河南省新鄉(xiāng)七中2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.要排出高三某班一天中,語文、數(shù)學(xué)、英語各節(jié),自習(xí)課節(jié)的功課表,其中上午節(jié),下午節(jié),若要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A. B. C. D.2.若、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.3.若,則,,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.4.等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.75.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對稱,則下述四個結(jié)論:①②③④點為函數(shù)的一個對稱中心其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④6.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B.2 C.4 D.37.已知直線:與圓:交于,兩點,與平行的直線與圓交于,兩點,且與的面積相等,給出下列直線:①,②,③,④.其中滿足條件的所有直線的編號有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④8.若點x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界),則A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-39.已知拋物線和點,直線與拋物線交于不同兩點,,直線與拋物線交于另一點.給出以下判斷:①直線與直線的斜率乘積為;②軸;③以為直徑的圓與拋物線準線相切.其中,所有正確判斷的序號是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③10.已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.11.在三棱錐中,,,,,點到底面的距離為2,則三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.12.設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)平面向量與的夾角為,且,,則的取值范圍為______.14.直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)__________.15.已知向量,若向量與共線,則________.16.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項積為,,(且),則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)已知點,直線與圓相交于、兩點,求的值.18.(12分)如圖,在正四棱柱中,,,過頂點,的平面與棱,分別交于,兩點(不在棱的端點處).(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)求證:與不垂直;(3)若平面與棱所在直線交于點,當四邊形為菱形時,求長.19.(12分)已知點為橢圓上任意一點,直線與圓交于,兩點,點為橢圓的左焦點.(1)求證:直線與橢圓相切;(2)判斷是否為定值,并說明理由.20.(12分)已知正項數(shù)列的前項和.(1)若數(shù)列為等比數(shù)列,求數(shù)列的公比的值;(2)設(shè)正項數(shù)列的前項和為,若,且.①求數(shù)列的通項公式;②求證:.21.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,點的極坐標為.(1)求的直角坐標方程和的直角坐標;(2)設(shè)與交于,兩點,線段的中點為,求.22.(10分)已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時,證明:對;(2)若函數(shù)在上存在極值,求實數(shù)的取值范圍。

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)題意,分兩種情況進行討論:①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午;②語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午,一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目,由分類加法計數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩種情況進行討論:①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午,要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰,將節(jié)語文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午,由于節(jié)英語課不加以區(qū)分,此時,排法種數(shù)為種;②語文和數(shù)學(xué)都一個安排在上午,一個安排在下午.語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午,一個安排在下午,但節(jié)語文課不加以區(qū)分,節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分,節(jié)英語課也不加以區(qū)分,此時,排法種數(shù)為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分類計數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.2.C【解析】

作出不等式組所表示的可行域,平移直線,找出直線在軸上的截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.由,得,平移直線,當直線經(jīng)過點時,該直線在軸上的截距最大,此時取最大值,即.故選:C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,考查線性目標函數(shù)的最值,一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】因為,所以,因為,,所以,.綜上;故選D.4.B【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為,則則故選:B【點睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出,再根據(jù)對稱性求出、,即可求出的解析式,從而驗證可得;【詳解】解:由題意可得,又∵和的圖象都關(guān)于對稱,∴,∴解得,即,又∵,∴,,∴,∴,,∴①③④正確,②錯誤.故選:B【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出,再由模的定義計算出模.【詳解】.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則,考查復(fù)數(shù)模的運算,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】

求出圓心到直線的距離為:,得出,根據(jù)條件得出到直線的距離或時滿足條件,即可得出答案.【詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線的距離或時滿足條件,根據(jù)點到直線距離可知,①②④滿足條件.故選:D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及點到直線的距離公式.8.D【解析】

畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域,y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)【詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)和定點P(2,-1)設(shè)k=y+1x-2,結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點A,B的坐標分別為A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D.【點睛】解答本題的關(guān)鍵有兩個:一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題,即把y+1x-29.B【解析】

由題意,可設(shè)直線的方程為,利用韋達定理判斷第一個結(jié)論;將代入拋物線的方程可得,,從而,,進而判斷第二個結(jié)論;設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準線的距離分別為,,的半徑為,點到準線的距離為,顯然,,三點不共線,進而判斷第三個結(jié)論.【詳解】解:由題意,可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點,的坐標分別為,,則,.所.則直線與直線的斜率乘積為.所以①正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,,根據(jù)拋物線的對稱性可知,,兩點關(guān)于軸對稱,所以直線軸.所以②正確.如圖,設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準線的距離分別為,,的半徑為,點到準線的距離為,顯然,,三點不共線,則.所以③不正確.故選:B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.10.D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式,從而得出的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,可得選項.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是,所以,即,所以,的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為,由于其圖象關(guān)于軸對稱,所以,又,所以,所以,所以,因為的遞增區(qū)間是:,,由,,得:,,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().故選:D.【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性,對稱性,單調(diào)性,圖象的平移,在進行圖象的平移時,注意自變量的系數(shù),屬于中檔題.11.C【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定,由此可知為三棱錐外接球的球心,在中,可以算出的一個表達式,在中,可以計算出的一個表達式,根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑,進而求出球的表面積.【詳解】取中點,由,可知:,為三棱錐外接球球心,過作平面,交平面于,連接交于,連接,,,,,,為的中點由球的性質(zhì)可知:平面,,且.設(shè),,,,在中,,即,解得:,三棱錐的外接球的半徑為:,三棱錐外接球的表面積為.故選:.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題,求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.12.D【解析】

