鳥之影，未嘗動也；鏃矢之疾，而有不行不止時”；……這些可以說與古希臘的芝諾悖論具有異曲同工之妙，也是世界數(shù)學(xué)史早期最光輝的數(shù)學(xué)思想之一。春秋戰(zhàn)國時代的人們還對數(shù)的起源問題提出了一些看法，事實上數(shù)與物質(zhì)的關(guān)系是涉及到數(shù)學(xué)的一個重要哲學(xué)問題。《老子》：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”?！独献印分兴f的這種觀點與古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所提倡的數(shù)為萬物之源說，即把數(shù)看做是萬物的本源，從本質(zhì)上來說倒是一樣的。數(shù)學(xué)教化的起先我國的甲骨文中早就有了關(guān)于教化的記載。而記載周代教化制度的古老典籍《周禮·地官》中保氏一節(jié)稱：“保氏掌諫王惡(e)，而養(yǎng)國子以道。乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五御，五曰六書，六曰九數(shù)?！逼渲卸Y、樂、射、御為大藝，書、數(shù)為小藝，前者為高校所授，后者為小學(xué)所習(xí)。并稱：“六年教之?dāng)?shù)，十年學(xué)書記?！笨梢?，早在周代，國家就已把數(shù)學(xué)列為貴族子弟的必修課藝之一，從六歲或十歲就教數(shù)數(shù)及計算了。對數(shù)學(xué)教學(xué)如此重視，且以典籍的形式規(guī)定下來，這在世界上是罕見的。二、漢唐時期——中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的形成從漢代起先，中國的經(jīng)濟(jì)文化有了進(jìn)一步的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)的旺盛給科學(xué)的進(jìn)步供應(yīng)了物質(zhì)基礎(chǔ)，特殊是從秦代起先實施的文字和度量衡的統(tǒng)一，鐵器的運用以及大量興修水利工程和水陸交通的工程，為人們探究大自然的奇異增加了動力，數(shù)學(xué)也有了長足的發(fā)展，其主要標(biāo)記是以《九章算術(shù)》為代表的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的形成。《周髀算經(jīng)》和勾股定理《九章算術(shù)》劉徽的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)祖氏父子的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)《算經(jīng)十書》后三部分下次課講解并描述《周髀算經(jīng)》和勾股定理《漢書·藝文志》所記載的《杜忠算術(shù)》與《許商算術(shù)》或許是中國有記載可考的最早的數(shù)學(xué)著作，惋惜均已失傳。1984年，湖北江陵張家山出土了一部漢簡《算數(shù)書》，它也是中國目前所能見到的最早的數(shù)學(xué)專著。該書以問題集的體例編纂，全書共90題，包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運算，比例問題，面積與體積等，大部分內(nèi)容與《九章算術(shù)》相像?！吨荀滤憬?jīng)》和勾股定理比《九章算術(shù)》稍早且流傳下來的一部重要的著作是《周髀算經(jīng)》，該書原名《周髀》，大約成書于公元前2世紀(jì)的西漢時期，其很多內(nèi)容甚至可以追溯到西周。唐代李淳風(fēng)在為國子監(jiān)明算科選定教科書時將其列入《算經(jīng)十書》，并改名為《周髀算經(jīng)》。嚴(yán)格地講，《周髀算經(jīng)》并不是一本數(shù)學(xué)專著，而是一部介紹“蓋天說”宇宙模型的天文學(xué)著作，但它包含了相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其主要成就包括分?jǐn)?shù)運算、勾股定理及其在天文測量中的應(yīng)用。天圓地方“昔者周公問于商高曰：……古者包犧(即伏羲)立周天歷度，夫天不行階而升，地不行得尺寸而度，請問數(shù)安從出？商高曰：數(shù)之法，出于圓(圓周率三)方(四方)，方出于矩(正方形源自兩邊相等的矩)，矩出于九九八十一(長乘寬面積計算依自九九乘法表)。故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五?！视碇灾翁煜抡撸藬?shù)之所生也?！苯又?，在陳子與榮方的“師生對話”中，借陳子之口又給出了一般的勾股定理：“求邪至日者，以日下為勾，日高為股。勾股各自乘，并(和)而開方除之，得邪至日。”中國關(guān)于勾股定理的證明最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的。趙爽是中國歷史上首次對《周髀》進(jìn)行細(xì)致探討和注釋的學(xué)者。他的工作主要包括三個方面的內(nèi)容：一為文字說明；二為較具體地數(shù)學(xué)理論推演，三是補圖。其中最為精彩的是“勾股圓方圖注”。在這篇500多字的注文中，趙爽首先給出勾股定理的一般證明：“按弦圖又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘，為中黃實。加差實，亦成弦實?！闭f明：利用面積設(shè)直角三角形兩直角邊的邊長分別為a,b,斜邊長為c.《周髀算經(jīng)》中的文字：既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三、四、五。

宋刻《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》標(biāo)記著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論體系形成的是《九章算術(shù)》的成書。該書的作者和成書年頭難以精確地考證，多數(shù)學(xué)者認(rèn)為，它成書于西漢末東漢初，即公元1世紀(jì)初。中國的數(shù)學(xué)，經(jīng)過長期的積累，到西漢時已有很豐富的內(nèi)容，但這些內(nèi)容之間缺乏內(nèi)在的聯(lián)系，以前人們曾尋求以確定的方式建立某種聯(lián)系，例如墨家學(xué)派曾嘗試過用邏輯方法探討數(shù)學(xué)概念，但沒有成功?；蛟S正是這種緣由，確定了《九章算術(shù)》所特有的處理方式，并形成了中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)體系。宋刻《九章算術(shù)》書影《九章算術(shù)》全書接受問題集的形式。書中每道題皆有問有答有術(shù)，其中“術(shù)”通常是解題的思想方法、公式和法則，有的一題一術(shù)，有的多題一術(shù)，有的一題多術(shù)。全書共有246個應(yīng)用題，基本上都是與生產(chǎn)實踐、日常生活有聯(lián)系的實際應(yīng)用問題。這些問題分別隸屬于方田、粟(sù

