數(shù)列極限存在的條件_第1頁
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文檔簡介

數(shù)學分析2-3數(shù)列極限存在的條件§2.3數(shù)列極限存在的條件一數(shù)列收斂的一個充分條件

——單調有界原理

二數(shù)列收斂的充要條件

——Cauchy收斂準則三關于極限

四數(shù)列單調有界證法欣賞

一單調有界原理定義稱為單調上升的，若稱為單調下降的，若

單調增加和單調減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調數(shù)列

提問:

收斂的數(shù)列是否一定有界？

有界的數(shù)列是否一定收斂？M定理1(單調有界定理)

單調有界數(shù)列必有極限

定理1的幾何解釋x1

x5

x4

x3

x2

xn

A

以單調增加數(shù)列為例

數(shù)列的點只可能向右一個方向移動

或者無限向右移動

或者無限趨近于某一定點A

而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生

數(shù)列極限存在的條件數(shù)列極限存在的條件定理1(單調有界定理)

單調有界數(shù)列必有極限

證明

例1設證明數(shù)列{}收斂.例2

例3

(n重根號),···證明數(shù)列單調有界,并求極限.求

(計算的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有有下界;注意到對有有↘···,例4

1）證明序列的極限存在；2）求極限解

1）因時有所以即有故序列下降。因此序列極限存在，記極限值為c。于是這表明序列有下界。又或2）因所以又即得證(舍去)二數(shù)列收斂的充要條件——Cauchy收斂準則1Cauchy列：

如果數(shù)列具有以下特性：＞＞＜則稱數(shù)列是一個基本數(shù)列.（Cauchy列）2Cauchy收斂準則：定理數(shù)列

收斂的充要條件是：是一個基本數(shù)列.數(shù)列收斂或數(shù)列極限存在的條件定理的幾何解釋

柯西準則說明收斂數(shù)列各項的值越到后邊,彼此越是接近,以至充分后面的任何兩項之差的絕對值可小于預先給定的任意小正數(shù).或形象地說,收斂數(shù)列的各項越到后面越是擠在一起.x1

x2

x3

x4

x5

例5證明:任一無限十進小數(shù)

的不足近似值所組成的數(shù)列收斂.其中

是中的數(shù).

證令有

……三

關于極限

（證明留在下段進行.）例8例9例10四數(shù)列

證法一單調有界證法欣賞:

Cauchy(1789—1857)最先給出這一極限，Riemann（1826—1866）最先給出以下證法一.設用二項式展開，得注意到

且比多一項

即↗.有界.綜上,數(shù)列{}單調有界.評註:該證法樸素而穩(wěn)健.證法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式為正整數(shù)),有+小結

(1)單調有界定理;

(2)單調有界定理的幾何意義;

(3)

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