利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點睛】本小題主要考查函數(shù)值的計算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)已知條件計算出,結(jié)合得出,利用基本不等式可得出的取值范圍,利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍,進而可得出的取值范圍.【詳解】,,,由得,,由基本不等式可得,,,,,因此,的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍,考查計算能力,屬于中等題.14.【解析】

根據(jù)切線的斜率為,利用導(dǎo)數(shù)列方程,由此求得切點的坐標,進而求得切線方程,通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】,則,所以切點為,故切線為,即,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問題,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

計算得到,根據(jù)向量平行計算得到答案.【詳解】由題意可得,因為與共線,所以有,即,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力.16.【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,進而求得,再利用對數(shù)運算求得的值.【詳解】由于,,所以,則,∴,,.故答案為:【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1):,:;(2)【解析】

(1)消去參數(shù)求得直線的普通方程,將兩邊同乘以,化簡求得圓的直角坐標方程.(2)求得直線的標準參數(shù)方程,代入圓的直角坐標方程,化簡后寫出韋達定理,根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)消去參數(shù),得直線的普通方程為,將兩邊同乘以得,,∴圓的直角坐標方程為;(2)經(jīng)檢驗點在直線上,可轉(zhuǎn)化為①,將①式代入圓的直角坐標方程為得,化簡得,設(shè)是方程的兩根,則,,∵,∴與同號,由的幾何意義得.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程,考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問題,屬于中檔題.18.(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).【解析】

(1)由平面與平面沒有交點,可得與不相交,又與共面,所以,同理可證,得證;(2)由四邊形是平行四邊形,且,則不可能是矩形,所以與不垂直;(3)先證,可得為的中點,從而得出是的中點,可得.【詳解】(1)依題意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面與平面平行,即兩個平面沒有交點,則與不相交,又與共面,所以,同理可證,所以四邊形是平行四邊形;(2)因為,兩點不在棱的端點處,所以,又四邊形是平行四邊形,,則不可能是矩形,所以與不垂直;(3)如圖,延長交的延長線于點,若四邊形為菱形,則,易證,所以,即為的中點,因此,且,所以是的中位線,則是的中點,所以.【點睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題,和線段長的求解問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力;解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,屬中檔題.19.(1)證明見解析;(2)是,理由見解析.【解析】

(1)根據(jù)判別式即可證明.(2)根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達定理即可證明,需要分類討論,【詳解】解:(1)當時直線方程為或,直線與橢圓相切.當時,由得,由題知,,即,所以.故直線與橢圓相切.(2)設(shè),,當時,,,,所以,即.當時,由得,則,,.因為.所以,即.故為定值.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查向量的運算,注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運用韋達定理,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.20.(1);(2)①;②詳見解析.【解析】

(1)依題意可表示,,相減得,由等比數(shù)列通項公式轉(zhuǎn)化為首項與公比,解得答案,并由其都是正項數(shù)列舍根;(2)①由題意可表示,,兩式相減得,由其都是正項并整理可得遞推關(guān)系,由等差數(shù)列的通項公式即可得答案;②由已知關(guān)系,表示并相減即可表示遞推關(guān)系,顯然當時,成立,當,時,表示,由分組求和與正項數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證.【詳解】解:(1)依題意可得,,兩式相減,得,所以,因為,所以,且,解得.(2)①因為,所以,兩式相減,得,即.因為,所以,即.而當時,,可得,故,所以對任意的正整數(shù)都成立,所以數(shù)列是等差數(shù)列,公差為1,首項為1,所以數(shù)列的通項公式為.②因為,所以,兩式相減,得,即,所以對任意的正整數(shù),都有.令,而當時,顯然成立,所以當,時,,所以,即,所以,得證.【點睛】本題考查由前n項和關(guān)系求等比數(shù)列公比,求等差數(shù)列通項公式,還考查了由分組求和表示數(shù)列和并由正項數(shù)列放縮證明不等式,屬于難題.21.(1),(2)【解析】

(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標方程,把點P的極坐標化成直角坐標;(2)把直線l的參數(shù)方程的標準形式代入曲線C的直角坐標方程,根據(jù)韋達定理以及參數(shù)t的幾何意義可得.【詳解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,將ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標方程為y2=1,設(shè)點P的直角坐標為(x,y),因為P的極坐標為(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以點P的直角坐標為(1,1).(2)將代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因為△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可設(shè)方程的兩根為t1,t2,則t1,t2為A,B對應(yīng)的參數(shù),且

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