)米、衰(cui

)分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。對于每類問題，《九章算術(shù)》中都給出了統(tǒng)一的解法，它們相當(dāng)于一些初等數(shù)學(xué)定理和公式，但沒有證明?！毒耪滤阈g(shù)》的主要內(nèi)容“方田”，主要論述了各種平面圖形的地畝面積算法及分?jǐn)?shù)的運算法則?！八诿住闭轮饕撌隽?0種糧食及其成品如稻、米、麥、面、飯等之間的兌換比率及四項比例算法?！敖裼行g(shù)”：所求數(shù)=（全部數(shù)×所求率）/全部率?！耙阎溑c米的比率是3：2，現(xiàn)有麥子60斤，問能兌換大米多少斤？”按公式，能兌換的大米的斤數(shù)為（60×2）/3=40（斤）。第三章“衰分”主要論述配分比例算法，其中問題多與商業(yè)、手工業(yè)及社會制度有關(guān)。第一問“五人分五鹿”。第四章“少廣”主要成就包括開平方、開立方的算法。第五章“商功”主要論述各種立體圖形的體積算法，其中包括柱、錐、臺、球體等，內(nèi)容涉及筑城、修堤、開渠、糧垛等施工方面的計算問題。第六章“均輸”章主要探討較為困難的配分比例問題。其中最引人注目的是“均輸術(shù)”。這是我國古代實行的“均輸制”在數(shù)學(xué)上的反映，主要解決按人口多少、路途遠(yuǎn)近、谷物貴賤等條件，平均繳納賦稅或攤派徭役等實際問題，這很類似于條件極值問題。第七章“盈不足”主要論述盈虧問題的解法。盈不足的典型問題是這樣的：若干人共買一物，若每人出a1錢，則多出b1錢；若每人出a2（a2＜a1）錢，則又不足b2錢，求人數(shù)與物價?！毒耪滤阈g(shù)》給出的方法相當(dāng)于公式：人數(shù)=物價=這一方法除了對于線性問題給出精確的解外，也為非線性問題供應(yīng)了一個有效的近似解法。第八章“方程”主要探討線性方程組的解法，其基本思想是消元。在解方程組時，將方程組的系數(shù)（包括常數(shù)）分別出來排成一個數(shù)表，相當(dāng)于現(xiàn)在線性代數(shù)中的增廣矩陣，然后通過“遍乘直除”（類似于矩陣初等變換的方法）消元，這一思想方法在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是特殊重要的，在西方被稱為“高斯消元法”。上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，共出糧三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出糧三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出糧二十六斗。問上中下等禾谷每捆出糧各多少？設(shè)上、中、下等禾谷每捆出糧分別為x,y,z斗，則有《九章算術(shù)》給出的表示方法相當(dāng)于下列矩陣123上禾232中禾311下禾263439實其解法相當(dāng)于下列圖示方法：“方程”章的另一個重點就是對負(fù)數(shù)的概念、運算進(jìn)行了探討。在解方程的過程中，由于無法回避被減數(shù)小于減數(shù)的狀況出現(xiàn)，在《九章算術(shù)》提出了“以正負(fù)術(shù)入之”，即引入負(fù)數(shù)及其運算法則：“正負(fù)術(shù)曰：同名相除，異名相益，正無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之?！薄罢?fù)術(shù)”第九章“勾股”主要探討有關(guān)勾股問題的解法，并論及簡潔的勾股測量。與歐幾里得《原本》中將代數(shù)問題幾何化做法相反，《九章算術(shù)》將幾何問題算術(shù)化和代數(shù)化?！敖裼幸胤讲恢笮?，各中開門。出北門二十步有木。出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木。問邑方幾何？”華師大版《數(shù)學(xué)》12.折竹抵地（源自《九章算術(shù)》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何?意即：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原長竹子處3尺遠(yuǎn)．問原處還有多高的竹子?人教社版《數(shù)學(xué)》人教社版《數(shù)學(xué)》北師大版《數(shù)學(xué)》《九章算術(shù)》之體積公式芻童體積公式芻童體積公式如將《九章算術(shù)》的主要內(nèi)容，按算術(shù)、代數(shù)和幾何三部分來概括，則有：1.算術(shù)部分：分?jǐn)?shù)，最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)，比例算法，盈虧問題；2.代數(shù)部分：開方和開立方，二次方程問題，多元一次方程組及其解法，正負(fù)數(shù)；3.幾何部分：面積計算，體積計算，勾股定理及其應(yīng)用?！毒耪滤阈g(shù)》《九章算術(shù)》留意實際問題和長于計算的特點，對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著極其深刻的影響，可以說，與西方數(shù)學(xué)的演繹推理相映生輝的具有中國特色的算法體系的形成即始于《九章算術(shù)》?！毒耪滤阈g(shù)》成書以后，便成為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的經(jīng)典，特殊是唐代以來，經(jīng)官方認(rèn)定該書成為“算經(jīng)十書”中最重要的一部，成為后來的數(shù)學(xué)家們學(xué)習(xí)、探討和著述的依據(jù)。把《九章算術(shù)》與《幾何原本》相比照，就可以發(fā)覺從形式到內(nèi)容都各有特色和所長，形成東、西方數(shù)學(xué)的不同風(fēng)格?！稁缀卧尽芬孕问竭壿嫹椒ò讶績?nèi)容貫穿起來，而《九章算術(shù)》則按問題的性質(zhì)和解法